工科数学分析,高等数学上册试卷
lim a n =0, lim b n =1,
n →∞
n →∞
lim c n =+∞,则必有 ( )
n →∞
(A )a n
n →∞
(∀n ∈N +) (B )b n
n →∞
(C )lim a n c n 不存在 (D )lim b n c n =+∞
3.若f (x ) 与g (x ) 可导,lim f (x ) =lim g (x ) =0, 且lim
x →a
x →a
x →a
f (x )
=A (A 为有限数)则 g (x )
( ) (A )必有lim
x →a
f '(x ) f '(x )
=A (B )必有lim =B 存在,且A ≠B
x →a g '(x ) g '(x )
(C )若lim
x →a
f '(x ) f '(x )
=B 存在,则A =B (D )若lim =B 存在,未必A =B
x →a g '(x ) g '(x )
4.设f (x ) =
11sin ( ) x 2x 2
(A )当x →0时,f (x ) 是无穷小(B )当x →0时,f (x ) 是无穷大 (C )f (x ) 在(0, 1) 内有界 (D )f (x ) 在(0, 1) 内无界 三.(每小题7分,共28分)
1
1
23-e x sin x 11x +() ] -) cot x 2.计算极限lim [1. 计算极限lim
x →0sin x x →0x ln(1+x ) 2+x
x 2sin
3. 设函数y =y (x ) 是由方程xe y -sin y 2=0确定的隐函数,求dy
d 2y
4. 设y =f (x +y ) ,其中f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求。
dx 2
四.(每小题7分,共21分) 1. 用ε-δ语言证明lim
1
=1。
x →12x -1
2. 证明函数f (x ) =cos x 2在(-∞, +∞) 上不一致连续。 3. 证明数列a n =
cos 1cos 2cos n
++ +是收敛的。 1323n 3
2
五.(8分)设0
x 2x 3x 2n +1
六.(7分)证明方程1+x +++ +=0有且仅有一个实根,其中n 为正
2! 3! (2n +1)!
整数。
东 南 大 学 考 试 卷(A 卷)
课程名称 工科数分 适用专业 选修数分各专业
考试学期 04-05-2(期中) 得分
考试形式
闭
考试时间长度 120分钟
一. 填空题(每小题4分,共20分)
tan x
1.当x →0时,e -1与x n 为等价无穷小,则n =3。
3
⎧x =1+t 2
2.设曲线L :⎨,在t =π的对应点处的L 的切线方程为
⎩y =sin t y =-
1
(x -1-π2) 。 2π
⎧1
⎪e x -11
2⎪a arctan x ≠01x =0 3.设f (x ) =⎨在点处连续,则。 a =x π⎪e x +1
⎪1 x =0 ⎩
4.设f (x ) =x 2e 2x , 则f
x →-∞
(10)
(0) =45⨯29 。
5.lim f (x ) =a (a 为有限数)的定义是: 对任意的ε>0, 存在X >0, 当x
二. 选择题(每小题4分,共16分)
3. 设f (x ) =|x -1|ϕ(x ) , 而ϕ(x ) 在x =1处连续,且ϕ(1) ≠0,
f '(1) ( D )
(A )=ϕ(1) (B )=-ϕ(1) (C )=0 (D )不存在
2. 设数列{a n },{b n },{c n }满足
lim a n =0, lim b n =1,
n →∞
n →∞
lim c n =+∞,则必有 ( D )
n →∞
(A )a n
n →∞
(∀n ∈N +) (B )b n
n →∞
(C )lim a n c n 不存在 (D )lim b n c n =+∞
3.若f (x ) 与g (x ) 可导,lim f (x ) =lim g (x ) =0, 且lim
x →a
x →a
x →a
f (x )
=A (A 为有限数)则 g (x )
( C ) (A )必有lim
x →a
f '(x ) f '(x )
=A (B )必有lim =B 存在,且A ≠B
x →a g '(x ) g '(x )
(C )若lim
x →a
f '(x ) f '(x )
=B 存在,则A =B (D )若lim =B 存在,未必A =B
x →a g '(x ) g '(x )
11
sin ( D ) 22 4.设f (x ) =
x x
(A )当x →0时,f (x ) 是无穷小 (B )当x →0时,f (x ) 是无穷大 f (x ) 在(0, 1) 内有界 (D )f (x ) 在(0, 1) 内无界
三.(每小题7分,共28分)
2. 计算极限lim
1x →0
sin x -1
x
) cot x 解:原式=lim
x -sin x
x →0
x sin x tan x
-------------------------------------1分
=lim
x -sin x
x →0
x 3
-----------------------------------------2分 =lim 1-cos x
x →03x
2-----------------------------------------3分 =
1
6
---------------------------------------------------1分 x 2sin
1
13. 计算极限lim x 2x →0[
ln(1+x ) +(3-e x 2+x
) sin x ] x 2sin
1x 2
1解:lim x 2sin x →0ln(1+x ) =lim x 2
x →0x
-------------------------------1分
=lim 1
x →0
x sin
x 2=0---------------------------------------------1分 x
1x
11-x -e x lim 3-e
sin x
1-x -e
sin x
x lim
→0(2+x ) sin x -----------------2分
x →0
(
2+x
) =lim x →0
(1+
2+x
) =e
lim
1-x -e x lim
-1-e x =e
x →0(2+x ) x =e
x →02+2x =
1
e
------------------------2分 所以,原式=0+
1e =1
e
------------------------------------------1分 5. 设函数y =y (x ) 是由方程xe y -sin y 2
=0确定的隐函数,求dy .
