正弦和余弦的相互关系
正弦和余弦的相互关系公式
教学目标
1.使学生理解正、余弦相互关系的两个公式的推导过程,理解公式成立的条件,并能利用它们及其变形公式解答一些基本问题;
2.通过公式的推导过程,培养学生从特殊到一般提出猜想和发现问题的能力; 3.培养学生运用知识结构总结问题的能力。 教学重点和难点
公式的推导和应用是重点;而公式的应用又是难点。 教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题 A (投影)问:直角三角形有什么性质?(图6-13)
①c>a,c>b
答:(1)边的关系:②a+b>c,„ b ③a2+b2=c2。
(2)角的关系:∠A+∠B=90°。 C a B
(3)边角关系:sinA=a/c,cosA=b/c,„ 图 6-13
教师归纳指出:由此可见,在一个直角三角形中,由于三边之间,两个锐角之间和边角之间都有一定的关系,而正弦和余弦又是表示直角边和斜边的比值,因此自然要问:正弦和余弦之间有什么样的相互关系?这就是我们今天所要学习的问题。(板书课题) 二、互为余角的正、余弦相互关系公式的教学过程
1.复习特殊角三角函数值。
(边问边按下列格式打出投影片,如图6-14)
sin30°= cos60°= ; sin60°= cos30°= ; sin45°= ; cos45°= 。 问:你能发现什么规律?
答:sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°。 2.从特殊到一般提出猜想。
猜想:设A和B互为余角,则:sinA=cosB, cosA=sinB。 3 2 3.证明猜想,形成公式。 (采取学生口述,教师板演,在此基础上归纳出互为余的 正、余弦相互关系的三种表达形式。) 1 互为余角的正、余弦的相互关系: (1)若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,或cosA=sinB。
(2)sinα=cos(90°-α),或cosα=sin(90°-α)。 图 6-14 1 (3)数学语言叙述:任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
练习1(口答)
sin37°=cos cos62°; sin47°-cos43°= 4.应用公式,变式练习。
cos18sin72
2
例1 (1)已知sinA=1/2,且∠B=90°-∠A。求cosB; (2)已知sin35°=0.573 6,求cos55°; (3)已知cos47°6'=0.680 7,求sin42°54'。
分析:观察每小题两锐角的关系均为互余两角,都可运用上述关系式。
三、sin2A+cos2A=1的教学过程
22
1. 从学生原有的认知结构讲授“sinA+cosA=1”公式 (投影)如图6-15,△ABC中,∠C=90°。 复习:a+b>c,a+b=c。 引导:
abc
2
2
2
>1,
abc
2
22
1,
ac
2
bc
1,
ac
22
bc
22
1。
发现:sinA+cosA>1,sinA+cosA=1。
由此得到sinA,cosA相互关系的两条性质:(A为锐角) (1)sinA+cosA>1,(了解)
(2)sin2A+cos2A=1。(重点) 对于(1)要求学生了解;(2)要求学生理解和掌握。所以下面讲公式(2)的变形和应用。
2.理解公式sin2A+cos2A=1和几种变形。
sin2A+cos2A=1, sin2A=1-cos2A=(1+cosA)(1-cosA), sinA=cos
cosA=sin
2
2
(1-sinA), A, cosA=1-sinA=(1+sinA)A。
22
2
3. 解公式成立的条件。 4. 应用举例,变式练习。
练习2(口答)下列等式是否成立?
(1)sin230°+cos245°=1; (2)sin237°+sin253°=1; (3)cos256°+sin256°=1; (4)sin246°+cos246°=1;
22
(5)sinα+sin(90°-α)=1。 例2 已知∠A为锐角,且cosA=
2
2
1213
。求sinA的值。
解:因为sinA+cosA=1,且∠A为锐角,所以 sinA=cos
2
A=(
1213
)=
2
513
。
教师指出:解题时,根据sin2A+cos2A=1,当∠A为锐角时,已知cosA可求sinA,同 样已知sinA也可以求cosA,利用上面的公式,还可以将式子化简。
例3 化简:sinA+sinA·cosA+cosA。(∠A为锐角)
分析:由于原式中的指数为2和4,且底数为sinA和cosA,于是从结构上联想到“sinA+cosA=1”这个公式。 解:sin4A+sin2A·cos2A+cos2A = sin2A(sin2A+cos2A)+cos2A = sin2A+cos2A =1
2
2
4
2
2
2
例4 已知:△ABC中,∠C=90°,AC=25, BC=4,如图6-16。 求sinA,cosA,sinB,cosB。
解:AB=
AC
BCAC
2
BC
23
2
=(25)4=6,所以
ACAB
2
2
sinA==,cosA==
535
, A
sinB=sin(90°-A)=cosA= cosB=cos(90°-A)=sina=
23
3
, 25
。 B 4 C
2
这里求cosA,也可用cosA=sinA来求。 图6-16
四、小结(投影) 1.先提出以下问题:
(1)这节课学习了哪两个公式?它们是根据什么知识推导出来的? (2)应用这两个公式时应注意什么问题? 2.在学生回答的基础上教师总结指出: 至今为止,我们学习了四条性质: (1)(投影下述知识结构)
(2)注意:公式成立的条件均为锐角,在第三个公式中,还要注意两个角是互余关系; 在第四个公式中同角的条件,还要善于灵活变形应用。
五、作业(投影)
1. 把一列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦):
(1)sin32°; (2)cos75°; (3)sin54°19′; (4)sin41°53′。 2.填空:
(1)已知:sin67°18′=0.922 5,则cos22°42′= 。
(2)已知:cos4°24′=0。997 1,则sin85°36′= 。
3.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,先根据下列条件求出∠A的正弦值和余弦值,然后说出∠B的正弦值和余弦值:
(1)a=2,b=1; (2)a=3,c=4; (3)b=2,c=29; (4)a=45,b=8。 4.设∠A 为锐角,且sinA=
2
817
,求cosA。
选作:已知:∠A和∠B(∠A>∠B)是一个直角三角形的两个锐角,并且sinA,sinB是方程4x-2kx+k-1=0的两个实根。 求:(1)k的值;(2)∠A和∠B的度数。
略解:因为∠A与∠B互余,所以sinB=cosA,由根与系数关系:sinA+cosA=sinA·cosA=
k14
k2
,
2
。由sin2A+cos2A=(sinA+cosA)-2sinA·cosA=1得:k2-2k-2=0,即k=1-3
(舍),k=1+3,由∠A>∠B,所以∠A=60°,∠B=30°。
板书设计(略)
课堂教学设计说明
这份教案为1课时,讲授两个公式。互为余角的正弦、余弦的相互关系,是运用“归纳发现法”讲授的,而“sinA+cosA=1”则是运用“演绎发现法”讲授的。因为数学的发现不都是归纳发现,而演绎发现是大量存在的,特别是高年级更是如此。这样讲授,对培养学生从不同角度发现问题是有好处的。
显然“sinA+cosA=1”也可用“归纳发现法”讲授,例如: sin230°+cos230°=?
sin45°+cos45°=? sin260°+cos260°=? „„
猜想:sin2A+cos2A=1。
2
2
2
2
2
2
证明:„„
运用何种方法讲授,要根据学生实际水平。一般地说,学生基础好,理解能力强,可采用 “演绎发现法”。反之,则采用“归纳发现法”。