"数形结合"是发展小学生思维的有效策略

“数形结合”是发展小学生思维的有效策略

研究缘起：数学思想方法是数学的精髓数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数与肜的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。小学数学教学研究的对象，概括起来就是数和形两个方面。“数”与“形”是贯穿整个小学数学教材的两条主线，也是贯穿小学数学教学始终的基本内容。“数”与“形”的相互转化、结合既是数学的重要思想，也是解题的重要方法。借“形”解“数”、借“数”解“形”体现了代数和几何中最精彩的方面：几何图形形象直观，便于理解；代数方法解题过程机械化、可操作性强，便于把握。

然而，目前小学教堂课堂教堂中，渗透数形结合的思想方法落实得怎样呢？在小学数学领域有没有必要渗透数形结合的思想方法？

结合现状，我们不难发现：

（1）“数形结合”一词在小学数学界传播甚广；

（2）半数的人了解“数形结合”的基本含义，但对其理解多集中于对象性上，对功能性涵义关注不够；

（3）通过对“数形结合”作用的调查发现，多数人对将数转化形比较感兴趣。但是觉得数学思想方法在教学目标中不像数学知

识目标那样显性，觉得是隐性的，想渗透但不知怎样渗透，怎样培养。其具体原因是多方面的，同时也可以发现对借“数”解“形”重视不足，但从本调查中似乎还不能找到确切的答案，有待进一步发现。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）在具体目标中把数学思想方法的获取列为目标之一：“使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。”因此，数形结合的思想方法是学好小学数学主要的思想方法之一，对培养学生的数学素质，提高学习能力，发展思维有着积极的作用，同时承载着为中学数学学习奠定基础的任务。

由上述分析，我发现数形结合的思想方法还没有真正落实到小学数学课堂教学中，教师普遍重视不够。部分教师仍然过分重视知识的传授或是进行大运动量的习题训练，而一些数学思想往往会被忽视，被理解成数学中最常见的，最基本、较浅显的内容一带而过，有名无实。这种对数学思想方法理解偏颇的教学导致了学生对数学本质理解的肤浅、不完整，也造成学生只能停留在解题方法的一招一式的模仿上，不易形成数学意识，因此学生对问题的审视不能站在一定的高度，对问题的解决缺乏灵活驾驭的能力。由于小学数学内容的局限性，涉及借“数”解“形”的内容比较少，所以下面重点谈一谈以“形”助“数”帮助学生发展思维的一些策略。

一、数形结合，把握概念本质

数的产生源于计数，是对具体物体的计数。我们不难发现，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”。从数概念的建立到数的运算，处处蕴涵着数形结合的思想方法。如我们在认识整数、分数、小数及其加法、减法、乘法、除法数的运算时，教材都是借助直观的几何图形帮助学生理解抽象的数概念。生动、形象的图形能将枯燥的数学知识趣味化、直观化，让学生从中获得“学习有趣”的情感体验，进而激发学生进行探索，将兴趣逐渐转化为动力，达到认识概念本质的目的。

如：在教学“千以内的数的认识”时，我们利用几何形体（图1）直观地将计数单位及相互问的“十进制关系”呈现。

学生结合立方体点、线、面、体的变化，直观地认识计数单位“一”“十”“百”“千”，理解它们之间的十进关系。学生很有兴趣，其效果比抽象讲计数单位要好很多，计数单位以这种形式在学生脑海中建立了表象，为后面的数的大小比较、数的计算的学习打下了良好的基础。

又如：在“倒数”的教学中，在拓展练习环节我借助几何直观，首先利用线段图（图2），数形结合，突出一个数与它的倒数的相互依存关系及真分数、假分数的倒数和“1”的关系，并且体会到“l ”的重要地位。在小学阶段所学习的整数、小数和分数中，除“零”以外，其他任何数都有所对应的“倒数”，这是它们的共性。这些数因此与“1”建立了联系，“l ”是不变的，它相当于一座永恒的桥

梁，这座桥梁承载了几乎所有的数。

在线段图后，再次增加了让学生想象长方形的环节，其目的就是再次借助几何直观，在线段一维直观的基础上，进入到面积的二维直观，将“1”置于不同的直观的环境下，再一次让学生感悟“倒数”这个概念的意义。

二、数形结合，化解学习难点

数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的教学方法。对于教学中学生难以理解和掌握的教学内容或者是容易引起混淆和产生错误的教学内容，教师可以充分利用“形”，把抽象的概念、复杂的运算变得形象、直观，丰富学生的表象，引发联想，探索规律，得到结论。

在计算教学中，许多算理学生模棱两可，如能做到数形结合，学生便可透彻地加以理解。如在教学“异分母分数加减法”时，我们利用数形结合使学生体会“通分”的必要性，理解异分母分数加减法的算理，化解学习难点。

教师在例题讲解后的回顾过程时讲道：

让我们一起回顾一下同学们用通分的方法计算这三道题的过程，想一想，你发现了什么?