解:在方程两边同时求微分得:
C )
(
e y dx +xe y dy -2ydy cos y 2=0 --------------------------4分
e y
所以dy =dx -------------------------------3分 2y
2y cos y -xe
d 2y
6. 设y =f (x +y ) ,其中f 具有二阶导数,且其一阶导数不等于1,求。 2
dx
解:在方程两边同时对x 求导数得
y '=f '(x +y )(1+y ') ---------------------------------------2分
所以y '= 所以y ''=
f '
------------------------------------------------1分 '1-f
f ''(x +y )(1+y ')
-------------------------------------3分 2
(1-f ')
f ''(x +y )(1+
=
f ') 1-f '
(1-f ') 2
=
f ''
----------------------1分 3'(1-f )
四.(每小题7分,共21分) 4. 用ε-δ语言证明lim 证明:先不妨设|x -1|
对∀ε>0,要使|因为当
1
=1。
x →12x -1
135
,则
12(x -1)
-1|
352(x -1)
所以只须4|x -1|
ε1
44
则当|x -1|
1
-1|
1
=1--------------------------------------------1分
x →12x -1
2
5. 证明函数f (x ) =cos x 在(-∞, +∞) 上不一致连续。 证明:取ε0=
1
-------------------------------------------------1分 2
(1)
则构造两数列x n 则lim |x n
n →∞
(1)
=2n π, x n
(2)
(2)
=2n π+
π
2
------------------2分
-x n
|=0,------------------------------------1分
(1)
所以对∀δ>0,都能找到某个n ∈N +, 使得|x n -x n
(2)
|
(1)
(2)
而|f (x n ) -f (x n ) |=1>ε0------------------------------2分
所以,f (x ) =cos x 2在(-∞, +∞) 上不一致连续---------------1分 6. 证明数列a n =
cos 1cos 2cos n
++ +是收敛的。 33312n
证明:,因为对∀n , p ∈N +,有
|a n +p -a n |=|
cos(n +p ) cos(n +p -1) cos(n +1)
++ |
(n +p ) 3(n +p -1) 3(n +1) 3
≤|
111++ +|-------------2分
n(n+1) (n +1)(n +2) (n +p -1)(n +p )
111
-
1
≤
所以对∀ε>0,取N =[],则当n >N , ∀p ∈N +有|a n +p -a n |
ε
所以数列a n 收敛。-----------------------------------------------------------------3分
五.(8分)设0
证明:因为0
所以对∀n ∈N +有0
2
2
x n +1
=2-x n >1,数列x n 单调增加,所以{x n }收敛。------------------3分 x n
2
设其极限为l , 则l =-l +2l ,
所以l =1或l =0(舍),所以lim x n =1----------------------------------2分
n →∞
x 2x 3x 2n +1六.(7分)证明方程1+x +++ +=0有且仅有一个实根,其中n 为正
2! 3! (2n +1)!
整数。
x 2x 3x 2n +1
证明:令f (x ) =1+x +, ++ +
2! 3! (2n +1)!
