导数历年高考题精选(理科)

导数历年高考题精选（理科）

1、曲线y =x 2-2x +1在点（1,0）处的切线方程为 ( )

（A ）y =x -1 （B ）y =-x +1 （C ）y =2x -2 （D ）y =-2x +2

2、若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b ) 处的切线方程是x -y +1=0，则( )

(A) a =1, b =1 (B) a =-1, b =1 (C) a =1, b =-1 (D) a =-1, b =-1

1-⎫⎛3、若曲线y =x 在点 a , a 2⎪处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，

⎝⎭-12

则a = ( )

（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8

4、若a ＞0，b ＞0，且函数f (x ) ＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )

A ．2 B ．3 C．6 D ．9

5、已知函数f (x )=x 3-3ax 2+3x +1.

（1）设a =2，求f (x )的单调期间；

（2）设f (x )在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。

6、已知函数f (x ) =ax 3+x 2+bx (其中a , b ∈R ), g (x ) =f (x ) +f '(x ) 是奇函数.

（1）求f (x ) 的表达式；

（2）讨论g (x ) 的单调性，并求g (x ) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

117、设f (x ) =-x 3+x 2+2ax . 32

2（1）若f (x ) 在(, +∞) 上存在单调递增区间，求a 的取值范围； 3

16（2）当0

大值.

38、已知函数f (x )=ax 3-x 2+1(x ∈R )，其中a >0． 2

（1）若a =1，求曲线y =f (x )在点(2, f (2))处的切线方程；

⎡11⎤（2）若在区间⎢-, ⎥上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围． ⎣22⎦

9、设f (x ) =2x 3+ax 2+bx +1的导数为f '(x )，若函数y =f '(x )的图象关于直线

1x =-对称，且f '(1)=0. 2

（1）求实数a , b 的值；（2）求函数f (x )的极值.

10、设f (x )=13x +mx 2+nx . 3

（1）如果g (x )=f '(x )-2x -3在x =-2处取得最小值-5，求f (x )的解析式；

（2）如果m +n

11、已知函数f (x ) =x 3+3ax 2+(3-6a ) x +12a -4(a ∈R )

（1）证明：曲线y =f (x ) 在x =0的切线过点(2,2)；

（2）若f (x ) 在x =x 0处取得极小值，x 0∈(1,3) , 求a 的取值范围。

32212、设函数f ，gx ，其中x ∈R ，a 、b 为常()x =x +2a x +b x +a () =x -3x +2

数，已知曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 在点（2,0）处有相同的切线l .

（1）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；

（2）若方程f ()有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中x 1

且对任意的x ∈[x 恒成立，求实数m 的取值范围。 ()+g ()x

13、设函数f (x ) =x 2e x -1+ax 3+bx 2，已知x =-2和x =1为f (x ) 的极值点．

（1）求a 和b 的值；

（2）讨论f (x ) 的单调性；

（3）设g (x ) =

23x -x 2，试比较f (x ) 与g (x ) 的大小． 3

14、已知函数f (x ) =1N*,a 为常数. +a ln(x -1), 其中n ∈n (1-x )

（1）当n =2时，求函数f (x )的极值；

（2）当a =1时，证明：对任意的正整数n , 当x ≥2时，有f (x )≤x -1.

115、已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+x +3, 其中a ≠0 3

（1）当a , b 满足什么条件时, f (x ) 取得极值?

（2）已知a >0，且f (x ) 在区间(0,1]上单调递增, 试用a 表示出b 的取值范围.

16、观察(x 2) ' =2x ，(x 4) ' =4x 2，(cosx )' =-sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x ) 满足f (-x ) =f (x ) ，记g (x ) 为f (x ) 的导函数，则g (-x ) =（ ）

A. f (x )

B. -f (x ) C. g (x ) D. -g (x )

17、已知函数f (x ) =1nx -ax +1-a -1(a ∈R ). x

（1）当a =-1时，求曲线 y =f (x ) 在点（2，f (2)) 处的切线方程；

（2）当a ≤

18、已知函数f (x ) =log a x +x -b (a >0, 且a ≠1) ， 当2

19、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π立方米，3

且l ≥2r . 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3) 千元. 设该容器的建造费用为y 千元。

（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小值时的r .

