相似三角形应用举例教学案[1]
相似三角形应用举例（第1课时）
【目标导航】
1．应用相似三角形的判定、性质等知识去解决不能直接测量物体的长度和高度类问题； 2．培养学生把实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，解决实际问题的能力．
【要点梳理】
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO． B
O (F)
例2 如图，为了估测河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m， QR＝60m，求河的宽度PQ．
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树的根部的距离BD＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
【课堂操练】
1．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点 升高 （ ） A. 2m B. 4m C. 6m D. 5.8m
2．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m），且落在对方区域离网5m的位置上，已知他击球的高度是2.4m，则她应站在离网的
（
）
A. 15m处
B. 10m处 C. 8m处 D. 7.5m处
3．为了测量水塘边、两点之间的距离，在可以看到A、B的E处，取AE、BE延长线上的
C、D两点，使CD∥AB，如果测量得CD＝5米，AD＝15米，ED＝3米，你能求出AB两点之间的距离吗？
4． 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米． （1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ （2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ
C
【课后盘点】
1．在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6米，同一时刻她量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则可知综合楼高为 米． 2．如图是一束平行的阳光从感教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为 米．
3．如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一
端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端下压 cm． A
4．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1＝80m，最短的钢索A4B4＝20m，那么钢索A2B2＝ m，A3B3＝ m． 5．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），求光线从A点到B点经过的路线的长度．
（精确到
0.01）
6．如图，测量小玻璃管口径的量具
ABC
，AB的长为10cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大?
7．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路．
8．如图是日食的示意图，如果已知地球表面到太阳中心的距离ES约为1.496×108km，太阳的半径SR约为6.96×105km，月球的半径LM约为1738km，此时月球中心距地球表面有多远（即图中EM为多少）？
9．如图，为了测量一栋大楼的高度，王青同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼的顶部.这时∠LMK等于∠SMT吗?如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM＝30cm，MS＝25m，这栋大楼有多高?
相似三角形应用举例（第2课时）
【目标导航】
1．应用相似三角形的判定、性质等知识去解决不能直接测量物体的长度和高度类问题； 2．培养学生把实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，解决实际问题的能力．
【要点梳理】
例1 如图，工地上两根电灯杆相距L米，分别在高为4米、6米的A、C处用铁丝将两杆 固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH.
C
A
M
EBHDF
例2 如图，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC＝20米，斜坡坡面上的影长CD＝8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．
例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D、F两处相隔1000步（1步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC后退123步的G处，可以看到山峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆FE后退127步的H，可看到山峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（提示：连接EC并延长交AB于点K，用AK表示KC及KE．）
【课堂操练】
1．科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为黄金比时，看起来最美，某成年女士身高 为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm．（精确到0.1cm） 2．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有 （ ) A.
一种
B.两种 C.三种 D.四种 3．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝8.4m，楼高CD是多少？
4．张明同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，求这棵大树高.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝
1
4
S△ABC？
【课后盘点】
1．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，求球拍击球的高度.
2．一油桶高0.8米，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端插到桶底， 另一端到小口，抽出木棒，量得棒上未浸油部分长0.2m，试求桶内油面的高度．
解：在所画油桶纵剖面示意图中，已知h＝ m， ＝1m， ＝0.2m，需要求的是 ．（用数字或字母填空） 请在下面继续完成求解过程．
3. 如图，在一个长40米、宽30米的长方形小操场上，小刚从A点出发，沿着A—B—C的路线以2米/秒的速度跑向C地. 当他出发3秒后，小明有东西需要交给他，就从A地出发沿小刚走的路线追赶. 当小明跑到距B地1.5米的D处时，他和小刚在点E处阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上. 此时，A处一根电线杆在阳光线的影子也恰好落在对角线AC上. （1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？ （2）求小明追小刚的速度是多少（精确到0.1米/秒）？
A
D
CEB
4. 如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高
AB＝h，灯柱的高OP＝O′P
′
＝l，两灯柱之间的距离OO′＝m．
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长． （2）若李华在两路灯之间行走．．．．．．．，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）是否是定植？ 请说明理由．
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以V1匀速行走，试求他影子的顶端在地面
上移动的速度V2 ．
5. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，AC:BC＝3:4，点P从点B出发，沿BC向点C以2厘米/秒的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1厘米/秒的速度移动. 如果P、Q分别从B、C同时出发：
（1）经过多少秒时△CPQ ∽△CBA?
（2）经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似？ A
Q
B
PC