则f (0) =1, lim f (x ) =-∞,所以f (x ) 在(-∞, 0) 上有一零点,
x →-∞
很显然f (x ) 在(0, +∞) 上无零点。----------------------------------------------------------3分 假设f (x ) 在(-∞, 0) 上至少有两个零点,设x 1, x 2(x 1
-x
f (x ) 在[x 1, x 2]上应用Rolle 定理,
得至少存在ξ∈(x 1, x 2) ⊂(-∞, 0) ,使得F '(ξ) =0,-------------------------------2分
而F '(x ) =e (f '(x ) -f (x )) =-e
-x -x
x 2n +1
在(-∞, 0) 上无零点,矛盾,
(2n +1)!
所以f (x ) 在(-∞, +∞) 上有且仅有一个零点,即原方程有且仅有一个实根。--2分
课程名称 工科数分(期中) 考试学期 适用专业 选修数分各专业 考试形式
05-06-2
闭卷 得分
考试时间长度 120分钟
(D ) 若存在δ>0,对于∀x ∈U (a , δ) ,都有f (x )
1⎧2
x
7. 设f (x ) =⎨ , 则间断点x =0的类型为 ( ) x
⎪3-1 x >0 1⎪
⎩2+3x
(A )可去间断点 (B )跳跃间断点 (C )无穷间断点 (D )振荡间断点 8.设f (x ) =|(x -1)(x -2) 2(x -3) 3|, 则f '(x ) 不存在的点的个数为 ( ) (A )0, (B )1, (C )2, (D )3 9.设f (x ) 在x =x 0处可导,则lim
h →0
f (x 0+ah ) -f (x 0-bh )
等于 ( )
sin 3h
1
f '(x 0) (D )(a -b ) f '(x 0) 3
(A )(a +b ) f '(x 0) (B )(a -b ) f '(x 0) (C )三.(每小题7分,共28分)
1
313
⎧x =1+t 2d 2y x 10. 计算极限
lim 11. 设⎨,求2。
x →0+d x ⎩y =cos t
1
⎧x x ⎪
12.设函数f (x ) =⎨(e+sin x ) x ≠0在x =0处连续,求常数a 。
⎪⎩a x =0
3
13. 设f (x ) =
1
, 求f (n ) (x ) 。
x (1-2x )
四.(每小题7分,共21分)
n 3+cos n 1
=。 14. 用定义证明lim
n →∞2n 3-n 2
15. 证明函数f (x ) =sin
x 在(0, +∞) 上一致连续。
16. 数列{a n }收敛,证明数列b n =a 1q +a 2q 2+ +a n q n 是收敛的。
五.(8分)设x 1>0, 且有x n +1=限。
六.(7分)设函数f (x ) 在[0, +∞) 上可导,在(0,+∞) 内二阶可导,且f +'(0)
x →+∞
6+x n (n =1, 2, 3 ) ,证明数列{x n }收敛,并求出极
lim
f (x ) f '(ξ) =1,证明:存在ξ∈(0, +∞), 使得f ''(ξ) =-. x ξ
东 南 大 学 考 试 卷(A 卷)
课程名称 工科数分(期中) 考试学期 适用专业 选修数分各专业 考试形式
05-06-2
闭卷 得分
考试时间长度 120分钟
(G ) 若存在δ>0,对于∀x ∈U (a , δ) ,都有f (x ) >1,则K >1 (H ) 若存在δ>0,对于∀x ∈U (a , δ) ,都有f (x )
1⎧2
x
7. 设f (x ) =⎨ , 则间断点x =0的类型为 ( B ) x
3-1⎪ x >0 1⎪
⎩2+3x
(A )可去间断点 (B )跳跃间断点 (C )无穷间断点 (D )振荡间断点 8.设f (x ) =|(x -1)(x -2) 2(x -3) 3|, 则f '(x ) 不存在的点的个数为 ( B ) (A )0, (B )1, (C )2, (D )3 9.设f (x ) 在x =x 0处可导,则lim
h →0
f (x 0+ah ) -f (x 0-bh )
等于 ( A )
sin 3h
1
f '(x 0) (D )(a -b ) f '(x 0) 3
(A )(a +b ) f '(x 0) (B )(a -b ) f '(x 0) (C )三.(每小题7分,共28分)
1
313
x 10. 计算极限
lim
x →0+x 33x 2x =12 -------3+3+1分 =lim =2lim 解:lim
x →0+x -sin x x →0+1-cos x x →0+2
3
3
⎧x =1+t 2d 2y 11. 设⎨,求2。
d x ⎩y =cos t
