高一数学同步练习_任意角的三角函数基础练习题及答案

题型1：象限角

例1．已知角α

=45︒；（1）在区间[-720︒, 0︒]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合M

k ⎧⎫

=⎨x |x =⨯180︒+45︒, k ∈Z ⎬，

2⎩⎭

k ⎧⎫

N =⎨x |x =⨯180︒+45︒, k ∈Z ⎬那么两集合的关系是什么？

4⎩⎭

解析：（1）所有与角

α有相同终边的角可表示为：45︒+k ⨯360︒(k ∈Z ) ，则令 -720︒≤45︒+k ⨯360︒≤0︒，得

76545

≤k ≤-360360

从而k

-765︒≤k ⨯360︒≤-45︒解得 -

（2）因为M

=-2或k =-1代回β=-675︒或β=-315︒

而集合N ={x |x =(k +1) ⨯45︒, k ∈Z }表={x |x =(2k +1) ⨯45︒, k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；

示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ØN 。

例2．若sin θcos θ＞0，则θ在（）A ．第一、二象限 B ．第一、三象C ．第一、四象限 D ．第二、四象限

解析：∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号当sin θ＞0，cos θ＞0时θ在第一象限当sin θ＜0，cos θ＜0时θ在第三象 例3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°，∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B 。

例4．已知“

α是第三象限角，则

α

是第几象限角? 3

32

解法一：因为

α是第三象限角，所以2k π+π

∴

2k πα2k παπ+

为第一象限角；

当k= 3m＋1（m ∈Z ）时，

αα

为第三象限角，当k= 3m＋2（m ∈Z ）时，为第四象限角， 33

故

α

为第一、三、四象限角。 3

题型2：三角函数定义

例5．已知角

α的终边过点(a ,2a )(a ≠0) ，求α的四个三角函数值。

≠

0) ，所以r =a |，x =a , y =

2a 。当a >0时，sin α=

解析：因为过点(a ,2a )(a

y ； ===

r

c o s α=

y x ，tan α

=2。当x tan α=2。

a

sin α====cos α==r r r 例6．已知角

α

的终边上一点P (

m ) ，且sin α=

，求cos α,sin α的值。

4

sin α

解析：由题设知x

=y =

m ，所以r 2=|OP |2=(2+

m 2得r

=

m

==r 4，

解得m

=

0或16=6+2m 2⇒m =m =

0时，r =x = cos α=

x y

=-1, tan α==0；

r x

当m =

x y

时，r =x =

cos α==α==r x

当m

=

r =x =

cos α=x =r

y α=x 题型3：诱导公式

例7．（2009辽宁文，8）已知tan θ

=2，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=（ D ） A. -

45

B.34

C. -

3

4

D.

45

-sin(180+α) +sin(-α) -tan(360+α) ；（2）sin(α+n π) +sin(α-n π) 例8．化简：（1）(n ∈Z ) 。

sin(α+n π)cos(α-n π) tan(α+180) +cos(-α) +cos(180-α)

sin(α+2k π) +sin(α-2k π) 2

解析：（1）原式=sin α-sin α-tan α=-tan α=-1；（2）①当n =2k , k ∈Z 时，原式=。 =

sin(α+2k π)cos(α-2k π) cos αtan α+cos α-cos αtan α

②当n =2k +1, k ∈Z 时，原式=

sin[α+(2k +1) π]+sin[α-(2k +1) π]2

。 =-

sin[α+(2k +1) π]cos[α-(2k +1) π]cos α

1．已知sin(

α+π) ＝ －

1

2

，则

1cos(-α+7π)

的值是（ （A ）

2 (B) －2 3

(C)－

23

3

(D)±

2 3

解析：

sin(α

112311+π) =-∴sin α= ∴cos α=±故选D 。 ==22cos(-α+7π) -cos α3

（ ）

2．式子

cos(-585︒)

的值是

sin 630︒+sin(-690︒)

=3，求

3、已知：tan α

-2cos α+3sin α-2+3tan α2cos(π-α) -3sin(π+α)

==7． 的值。解析：∵tan α=3，∴原式=

4cos α-sin α4-tan α4cos(-α) +sin(2π-α)

4、已知

1+tan(θ+720︒) 1

=3+22, 求:[cos2(π-θ) +sin(π+θ) ⋅cos(π-θ) +2sin 2(θ-π)]⋅2

1-tan(θ-360︒) cos (-θ-2π)

1+tan(θ+720︒)