20、曲线y =x 3+11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）

A. -9 B. -3 C. 9 D. 15

3) 处的切线的倾斜角为（ ） 21、曲线y =x 3-2x +4在点(1，

A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°

22、已知函数f (x ) =x 3+ax 2+x +1，a ∈R ．

（1）讨论函数f (x ) 的单调区间；

（2）设函数f (x ) 在区间⎛ ⎝-2

3，-1⎫

3⎪⎭内是减函数，求a 的取值范围．

23、设函数f (x ) =1

3x 3-(1+a ) x 2+4ax +24a ，其中常数a >1

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围。

24、已知直线y =x +1与曲线y =ln (x +a )相切，则a 的值为( )

A.1 B.2 C. -1 D. -2

25、设函数f (x )=x 3+3bx 2+3cx 在两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[-1，0],x 2∈[1,2].

（1）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点

1-10≤f x ≤-的区域；（2）证明： b , c ()()22

26、曲线y =x 在点(1,1)处的切线方程为（ ） 2x -1

A. x -y -2=0 B. x +y -2=0 C. x +4y -5=0 D. x -4y -5=0

27、设函数f (x )=x 2+a ln (1+x )有两个极值点x 1、x 2，且x 1

（1）求a 的取值范围，并讨论f (x )的单调性；

（2）证明：f (x 2)>

1-2ln 24

28、已知函数f (x ) =3ax 4-2(3a +1) x 2+4x

（1）当a =1时，求f (x ) 的极值； 6

（2）若f (x ) 在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围.

29、已知函数f (x ) =x 3-3ax 2+3x +1

（1）设a =2，求f (x ) 的单调区间；

（2）设f (x ) 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.

30、已知函数f (x ) =(x +1)ln x -x +1.

（1）若xf '(x ) ≤x 2+ax +1，求a 的取值范围； （2）证明：(x -1) f (x ) ≥0 .

31、设函数f (x )=1-e -x ． （1）证明：当x ＞-1时，f (x )≥（2）设当x ≥0时，f (x )≤

32、曲线y =e -2x +1在点（0，2）处的切线与直线y =0和y =x 围成的三角形的面积为（ ） (A)

x

； x +1

x

，求a 的取值范围． ax +1

112

(B) (C) (D) 1 323

33、已知函数f (x ) =x 3+3ax 2+(3-6a ) x +12a -4(a ∈R ) （1）证明：曲线y =f (x ) 在x =0处的切线过点（2，2）； （2）若f (x ) 在x =x 0处取得最小值，x 0∈求a 的取值范围. （1，3），

34、设函数f (x )=(x -1)e x -kx 2(其中k ∈R ).

⎛1⎤

(1)当k =1时, 求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈ ,1⎥时, 求函数f (x )在[0, k ]

⎝2⎦

上的最大值M .

35、设函数f (x ) =x 3-kx 2+x (k ∈R )． （1）当k =1时, 求函数f (x ) 的单调区间；

（2）当k

36、设l 为曲线C :y =ln x 在点(1,0)处的切线．

x （1）求l 的方程；

（2）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．

37、已知函数f (x ) =x 2+x sin x +cos x

（1）若曲线y =f (x ) 在点(a , f (a )) 处与直线y =b 相切，求a 与b 的值； （2）若曲线y =f (x ) 与直线y =b 有两个不同交点，求b 的取值范围．

38、已知函数f (x ) =x 3+3ax 2+3x +1 （1

）求当a =, 讨论f (x ) 的单调性; （2）若x ∈[2,+∞) 时, f (x ) ≥0, 求a 的取值范围.