解:
dy -sin t d y
=------3分 =2dx 2t dx
2
d (
dy
)
=sin t -t cos t -------------4分 dx 4t 3
1
⎧x x ⎪
12.设函数f (x ) =⎨(e+sin x ) x ≠0在x =0处连续,求常数a 。
⎪⎩a x =0
解:a =lim (e +sin x ) =e
x →0
x
1
x
e x -1+sin x x →0x lim
=e 2--------------------------1+4+2分
13. 设f (x ) =解:f (x ) =
1
, 求f (n ) (x ) 。
x (1-2x )
1211(n ) n n +1+, 所以f (x ) =(-1) n ! n +1+2n ! ----2+5分 n +1x 1-2x x (1-2x )
四.(每小题7分,共21分)
n 3+cos n 1
=。 14. 用定义证明lim
n →∞2n 3-n 2
证明: ∀ε>0,取N =max{2, [
1
]}, 则当n >N 时,恒有------------2分
n 3+cos n 1n +2cos n n +21 |-|=||≤≤2
22(2n -n ) 2n -n 2n n
n 3+cos n 1
=----------------------------------------1分 所以lim
n →∞2n 3-n 2
15. 证明函数f (x ) =sin
x 在(0, +∞) 上一致连续。
证明:任取ε>0, 取δ1=2ε, ,则对∀x 1, x 2∈[1, +∞), 且|x 1-x 2|
恒有|sin
x 1-sin x 2|=|
cos 2||x 1-x 2|≤
1
|x 1-x 2|
(其中ξ在x 1与x 2之间) 又因为sin
x 在闭区间[0, 2]上连续,所以在[0, 2]上一致连续,对此ε>0,
∃δ2>0, 使得对∀x 1, x 2∈[0, 2],且|x 1-x 2|
|sin x 1-sin x 2|
所以取δ=min{1, δ1, δ2},则当∀x 1, x 2∈(0, +∞), 且|x 1-x 2|
|sin x 1-sin x 2|
所以函数f (x ) =sin
x 在(0, +∞) 上一致连续。
16. 数列{a n }收敛,证明数列b n =a 1q +a 2q 2+ +a n q n (|q |
所以∃M >0, 使得|a n |≤M (∀n ∈N +) ------------------------------2分
ln
则对∀ε>0,取N =|
ε(1-|q |)
ln |q |
|,则当n >N , ∀p ∈N +时恒有
|b n +p -b n |=|a n +1q n +1+ +a n +p q n +p | ≤M |q |
n +1
---------------------4分 1-|q |p M |q |n +1
≤
所以数列{b n }收敛。-----------------------------------------------1分 五.(8分)设x 1>0, 且有x n +1=限。
证明:因为x 1>0, 所以x n >0, (∀n ∈N +)
当x 1≤3时,则当x n ≤3,x n +1=所以 x n ≤3, (∀n ∈N +) ,
6+x n (n =1, 2, 3 ) ,证明数列{x n }收敛,并求出极
+x n ≤+3=3,
2
此时x n +1-x n =+x n -x n =
6+x n -x n
+x n +x n
=
(3-x n )(2+x n ) +x n +x n
≥0
所以数列{x n }单调增加有上界,所以{x n }收敛。 当x 1>3时,则当x n >3,x n +1=所以 x n >3, (∀n ∈N +) , 此时x n +1-x n =
+x n >6+3=3,
+x n -x n =
6+x n -x n
2
+x n +x n
=
(3-x n )(2+x n ) +x n +x n
所以数列{x n }单调减少有下界,所以{x n }收敛。 所以{x n }收敛 设lim x n =a ,则a =
n →∞
a +6, 所以a =3, 即lim x n =3
n →∞
六.(7分)设函数f (x ) 在[0, +∞) 上可导,在(0,+∞) 内二阶可导,且f +'(0)
x →+∞
lim
f (x ) f '(ξ)
=1,证明:存在ξ∈(0, +∞), 使得f ''(ξ) =-. x ξ
证明:因为f +'(0)0,使得f (x 1)
又因为lim
x →+∞
f (x )
=1,所以lim f (x ) =+∞,
x →+∞x
因此∃x 2>x 1,使得f (x 1) >f (0) .
