一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
解一元二次不等式的步骤:
① 将二次项系数化为“+”:A=
② 计算判别式,分析不等式的解的情况: >0(或0)
ⅰ. >0时,求根
ⅱ. =0时,求根==,
ⅲ.
③ 写出解集。
【典型例题】
例1. 解不等式
(1)
(3) (2)
解:(1)因为。
所以,原不等式的解集是。
(2)因为。
所以,原不等式的解集是
(3)整理,得。 。
因为
所以不等式
从而,原不等式的解集是
无实数解, 的解集是。 。
例2. 解关于x 的不等式
分析:此不等式为含参数k 的不等式,当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同,故应先从讨论判别式入手。
解:
(1)当
所以不等式的解集是: 有两个不相等的实根。
(2)当有两个相等的实根,
所以不等式
(3)当
所以不等式
解集为。 ,即; 无实根
例3. 若不等式对于x 取任何实数均成立,求k 的取值范围。
解:∵
(∵4x+6x+3恒正),
22∴原不等式对x 取任何实数均成立,等价于不等式2x -2(k -3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立。
∴=[-2(k -3)]-8(3-k )
∴k的取值范围是(1,3)。
小结:逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系数法的一部分
例4. 已知关于x 的二次不等式:a +(a -1)x+a-1
分析:原不等式的解集为R ,即对一切实数x 不等式都成立,故必然y= a
向下,且与x 轴无交点,反映在数量关系上则有a
+(a -1)x+a-1的图象开口
解:由题意知,要使原不等式的解集为R ,必须,
即
a
∴a的取值范围是a∈(-,-)。
说明:本题若无“二次不等式”的条件,还应考虑a=0的情况,但对本题讲a=0时式子不恒成立。(想想为什么?)
例5. 已知关于x 的二次方程x +2mx+2m+1=0。
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围。
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的范围。
命题意图:本题重点考查方程的根的分布问题。
技巧与方法:设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以限制。
解:(1)条件说明抛物线f (x )=x+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得 22
∴。
(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组
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