综合测试3

山西大学附中高三年级（下）数学模块诊断（理） 编号3

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）

1.已知集合M{1,0,1},N{y|ycosx,xM}，则集合N的真子集个数为（ ）

2.i为虚数单位，则ab（ ） A．．2 D．3 3．已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1003a1013，b6b92，则tan

a1a2015

（ ）

1b7b8

22

4.已知直线xya与圆xy4交于A,B两点，O是坐标原点，向量,满

A.1 B.

1足||||，则实数a的值是（ ）

A．2 B. 2或2 C．6或 D. 2

5．如图，把周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A(0,1)，一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记弧AMx，直线AM与x轴交于点N(t,0)，则函数tf(x)像大致为（ ）

2

6.函数f(x)2cosxsin2x1，给出下列四个命题: （1）函数在区间[（2）点(

5

8,8

]上是减函数；



8

,0)是函数图象的一个对称中心；

（3）函数f(x)的图象可由函数y（4）若 x[0,

2sin2x的图象向左平移



而得到； 4



2

] ，则f

(x)的值域是.

其中正确命题的个数是 ( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

7．若执行下面的程序框图，输出

S的值为3，则判断框中应填入的条件是( )

A.k6?k7?C.k8? D.k9?8. 若(xy)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且xy1,xy0,则x的取值范围是（ ）

C．(,] D．(1,)

5

9.将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1，2，„,8，若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为（ ） A.31 B.27 C.54 D．62

x0,y0

10.

由约束条件y2x确定的可行域D能被半径为1的圆



ykx面完全覆盖，则实数k的取值范围是（ ） A．(,)

15

B．[,)

45

4

111



1

11．已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)图象上存在关于y轴对

2

称的点，则a的取值范围是（ ）

111

A. (e) B. (e) C. (e) D. ()

eex2y2

12.已知双曲线221的左右焦点分别为F1,F2，O为双曲线的中心，P是双曲线

ab

右支上的点，PF且圆I与x轴相切于点A，作过F2直线PI1F2的内切圆的圆心为I，的垂线，垂足为B，若双曲线的离心率为e，则 A.|OB|e|OA|B.|OA|e|OB|

C.|OB||OA| D.|OA|与|OB|关系不确定

A., B., C.0, D.,1 2222





1

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

2

2

13．在区间[0,1]内任取两个数a,b，能使方程xaxb0两根均为实数的概率为

14. 已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球的体积为

15.已知下列命题：

①ABC中，sinAsinB是AB的充要条件； ②命题“若xy0，则xy0”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0则

2

2

x2y20”；

③设随机变量~N0,1，若

P2p，则

P20

1

p； 2

④若向量,满足0，则与的夹角为钝角. ⑤已知奇函数f

x满足f

xf，且x0时fxx，则函数

2



gxfxsinx在2，2上有5个零点.

其中真命题的序号是________________（写出全部真命题的序号）.

2

n,n为奇数

16．已知函数f(n)，且anf(n)f(n1)，则 2

n,n为偶数

a1a2a3a2015

三．解答题（本题共6大题，共70分）

17.(本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形OPQ中，

Q

POQ90

，OPM在线段PQ上．

（Ⅰ）若OMPM的长；

（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且MON30，问：当

小值． P 18．（某高中学生会就“2014央视春晚整体满意度”在该校师生中随机抽取了300人进行问卷调查，调查结果如下表所示：

所持态度 很好看 一般 不好看

100 150 50

人数

（1） 若从上述300人中按照分层抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中随机抽

取3人颁发幸运礼品，求这3人中持“很好看” 和“一般”态度的人数之和恰好为2的概率；

（2） 先从（1）所抽取6人的问卷中每次抽取1份，且进行不放回抽取，直至确定出

所有持“很好看”态度的问卷为止，记所要抽取的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，设SABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点，过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N（M,N可以是线段的端点）。

（Ⅰ）求直线AK与平面SBC所成角的正弦值；

（II）当M是SB中点时，求四棱锥SAMKN的体积．

POM 取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最

20.（本小题满分12分）

已知抛物线C:x24y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e

． 2

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M．证明：

ABMF；

（Ⅲ） 椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线

'

'

'

''

'

C

的两条切线MA、MB

''''

（A、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，请说明理由并求出抛物线C与切线

M'A'、M'B'所围成图形的面积.

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx,g(x)xe1x（a为常数，e为自然对数的底） （Ⅰ）当a1时，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的x0(0,e]，在(0,e]上存在两个不同的xi(i1,2)使得f(xi)g(x0)成立，求实数a

选做题（在22、23、24三题中任选一题做答） 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线

交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC//OD. （Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；

（Ⅱ）如果ADAB2，求EB的长.

EBOA

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：

在直角坐标系中，以原点为极点，x

P(2,4)的直线 lC:sin22acos(a0)，

（t为参数），直线lC相交于M,N两点．

l的普通方程； a的值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，

1

(|xa2||x2a2|3a2)， 2

（Ⅰ）当a1 时，求不等式f(x

)1的解集；

（Ⅱ）若xR，f(x1)f(x)，求实数a的取值范围.

f(x)