所以∃x 3∈(x 1, x 2) ,使得f (x 1) =f (0) -------------------------------------------------2分 所以∃ξ1∈(0, x 3) ,使得f '(ξ1) =0.-----------------------------------------------------2分 构造函数F (x ) =x f '(x ) ,在[0, ξ1]区间上应用Rolle 定理得:
∃ξ∈(0, ξ1) ⊂(0, +∞) 使得F '(ξ) =0,
即f ''(ξ) =-
f '(ξ)
ξ
--------------------------------------------------------------------------3分
东 南 大 学 考 试 卷
课程名称 工科数分 适用专业 选修数分各专业
考试学期 06-07-2 得分 考试形式
闭卷
考试时间长度 120分钟
一. 填空题(前三题每题4分,第4题8分, 共20分) 1.设y =arctan f (x ) ,其中f (x ) 为可微函数,则微分d y =
f '(x )
d x ; 2
1+f (x )
⎛x 2+1⎫
2.已知lim -ax -b ⎪=0,则a =1,b =-1;
x →∞
⎝x +1⎭
3.设函数f (x ) =x 2cos 2x , 则f (10)(0)=29⋅45; 4. 举出符合各题要求的一例,并将其填写在横线上:
(1)在x =0处不连续,但当x →0时,极限存在的函数有y =sgn x , (2)在x =0处连续,但在x =0时不可导的函数有y =x ,
(3)在x =0处导数为0,但x =0不为极值点的连续函数有y =x 3, (4)属于“
0∞
”或“”未定型,且存在有限极限,但极限不能用洛必达法则求得的0∞
1. 有lim
x →0ln(1+x )
x 2sin
二. 选择题(每小题4分,共12分)
1. 设f (x ) 是单调增函数,g (x ) 是单调减函数,且复合函数f
(f (x ) ), f (g (x ) ),
g (f (x ) ), g (g (x ) )都有意义,则下列函数组中全为单调减函数的是 [ C ]
(A ) f
(f (x ) ), f (g (x ) ) (B ) g (f (x ) ), g (g (x ) )
(f (x ) )
(C ) f (g (x ) ), g (f (x ) ) (D ) g (g (x ) ), f 2.设函数f (x ) =
x
在(-∞, +∞) 内连续,且lim f (x ) =0, bx x →-∞a +e
则常数a , b 满足 [ C ] (A )a 0, b >0 (C )a ≥0, b 0 3.关于数列{x n }的子列,下列叙述错误的是 [ C ] (A )若{x n }是Cauchy 数列,则{x n }的任一子列都收敛. (B )若{x n }是有界数列 ,则{x n }必有一子列收敛.
(C )若{x n }是无界数列 ,则{x n }的任一子列都不收敛.
(D )若当n →∞时{x n }是无穷大量 ,则{x n }的任一子列都不收敛. 三.(每小题7分,共35分) 1. lim
x -sin x
x →0(1-cos x )ln(1+x )
13x
x -sin x 1
解:lim =lim = (3+2+2分)
x →0(1-cos x )ln(1+x ) x →0133x
2
⎛x -2⎫
2. lim ⎪x →∞x +1⎝⎭
⎛x -2⎫解: lim ⎪x →∞x +1⎝⎭
2x -1
x +1⎛3(2x -1) ⎫
⋅ -⎪3⎝x +1⎭
2x -1
3⎫⎛
=lim 1-⎪x →∞
⎝x +1⎭
-
=e
-3lim
x →∞
2x -1x +1
=e -6(3+2+2分)
⎧d y ⎪x =t +arctan t 3.设⎨,求 2
y =ln 1+t d x ()⎪⎩
d 2y
t =1,
d x 2
t =1
.
2t 2d y 解:t =1=d x 1+
1+t 2
t =1=
2t 2+t 2
t =1=
2
(3分) 3
d 2y d x 22(2-t 2)(1+t 2) t =1=
(2+t 2) 3
t =1=
4
(4分) 27
4. 设y =f (x ) 是由方程xy +2ln x =y 4所确定的隐函数,求曲线 y =f (x ) 在点(1, 1) 处的切线方程.