39、已知函数f (x ) =x -a ln x (a ∈R )

（1）当a =2时，求曲线y =f (x ) 在点A (1,f (1))处的切线方程； （2）求函数f (x ) 的极值．

40、已知函数f (x ) =x -1+

a

(a ∈R ), (e 为自然对数的底数) e x

（1）若曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数f (x ) 的极值；

（3）当a =1时，若直线l :y =kx -1与曲线y =f (x ) 没有公共点，求k 的最大值．

x 2x 3

41、设函数f n (x ) =-1+x +2+2+

23x n

+2(x ∈R , n ∈N *) ，证明： n

2

（1）对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈[,1]，满足f n (x n ) =0；

3

（2）对于任意p ∈N *，由（1）中x n 构成数列{x n }满足0

42、已知函数f (x ) =e x , x ∈R .

（1）若直线y =kx +1与f (x ) 的反函数的图像相切, 求实数k 的值;

1． n

（2）设x >0, 讨论曲线y =f (x ) 与曲线y =mx 2(m >0) 公共点的个数. （3）设a

f (a ) +f (b ) f (b ) -f (a )

与的大小, 并说明理由. 2b -a

43、已知函数f (x ) =e x , x ∈R .

（1）求f (x ) 的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

12

a +b ⎫f (b ) -f (a )

（3）设a

（2）证明: 曲线y =f (x ) 与曲线y =x 2+x +1有唯一公共点.

44、设函数f (x )=ln x -ax ，g (x )=e x -ax ，其中a 为实数.

(1) 若f (x )在(1, +∞)上是单调减函数，且g (x )在(1, +∞)上有最小值，求a 的范围；

(2) 若g (x )在(-1, +∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论.

46、已知函数f (x ) =

1-x x

e . 2

1+x

（1）求f (x ) 的单调区间；

（2）证明：当f (x 1) =f (x 2)(x 1≠x 2) 时，x 1+x 2

47、设a >0，b >0，已知函数f (x ) =

ax +b

. x +1

（1）当a ≠b 时，讨论函数f (x ) 的单调性；

（2）当x >0时，称f (x ) 为a 、b 关于x 的加权平均数. ①判断f

(1), f b b

, f () 是否成等比数列，并证明f () ≤f ； a a

②a 、b 的几何平均数记为G . 称

2ab

为a 、b 的调和平均数，记为H . 若a +b

H ≤f (x ) ≤G ，求x 的取值范围.

48、设函数f (x )=

x

e 2x

+c (e =2. 71828 是自然对数的底数，c ∈R ). （1）求f (x )的单调区间，最大值；

（2）讨论关于x 的方程ln x =f (x )根的个数.

49、已知a >0，函数f (x ) =

x -a

x +2a

（1）记f (x ) 在区间[0,4]上的最大值为g (a ) ，求g (a ) 的表达式

（2）是否存在a ，使函数y =f (x ) 在区间(0,4) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由

50、已知函数f (x ) =ax 2+bx -ln x (a , b ∈R ) （1）设a ≥0，求f (x ) 的单调区间

（2）设a >0，且对于任意x >0，f (x ) ≥f (1)，试比较ln a 与-2b 的大小

51、设函数f (x ) =ax -(1+a 2) x 2(a >0) ，区间l ={x f (x ) >0}

（1）求l 的长度（注：区间(α, β) 的长度定义为β-α）；

（2）给定常数k ∈(0,1)，当1-k ≤a ≤1+k 时，求l 长度的最小值．

52、已知a ∈R ，函数f (x ) =2x 3-3(a +1) x 2+6ax

（1）若a =1，求曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程；

（2) 若a >1，求f (x ) 在闭区间[0,2a ]上的最小值.

153、已知函数f (x ) =a (1-2x -), a 为常数且a >0. 2

（1）证明：函数f (x ) 的图像关于直线x =1对称； 2

（2）若x 0满足f (f (x 0)) =x 0，但f (x 0) ≠x 0，则x 0称为函数f (x ) 的二阶周期点，如果f (x ) 有两个二阶周期点x 1, x 2，试确定a 的取值范围；

（3）对于（2）中的x 1, x 2，和a ，设x 3为函数f (f (x )) 的最大值点，A (x 1, f (f (x 1))), B (x 2, f (f (x 2))), C (x 3,0) , 记∆ABC 的面积为S (a ) ，讨论S (a ) 的单调性。