（4+2) tan θ=2+2，所以tan θ=2+2=3+22，得

1-tan(θ-360︒) 4+2

22=2故

2

解析：由

221=[cos2θ+sin θcos θ+2sin 2θ]⋅1=1＋tan θ＋2tan 2θ=1++2⋅() [cos(π-θ) +sin(π+θ) ⋅cos(π-θ) +2sin (θ-π)]⋅

22cos 2θcos 2(-θ-2π)

2

2

=2+

3

，且α是第四象限角，求tan α[cos(3π-α) -sin(5π+α)]的值。 5

解析：tan α[cos(3π-α) -sin(5π+α)]=tan α[cos(π-α) -sin(π+α)]=tan α(-cos α+sin α)

4321

=tan αsin α-tan αcos α=sin α(tanα-1) 由已知得：cos α=, tan α=-， ∴原式=．

5420

sin(α+n π) +sin(α-n π) sin(α+2k π) +sin(α-2k π) 2

(n ∈Z ) ．解析：①当n =2k , k ∈Z 时，原式==6、化简

sin(α+n π)cos(α-n π) sin(α+2k π)cos(α-2k π) cos α

sin[α+(2k +1) π]+sin[α-(2k +1) π]2

n =2k +1, k ∈Z 时原式==-

sin[α+(2k +1) π]cos[α-(2k +1) π]cos α

5、 已知sin α

=-

．②当

题型4：同角三角函数的基本关系式

例

9

=-2tan α，试确定使等式成立的角α的集合。

=

=

|1+sin α||1-sin α1+sin α-1+sin α2sin α

-==。

|cos α||cos α||cos α||cos α|

2sin α2sin α

+=0， 即得sin α=0或|cos α|=-cos α≠0=-2tan α，∴

cos α|cos α|

所以，角α的集合为：{α|α=k π或2k π+π

2

2

例10．（1）证明：

2(cos α-sin α)cos αsin α

=-

1+sin α+cos α1+sin α1+cos α

；（2）求证：

cos x 1+sin x

=。

1-sin x cos x

解析：证法二：要证等式，即为

2(cos α-sin α)(cos α-sin α)(1+sin α+cos α)=

1+sin α1+cos α1+sin α+cos α

cos α）=(1+sin α+cos α)2即证：

只要证 2（1+sin α）（1+

2+2sin α+2cos α+2sin αcos α=1+sin 2α+cos 2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α，即1=sin 2α+cos 2α，显然成立，

（2）证法一：由题义知cos x

≠0，所以1+sin x ≠0,1-sin x ≠0。∴左边=

cos x (1+sin x ) cos x (1+sin x ) 1+sin x

==右边。 =2

cos x (1-sin x )(1+sin x ) cos x

（2009全国I 文，1）sin 585°的值为

A.

C.

D. 5

2

cos A =12-13

6. （2009全国II 文，4） 已知∆ABC 中，cot A =-12， 则cos

5

A =解析：已知∆ABC 中，cot A =-12，∴A ∈

(π, π) .

14. （2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11C ．sin11弦函数

B ．sin168

=sin80︒，由于正

y =sin x 在区间[0︒,90︒]上为递增函数，因此sin11︒

二、填空题

15. （2009北京文）若sin θ

4

=-, tan θ>0，则cos θ= . 已知，θ

5

在第三象限，∴

3，∴应填-cos θ=-

53

. 5

1．下列说法正确的是 [ ]A．小于90°的角是锐角B ．大于90°的角是钝角C ．0°～90°间的角一定是锐角D ．锐角一定是第一象限的角解0°～90°间的角指的是半闭区间0°≤θ＜90°，小于90°的角可是以是负角或零角，大于 90°的角可以是任何象限的角．

2．设A={钝角}，B=｛小于180°的角}，C={第二象限的角}， D={小于180°而大于90°的角}，则 下列等式中成立的

是 [ ]A．A=C B．A=B C．C=D D．A=D答：D 解：第二象限的角不是钝角，小于180°的角也不一定是钝角．

[ ]A．第一象限角B 第二象限角C 第一象限角或第三象限角D 第一象限角或第二象限角

[ ]A．重合B ．关于原点对称C 关于x 轴对称D 关于y 轴

对称

解：∵α与-α角的终边关于x 轴对称或重合于x 轴上，θ=2k

π+

5．若α，β的终边互为反向延长线，则有 [ ]A．α=-β B ．α=2kπ+β(k∈Z) C．α=π+β D ．α=(2k+1)π+β(k∈Z)

解：在0～2π内α与β的终边互为反向延长线，则α=π+β或β=π+α，即α与π+β或α+π与β的终边相同，∴α=2kπ-(π+β)(k∈Z) 或π+a=2kπ+β(k∈Z) ∴α=2kπ-π+β(k∈Z) 即α= (2k-1)π+β(k∈Z) ．

