八年级上角平分线教案
11.3.1角的平分线的性质(一)
教学目标
1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.
2.会用尺规作一个已知角的平分线.
教学重点
利用尺规作已知角的平分线.
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼.
教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境
问题1:三角形中有哪些重要线段.
问题2:你能作出这些线段吗?
Ⅱ.导入新课
在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题:
在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON,MC ⊥OA ,NC
与NC 交于C 点.
求证:∠MOC=∠NOC .
通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ,即可证明∠MOC=∠NOC ,所以射线OC 就是∠AOB 的平分线. 受这个题的启示,我们能不能这样做:
在已知∠A OB 的两边上分别截取OM=ON,再分别过M 、N 作MC ⊥
OA ,NC ⊥OB ,MC•与NC 交于C 点,连接OC ,那么OC 就是∠AOB
的平分线了.
思考:这个方案可行吗?(学生思考、讨论后,统一思想,认
为可行)
议一议:下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点
A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射
线AE ,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗?
要说明AC 是∠DAC 的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB .
∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中,那么证明这两个三角形全等就可以了.
看看条件够不够.
⊥OB .MC
⎧AB =AD ⎪⎨BC =DC
⎪AC =AC ⎩
所以△A BC ≌△ADC (SSS ).
所以∠CAD=∠CAB .
即射线AC 就是∠DAB 的平分线.
作已知角的平分线的方法:
已知:∠AOB . 求作:∠AOB 的平分线.
作法:
(1)以O 为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA 、OB 于M 、N .
(2)分别以M 、N 为圆心,大于1MN 的长为半径作弧.两弧在∠AOB 内部交于点C .2
(3)作射线OC ,射线OC 即为所求.
议一议:
1.在上面作法的第二步中,去掉“大于1MN 的长”这个条件行吗?2
2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗?
总结:
1MN 的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线. 2
12.若分别以M 、N 为圆心,大于MN 的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB•的内部,21.去掉“大于
也可能在∠AOB 的外部,而我们要找的是∠AO B 内部的交点,•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了.
3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,•所以第二步中的两个限制缺一不可.
4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
练一练:
任意画一角∠AO B ,作它的平分线.
探索活动
按以下步骤折纸
1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A 、B 、C 。把角A 对折,使得这个角的两边重合。2、在折痕(即平分线)上任意找一点C ,
3、 过点C 折OA 边的垂线,得到新的折痕CD ,其中,点D 是折痕与OA 的交点,即垂足。
4、将纸打开,新的折痕与OB 边交点为E 。
角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面用我们学过的知识证明发现:
如图,已知AO 平分∠BAC ,OE ⊥AB ,OD ⊥AC
求证:OE=OD。
Ⅲ.随堂练习
课本练习.
练后总结: 平角∠AOB 的平分线OC 与直线AB 垂直.将OC 反向延长得到直线CD ,直线CD 与AB•也垂直. Ⅳ.课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,•探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探究到角平分线的性质.
Ⅴ.课后作业