解:对方程关于x 求导得:y +xy '+
2
=4y 3y ',(4分)将x =1, y =1代入得y '(1)=1,x
(1分)于是所求切线方程为y =x . (2分) 5. 设数列{x
n }满足x n +2x n 3
=0,证明数列{x n }收敛并求极限。 解:首先x n
由此可得x n >
,(3分)由夹逼定理得数列{x n }收敛,且lim x n =0. (2分)
n →∞
四.(7分)设函数f (x ) 在x =0的某邻域内具有一阶连续导数,且f (0) ≠0, f '(0) ≠0, 若af (h ) +bf (2h ) -f (0) 在h →0时是比h 高阶的无穷小,试确定a , b 的值。
解:由af (h ) +bf (2h ) -f (0)=(a +b -1) f (0)+(a +2b ) f '(0)h +ο(h ) , h →0(4分)
得a =2, b =-1. (3分)
n 31
=. 五.(每小题7分,共14分) 1. 用ε-N 定义证明lim 3
n →∞2n -12
n 31111⎡1⎤∀ε>0证:,(4分),取,当n >N 时, N =-=≤≤⎢⎥ε2n 3-122(2n 3-1) 2n 3n ⎣⎦
n 31
-
2n -12
2. 利用Cauchy 收敛准则证明:数列a n =证:a n +p -a n =(4分)取ε0=
111++ +发散. ln 2ln 3ln(n +1)
111p p
++ +>≥,
ln(n +2) ln(n +3) ln(n +p +1) ln(n +p +1) n +p
1
,对∀n ∈N +,取p =n ,则a 2n -a n ≥ε0,由Cauchy 收敛准则得:数2111++ +列a n =发散. (3分) ln 2ln 3ln(n +1)
六. (6分) 设函数f (x ) 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f (0)=0,试证:存在一点
ξ∈(0,1),使得
3f (ξ)
=f '(ξ) 1-ξ
证:设F (x ) =(1-x ) 3f (x ) ,(2分)F (x ) 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
F (0)=F (1)=0,由罗尔定理知∃ξ∈(0,1),使得
F '(ξ) =(1-ξ) 2((1-ξ) f '(ξ) -3f (ξ) )=0,由于1-ξ≠0,得
3f (ξ)
=f '(ξ) (4分) 1-ξ
七.(6分) 设f (x ) 在(0,+∞) 上可导,且lim f '(x ) =∞,证明:f (x ) 在(0,+∞) 内非一致
x →+∞
连续.
证:用反证法。设f (x ) 在(0,+∞) 内一致连续. 对ε=1,∃δ>0,对∀x ∈(0,+∞) , 有f (x +δ) -f (x )
x →+∞
1
δ
>0,∃X >0,当x >X
时,f '(x ) >
1
δ
,(2分)于是当x >X 时,∃ξ∈(x , x +δ) ,使得
f (x +δ) -f (x )
δ
致连续. (2
=f '(ξ) >
1
δ
,与(*)式矛盾,所以f (x ) 在(0,+∞) 内非一
东 南 大 学 考 试 卷
课程名称
工科数学分析(期中)
考试学期 08-09-2
闭卷
得分
适用专业 选修数分的各专业 考试形式 考试时间长度 120分钟
一. 填空题(每个空格4分,本题满分32分) 1.lim x ln 1-
x →∞
⎛⎝⎫
⎪=; 2
2x +1⎭
x
α
2.当x →0时,1-cos(1-cos x ) 与kx 是等价无穷小,则k = ,α= ;
3.设y =x
sin x
,则d y
x =
π2
=______________;
4.设y =y (x ) 是由方程e xy +tan(xy ) =y 所确定的隐函数,则y '(0)= ; 5.设f (x ) =x ln(1+2x ) ,则f (5)(0)=;
6.已知曲线y =x 2-ax -b 和y =-2+x 2y 4在点(1,-1) 处相切,则a =,b = 二. 单项选择题(每小题4分,本题满分12分)
7.设f (x ) =(x -a )(x -b )(x -c )(x -d ) , 其中常数a 、b 、c 、d 互不相等, 且
f '(k ) =(k -a )(k -b )(k -c ) , 则k 的值等于 [ ]
(A ) a (B ) b (C ) c (D ) d
x 3-x
8.设函数f (x ) =,则f (x ) [ ]
sin(πx )
(A ) 有无穷多个第一类间断点 (B ) 仅有一个可去间断点 (C) 有两个跳跃间断点 (D ) 有三个可去间断点
f 2(a +2h ) -f 2(a -h )
= [ ] 9. 已知f '(a ) 存在, 则lim
h →0h
(A ) (f '(a ) ) (B ) 2f '(a ) f (a ) (C ) 6f '(a ) f (a ) (D ) 3f '(a ) f (a ) 三. 计算题(本题满分27分) 10.(7分)
x →02
11. (6分) lim
2ln x +sin x
x →+∞ln x +cos x
π1+⎧d 2y ⎪x =t +arctan t +e 2
12.(7分)设⎨,求2
3d x ⎪⎩y =t +6t
t =1
.