7．在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系一定是 [ ] A ．α+β=πB ．α+β=2kπ(k∈Z)C ．α+β＝n π(n∈Z)D ．α+β＝(2k+1)π(k∈Z)

解：α与β的终边关于y 轴对称，α+β的终边与π的终边相同∴α+β=2kπ+π＝(2k+1)π(k∈Z) ． 8．终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为 [ ]

A ．k ²180°+45°(k∈Z)B ．k ²180°±45°(k∈Z)C ．k ²360°+45°(k∈Z)D ．以上结论都不对

解：∵终边在直线y=x(x＞0) 的角为α1=k²360°+45°(k∈Z) 终边在直线y=x(x＜0) 上的角为α2＝k ²360°+225°(k∈Z) α1=2k²180°+45°，α2=2k²180°+180°+45°(k∈Z) α2=(2k+1)²180°+45°(k∈Z) ∴α＝k ²180°+45°(k∈Z) ．

9．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的四周角的弧度数为 [

]

终边上，则有A ．sin α＜sin βBsin α=sinβC ．sin α＞sin βD 以上皆非

[ ]

18．已知：sin α+cosα=-1，则tg α+ctgα的值是[ ]A．2 B．-1C ．1D ．不存在

解：∵ sinα+cosα=-1，两边平方得1+2sinαcos α=1 ∴sin αcos α=0 sinα=0或cos α=0，∴tg α、ctg α不存在．

[ ]

解：∵要使等式成立，cos2x ≥0 ∴0°≤2x ≤90°或270°≤2x ＜360° ∴ 0°≤x ≤45°域135°≤x ＜180°．

[ ]A．｛α|0＜α＜π

｝

[]A．第一象限或第四象限B 第二象限或第三象限C ．X 轴上D ．Y 轴上

23．在△ABC 中，若sin2A=sin2B则该三角形为[]A等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C 直三角形D 等腰直角三角形

解：∵sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A=π-2B

24．若f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)= [ ]

[ ]

27．cos1°+cos2°+cos3°+…+cos179°+cos180°的值 [ ]

解：cos179°=cos(180°-1°)=-cos1．同理cos178°=-cos2°…又∵cos90°=0，∴原式=cos180°=-1．

解：原式=p+2p+1-4p=p-2p+1=(p-1)．

41．cos 5°+cos15°+cos25°+cos35°+cos45°+cos55°+cos65°+cos75°+cos85=____

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

解：∵cos 85°=sin5°，cos 75°=sin15°，cos 65°=

22222

42．满足|sinx|=sin(-x)的x 的范围是_____解：∵|sinx|=-sinx ∴ sinx≤0 2kπ+π≤x ≤2k π+2π(k∈Z) ．

44．在△ABC 中，若tgA ²tgB ²tgC ＜0，那么这个三角形的形状是____

解：∵A 、B 、C 为三角形内角，tgA ²tgB ²tgC ＜0，可以得出tgA 、tgB 、tgC 中有一个小于零，若tgA ＜0则A 为钝角∴三角形为钝角三角形．

45．f(sinθ+cosθ)=sinθcos θ，则f(x)=____

46．写出与135°终边相同的角的集合，并从中求出终边位于-720°～720°之间的各角．

51．已知tg α=2tgβ+1，求证：sin β=2sinα-1

2222

∴sin β=2sinα-1．

22

题型1：象限角

例1．已知角α

=45︒；（1）在区间[-720︒, 0︒]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合M

k ⎧⎫

=⎨x |x =⨯180︒+45︒, k ∈Z ⎬，

2⎩⎭

k ⎧⎫

N =⎨x |x =⨯180︒+45︒, k ∈Z ⎬那么两集合的关系是什么？

4⎩⎭

例2．若sin θcos θ＞0，则θ在（）A ．第一、二象限 B ．第一、三象C ．第一、四象限 D ．第二、四象限

例3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）

A. 第一象限

例4．已知“

题型2：三角函数定义

例5．已知角

B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

α是第三象限角，则

α

是第几象限角? 3

α的终边过点(a ,2a )(a ≠0) ，求α的四个三角函数值。

例6．已知角

α

的终边上一点P (

m ) ，且sin α=

，求cos α,sin α的值。 4

题型3：诱导公式

例7．（2009辽宁文，8）已知tan θ

=2，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=（ ）

C. -

A. -

4 3

B.

54

3 4

D.