54、已知函数f (x ) =(1+x ) e

（1）求证：1-x ≤f (x ) ≤-2x x 3, g (x ) =ax ++1+2x cos x ，当x ∈[0,1]时， 21； 1+x

（2）若f (x ) ≥g (x ) 恒成立，求实数a 的取值范围．

⎧12x (0≤x ≤a ) ⎪⎪a 55、设函数f (x ) =⎨错误！未找到引用源。常数且a ∈(0,1). ⎪1(1-x )(a 2

（1）当a =11时，求f (f ()) ； 23

（2）若x 0满足f (f (x 0)) =x 0但f (x 0) ≠x 0，则称x 0为f (x ) 的二阶有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1, x 2；

（3）对于（2）中x 1, x 2，设A (x 1, f (f (x ) ) ) , B (x , 2f (f (x ) ) ) 21, C (a 2,0) ，记∆ABC 的

11面积为S (a ) ，求S (a ) 在区间[, ]上的最大值和最小值。 32

56、已知函数f (x ) =ln(1+x ) -x (1+λx ) . 1+x

（1）若x ≥0时f (x ) ≤0，求λ的最小值；

11（2）设数列{a n }的通项a n =1+++2311+，证明：a 2n -a n +>ln 2. n 4n

57、已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3x +1.

（1

）求a =, 讨论f (x ) 的单调性；

（2）若x ∈[2, +∞)时, f (x ) ≥0, 求a 的取值范围.

⎧x 2+2x +a (x 0)

为该函数图象上的点，且x 1

（1）指出函数f (x ) 的单调区间；

（2）若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线互相垂直，且x 2

（3）若函数f (x ) 的图象在点A , B 处的切线重合，求a 的取值范围．

59、已知函数f (x ) =x 2l n x .

（1）求函数f (x ) 的单调区间；

（2）证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使t =f (s ) .

（3）设(Ⅱ) 中所确定的s 关于t 的函数为s =g (t ) , 证明: 当t >e2时, 有2ln g (t ) 1

⎧x 3-(a +5) x , x ≤0, ⎪60、设a ∈[-2,0]，已知函数f (x ) =⎨3a +32 x -x +a x , x >0. ⎪⎩2

（1）证明f (x ) 在区间(-1,1) 内单调递减, 在区间(1,+∞) 内单调递增；

（2）设曲线y =f (x ) 在点P i (x i , f (x i ))(i =1,2,3) 处的切线相互平行, 且x 1x 2x 3≠0, 证明x 1+x 2+x 3>.

13

61、已知函数f (x ) =x 2+ax +b , g (x ) =e x (cx +d ) , 若曲线y =f (x ) 和曲线y =g (x ) 都过点P (0,2) ，且在点P 处有相同的切线y =4x +2．

（1）求a , b , c , d 的值；

（2）若x ≥-2时，f (x ) ≤kg (x ) ，求k 的取值范围．

62、已知函数f (x ) =e x (ax +b ) -x 2-4x ，曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处切线方程为y =4x +4

（1）求a , b 的值

（2）讨论f (x ) 的单调性，并求f (x ) 的极大值．

63、已知函数f (x ) =e x -ln(x +m )

（1）设x =0是f (x ) 的极值点，求m ，并讨论f (x ) 的单调性；

（2）当m ≤2时，证明f (x ) >0.

64、己知函数f (x ) =x 2e -x

（1）求f (x ) 的极小值和极大值；

（2）当曲线y =f (x ) 的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．

65、已知a ∈R ，函数f (x ) =x 3-3x 2+3ax -3a +3

（1）求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程；（2）当x ∈[0,2]时，求f (x ) 的最大值。

66、已知a ∈R ，函数f (x ) =2x 3-3(a +1) x 2+6ax

（1）若a =1，求曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程；（2）若a >1，求f (x ) 在闭区间[0,2a ]上的最小值．

67、设f (x ) =a (x -5) 2+6ln x ，其中a ∈R ，曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．（1）确定a 的值；（2）求函数f (x ) 的单调区间与极值．