13. (7分)用ε-δ定义证明:lim
3x
=3.
x →12x -1
⎧a e 2x +cos x , x ≤0⎪
四(14).(7分)已知函数f (x ) =⎨sin(bx ) 可导,试求常数a 和b 的值.
+x , x >0⎪x ⎩
五(15).(7分)设函数f 在区间[a , b ]上连续,f (a ) =f (b ) ,证明存在α, β∈[a , b ],且
β-α=
b -a
,使得f (α) =f (β) . 2
六(16). (8分)
证明函数f (x ) =(c , +∞) (c >0) 上一致连续. 七(17).(7分) 设函数f (x ) 在区间[1,+∞) 上可导,且满足f '(x ) ≤
1
,令x n =f (n ) , x 2
n =1,2, ,证明数列{x n }收敛.
一. 填空题(每个空格4分,本题满分24分) 1
.lim
x →0
-
=
x
3
⎧sin x ⎪
2.已知f (x )=⎨(1+2x ) , x >0在x =0处连续, 则a = ;
x ⎪x ≤0⎩a e ,
3.设f (x ) =arctan e , 则微分d f (x ) =_____________ __; 4.设f (x ) =x
2010
x
cos x ,则f (2010)(0)=;
2y
5.设y =y (x ) 是由方程y =1-x e 所确定的隐函数,则y '(0)=;
32
32
6.曲线x +y =16在点(4,4) 处的切线方程为 ____. 二. 单项选择题(每小题4分,本题满分12分)
7.当x →0时,x -sin ax 与x ln(1-bx ) 是等价无穷小,则 [ ]
2
1111 (B) a =1, b = (C) a =-1, b =- (D) a =-1, b = 6666πx 1arctan
的间断点 [ ] 8.函数f (x ) =x sin
2
(A) a =1, b =-
(A )都是可去间断点 (B )都是跳跃间断点
(C )都是无穷间断点 (D )分别是可去间断点、跳跃间断点与无穷间断点 9.设f (x ) 在x =a 的邻域内有定义,则f (x ) 在x =a 可导的一个充分条件是 [ ]
(A) lim h f a +
h →+∞(C) lim
h →0
⎛⎛⎝⎝f (a +2h ) -f (a +h ) 1⎫⎫
lim 存在 (B ) 存在 -f (a ) ⎪⎪h →0h h ⎭⎭
f (a +h ) -f (a -h ) f (a ) -f (a -h )
存在 (D ) lim 存在
h →02h h
x
三. 计算题(每小题8分,本题满分32分)
1
⎛⎫x 1+e 10.求极限 lim ⎪ x →0+⎝⎭
11. 求极限 lim
n +n ⎫⎛n +1n +2
++ +⎪ 22n →∞n 2+1n +2n +n ⎭⎝
⎧x =t -2arctan t 2
d y d y ⎪312.设函数y =y (x ) 由参数方程⎨所确定,试求、. t 2d x d x ⎪y =-t
3⎩
13. 写出函数f (x ) =ln x 在x =1处的带有Lagrange 余项的3阶Taylor 公式.
a b
⎧⎪x sin (x ), x >0
四(14). (13分)设a 和b 都是实常数, b
x ≤0⎪⎩0,
回答下列问题,并说明理由。
(1)当a 、b 满足什么条件时,f (x ) 不是连续函数? (2)当a 、b 满足什么条件时,f (x ) 连续,但不可导?
(3)当a 、b 满足什么条件时,f (x ) 可导,但f '(x ) 在区间[-1,1]上无界? (4)当a 、b 满足什么条件时, f '(x ) 在区间[-1,1]上有界,但不连续? (5)当a 、b 满足什么条件时,f '(x ) 连续?
x 2-4
=2. 五(15). (7分)用定义证明lim 2
x →2x -2x
六(16). (7分) 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 上可导,且f '(x ) 在区间(a , b ) 上单调增加,试证明:若x 0∈(a , b ) ,对任意x ∈(a , b ) ,有 f (x ) ≥f (0x ) +'f (0x ) (-x
七(17) .(5分) 设f (x ) 在[a , +∞) 上一致连续,ϕ(x ) 在[a , +∞) 上连续,且
0.
x )
x →+∞
lim (f (x ) -ϕ(x )) =0,证明:ϕ(x ) 在[a , +∞) 上一致连续.