这里学生通过观看动态的课件演示，从“形”的角度将三道题的共性加以沟通。之后教师出示下面的一组算式并提问：

（1）这三道题为什么在计算过程中有的把 转化成 ，有的转化成 ，有的转化成 呢? 它们相同的地方是什么?

（2）师：为什么要把异分母转化成同分母? （分数单位相同，分子直接相加。）

这些算式中都有一个加数是 ，另一个加数是各不相同的，转化后的结果也不相同，学生在“变”与“不变”的对比中，抓到异分母分数加法的共性。

通过以上数形结合的办法，既强化了异分母分数加法的算法，又深刻理解了这个算法的算理所在，数形结合相得益彰。

三、数形结合，理解数量关系

在数学教学中，可以通过形数结合的训练，在解决问题时能自觉提取直观图、线段图等来帮助解决问题，强化数形对应，把复杂的问题简单化、明朗化，抽象的问题形象化，以提高学生分析比较、综合运用知识解决问题的能力。显然，形象化的图形表达了抽象化的数量关系，为学生在实际问题与算式之间，在分析数量关系与解决问题之间架设了一座“桥”。

如：在教学“打折与策略”时，出示一道题目：

张老师要买一台打印机，乔老师要买一件毛衣。

打印机：8.0元／台 毛衣：200元／件

商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。

问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱?

课堂上学生出现两种方法：

方法一：（800-500）×80%+500+200-940（元），

（800+200-500）×80％＋500=900（元），

940-900=40（元）。

方法二：200×（1-80%）-40（元）。

在解决问题时，一部分学生使用的是方法一，但是不理解第二种算法，因为第二种解法的数量关系是隐蔽的，我们可以通过作图使隐藏的数量关系外现出来。根据题意，作图如下。此时教师适时把第一种算法的线段图画在上面，学生通过两个图的对比，恍然大悟，真正省的其实就是那200元的20%，所以是40元。这一教学片段凸显了通过画线段图，进行数与形的转化，直观描述数量之间的关系，简化解题步骤，巧妙、简洁地解决问题的特点，使学生切实感受到画直观图的重要作用。

四、数形结合，探索数学规律

数学学习过程不仅是一个接受知识、积累知识的过程，也是一个探索知识、创造知识的过程。学习是一个生动活泼的探索、思考过程。运用数形结合，有助于学生探索数学规律。数形结合的思维方法，是儿童建构数学模型的基本方法。在数学教学中可以根据数与形的转化，让学生学会构造模型来直观描述数学问题的能力，这样不仅可以发展学生的形象思维能力，而且可以通过数形结合锻炼学生的创造性。

如，在教学“正比例的意义”时，用图像表示正比例的意义是《课程标准》新增加的内容，也是函数的一种表示方法。函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，

体现了数学的建模思想。对于初次接触到函数的学生而言，理解正比例的意义和图像是有一定难度的。关于正比例的图像为什么是一条直线是教学的难点如何突破这个难点呢? 我们借助几何直观，课件的辅助生动地体现了点动成线，学生很容易理解，正是由于比值一定，所以点与数对的对应，直线与关系式的对应，形成一条直线。同时渗透了正比例函数的连续性和极限思想。

如：在汁算“1+2+…+19+18+…+2+1=?”这个问题时，可以引导学生自觉主动借助19×19的正方形图进行观察（如右上图），按对角线方向依次计算，发现小正方形数分别是1，2，3，4，…，19，18，…，3，2，l ，再将这些数都加起来就是1+2+…+19+18+…+2+1，计算时可以用19×19=361得到答案。借助图形的直观，化难为易，学生不但清晰发现了规律：1+2+3+…+（n-1）+…+（n-1）+…+3+2+1=n，而且理解深刻，掌握牢固。数形结合思想充分利用。“形”把复杂的数量关系和抽象的数学概念变得形象、具体，利于学生探索规律，得到结论。

综上所述，“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形或图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。但是小学数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为主，知识内容学生学起来不难，其中所蕴涵的数形结合思想却需要教师努力挖掘，适时渗透。因此教师要做教学的有心人，深入钻研教材，使数形结合思想方法的教学成为一种有意2

识的教学活动，要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，把数形结合思想方法的教学落到实处，有目的、有计划、有系统地进行教学，使数形结合思想能始终贯穿在传授数学知识的过程中，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、运用数学和创造数学的有力工具，从而把发展学生形象思维和抽象思维结合起来，使两种思维相互渗透、协同发展。