45

例8．化简：

sin(α+n π) +sin(α-n π) -sin(180 +α) +sin(-α) -tan(360 +α)

(n ∈Z ) 。 （1）；（2）

sin(α+n π)cos(α-n π) tan(α+180 ) +cos(-α) +cos(180 -α)

1．已知

sin(

α+π) ＝ －

12

，则

1cos(-α+7π)

的值是（ （A ）

2 (B) －2 3

(B)

(C)－

23

3

(C)

(D)±

2 3

(D)-

2．式子

cos(-585︒)

的值是

sin 630︒+sin(-690︒)

=3，求

（ ）（A ）22 2

23

23

3、已知：tan α

2cos(π-α) -3sin(π+α)

的值。

4cos(-α) +sin(2π-α)

4、已知

1+tan(θ+720︒) 1

=3+22, 求:[cos2(π-θ) +sin(π+θ) ⋅cos(π-θ) +2sin 2(θ-π)]⋅

1-tan(θ-360︒) cos 2(-θ-2π)

5、 已知sin α 6、化简

=-

3

，且α是第四象限角，求tan α[cos(3π-α) -sin(5π+α)]的值。 5

sin(α+n π) +sin(α-n π)

(n ∈Z ) ．

sin(α+n π)cos(α-n π)

题型4：同角三角函数的基本关系式

例9

=-2tan α，试确定使等式成立的角α的集合。

例10．（1）证明：

2(cos α-sin α)cos αsin α

=-

1+sin α+cos α1+sin α1+cos α

；（2）求证：

cos x 1+sin x

=。

1-sin x cos x

（2009全国I 文，1）sin 585°的值为

A.

-

2

B.

2

C. -

D. 22

6. （2009全国II 文，4） 已知∆ABC 中，cot A =-

12

， 则cos A = 5

14. （2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11C ．sin11

B ．sin168

D ．sin168

二、填空题

15. （2009北京文）若sin θ

4

=-, tan θ>0，则cos θ=.

5

任意的三角函数²基础练习题

一、选择题

1．下列说法正确的是 [ ]

A ．小于90°的角是锐角B ．大于90°的角是钝角C ．0°～90°间的角一定是锐角D ．锐角一定是第一象限的角 2．设A={钝角}，B=｛小于180°的角}，C={第二象限的角}， D={小于180°而大于90°的角}，则 下列等式中成立的是 [ ]A．A=C B．A=B C．C=D D．A=D答：D 解：第二象限的角不是钝角，小于180°的角也不一定是钝角．

[ ]

A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第二象限角

[ ]A．重合B ．关于原点对称C 关于x 轴对称D 关于y 轴

对称

5．若α，β的终边互为反向延长线，则有 [ ]A．α=-β B ．α=2kπ+β(k∈Z) C．α=π+β D ．α=(2k+1)π+β(k∈Z)

7．在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系一定是 [ ] A ．α+β=πB ．α+β=2kπ(k∈Z)C ．α+β＝n π(n∈Z)D ．α+β＝(2k+1)π(k∈Z) 8．终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为 [ ]

A ．k ²180°+45°(k∈Z)B ．k ²180°±45°(k∈Z)C ．k ²360°+45°(k∈Z)D ．以上结论都不对 9．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的四周角的弧度数为 [

]

终边上，则有

A ．sin α＜sin βB ．sin α=sinβC ．sin α＞sin βD ．以上皆非

[ ]

18．已知：sin α+cosα=-1，则tg α+ctgα的值是[ ]A．2 B．-1C ．1D ．不存在

[ ]

A ．0°＜x ＜45°B ．135°＜x ＜225°C ．45°＜x ＜225°D ．0°≤x ≤45°或135°≤x ≤180°．

[ ]

[ ]

A ．第一象限或第四象限B ．第二象限或第三象限C ．X 轴上D ．Y 轴上

23．在△ABC 中，若sin2A=sin2B则该三角形为[]A等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C 直三角形D 等腰直角三角形

24．若f(cosx)=cos2x，则f(sin15°)= [ ]

[ ]

27．cos1°+cos2°+cos3°+…+cos179°+cos180°的值 [

]

41．cos 5°+cos15°+cos25°+cos35°+cos45°+cos55°+cos65°+cos75°+cos85=____

42．满足|sinx|=sin(-x)的x 的范围是_____

222222222

44．在△ABC 中，若tgA ²tgB ²tgC ＜0，那么这个三角形的形状是____

45．f(sinθ+cosθ)=sinθcos θ，则f(x)=____

三、解答题

46．写出与135°终边相同的角的集合，并从中求出终边位于-720°～720°之间的各角．

51．已知tg α=2tgβ+1，求证：sin β=2sinα-1

2222