10-11-2工科数分期中参考答案及评分标准
一. 填空题(每个空格4分,本题满分24分)
e x
d x ;4.2010! ;5. -e 2;6.x +y =8. 1.1;2.e ;3.2x
1+e
6
二. 单项选择题(每小题4分,本题满分12分) 7.A ; 8.D ;9.D
三. 计算题(每小题8分,本题满分32分)
lim x e ⎛⎫⎛⎫x →0+
10.解 lim lim =e ⋅e =e (各2分) 1+e ⎪=e x 1+e ⎪=e ⋅e x →0+→0+
⎝⎭⎝⎭n (n +1) n (n +1) n 2+n 2+
n +1n +2n +n 11. 解 (4分) ≤++ +≤22222
n +n n +1n +2n +n n n (n +1) n (n +1) n 2+n 2+
3由于lim ,(3分)由夹逼定理得 =lim =22n →∞n →∞n +n n 2
1
x
x
1-x
x
1⎛-⎫ lim x ln 1+e x ⎪ ⎪x →0+
⎝⎭
-1
x
n +n ⎫3⎛n +1n +2
lim 2+2+ +2⎪=(1分) n →∞n +1n +2n +n ⎝⎭2
d 2y 2t 2t (1+t 2) d y 2
=1+t (3分)=212. 解 ,2=(5分)
d x d x t -11-
1+t 2
13. 解ln x =x -1-
111(x -1) 2+(x -1) 3-(x -1) 4,0
(1+2+2+2+1分)
f (x ) 不存在。四(14) (13分). 解(1)当a ≤0时,f (x ) 不是连续函数(1分),因为lim +
x →0
f (x ) f (x ) =lim (1分)(2)当0
x →0
x →0
=f (0)=0,所以f (x ) 连续,而lim +
x →0
f (x ) -f (0)
=lim x a -1sin(x b ) ,右端极限不存在,+
x →0x
故f (x ) 不可导(2分)(3)当1
x →0
f (x ) -f (0)f (x ) -f (0)a -1b
=lim x sin(x ) =0=lim , +-
x →0x →0x x
⎧ax a -1sin(x b ) +bx a +b -1cos(x b ), x >0
f '(x ) ,故f (x ) 可导,但lim f '(x ) =⎨+
x →0x ≤0⎩0,
=lim(ax a -1sin(x b ) +bx a +b -1cos(x b )) =b lim x a +b -1cos(x b ) ,由于lim x a +b -1=+∞,故+++
x →0
x →0
x →0
f '(x ) 在区间[-1,1]上无界(2分)。(4)当a=1-b 时,f '(x ) 在区间[-1,1]上有界,但f '(x ) f '(x ) =b lim cos(x b ) ,b
x →0
x →0
式右端的极限不存在,因而f '(x ) 不连续,由(3)得f '(x ) ≤a +b ,
x ∈[-1,1],因a +b -1=0。(2分)。(5)当a >1-b 时,f '(x ) 连续(1分)。由(3)得lim f '(x ) =f '(0)=0,故f '(x ) 连续(1分)。
x →0
x 2-4x -2五(15). (7分)证2,限制x -21(3分),∀ε>0, -2=
x -2x x
x 2-4x 2-4
-2
x →2x -2x x -2x
六(16)(7分) 证由于f (x ) 在区间(a , b ) 上可导,由Lagrange 中值定理,存在ξ介于x 与x 0之间,使得f (x ) -f (x 0) -f '(x 0)(x -x 0) =(f '(ξ) -f '(x 0))(x -x 0) ,(4分)
又由于f '(x ) 在区间(a , b ) 上单调增加,故f (x ) -f (x 0) -f '(x 0)(x -x 0) ≥0,即() 3分) f (x ) ≥f (0x ) +'f (0x ) (-x 0. x
七(17)(5分) 证因lim (f (x ) -ϕ(x )) =0,∀ε>0, ∃X >a ,当x >X ,
x →+∞
f (x ) -ϕ(x )
ε
3
,(1分)又因f (x ) 在[a , +∞) 上一致连续,对ε>0,∃δ1>0,当
x '-x ''
ε
3
,(1分)于是,∀x ', x ''>X ,当x '-x ''
εεε
x ''+f (x '') -ϕx ('')
3
3
3
(1分)利用Cantor 定理,可知ϕ(x ) 在[a , X +1]上一致连续,所以对此ε>0,∃δ2>0,当x ', x ''∈[a , X +1],x '-x ''