高三数学复习笔记
高中数学复习笔记
（整理于2015-5）
一、 函数
1、两个函数的对称性：
①y=f（x ）与y=f（-x ）关于y 轴对称 ②y=f（x ）与y= —f （x ）关于x 轴对称 ③y=f（x ）与y= —f （-x ）关于原点对称 ④y=f（x ）与y=f-1（x ）关于y=x对称
注：函数与其反函数之间的一个有用的结论：f -1(a )=b ⇔f (b )=a . 原函数与反函数图象的交点不全在y=x上；y =f -1(x +a )只能理解为y =f -1(x )在x+a处的函数值。 ⑤y=f（a+x）与y=f（a —x ）关于y 轴对称 例子可以自己举。
注意如下“翻折”变换：
f (x ) −−→f (x ) f (x ) −−→f (|x |)
2、函数本身的对称性
①偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
②若函数y=f（x ）满足f(a+x)=f(a-x),则函数关于x=a对称（即：相加能消x ，除2对称轴，相减能消x 得数是周期）注意与上述第⑤点的区别。
3、奇偶性（函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点左右对称） ①奇函数的导数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数，但反之不成立 证：设f (x ) =-f (-x ) ，两边求导即可。
②复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
③既奇又偶函数有无穷多个（f (x ) =0，定义域是关于原点对称的任意一个数集） ④在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
⑤若f(x) 是奇函数且在x =0时有意义，则f(0)=0。
4、平移：
函数图像的平移口诀：左加右减，上加下减。特别需要注意的是：在左加右减中，无论加还是减，如果x 前方有系数（包括负号），都必须先把系数提取出去之后再加减，这时候的加减量才是函数的平移量。
π
例如：将函数y=sin（2x+）向右边平移φ个单位后，图像关于y 轴对称，求φ的最小正
3
5π
值。（φ=）
12
5、一阶导数决定单调性、二阶导数决定凹凸性，二阶导数大于0的函数是凹函数，反之
是凸函数
6、必须掌握的几种常见函数的图象
①二次函数y=ax 2+bx+c（a ≠0）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值，） ②指数函数y =a x （a >0且a ≠1）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系） ③幂函数y =x a （a >0且a ≠1）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a 的关系） ④对数函数y=loga x （a >0且a ≠1）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系）
a
（a 为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间） x a
⑥背靠背函数y=x -（a 为正的常数）
x
⑦三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间）
⑤对勾函数y=x +
[或y =A cos (ωx +ϕ)]正弦型函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象和性质要熟记。
（1）振幅|A |，周期T =
2π
|ω|
若f (x 0)=±A ，则x =x 0为对称轴。 若f (x 0)=0，则(x 0， 0)为对称中心，反之也对。
（2）五点作图：令ωx +ϕ依次为0，
π3π
，π，，2π，求出x 与y ，依点（x ，y ）作图。 22
（3）根据图象求解析式。（求A 、ω、ϕ
值）
先根据振幅，求出A ，再求周期，然后得出ω的值，最后利用五点法求φ
⑧抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如
函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
(1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：f (x ) =kx (k ≠0) ---------------f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) ；
x f (x )
②幂函数型：f (x ) =x 2 --------------f (xy ) =f (x ) f (y ) ，f () =；
y f (y )
f (x )
③指数函数型：f (x ) =a x ------------f (x +y ) =f (x ) f (y ) ，f (x -y ) =；
f (y )
x
④对数函数型：f (x ) =log a x -----f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，f () =f (x ) -f (y ) ；
y
⑤三角函数型：f (x ) =tan x ----- f (x +y ) =(2)赋值法、结构变换法
f (x ) +f (y )
1-f (x ) f (y )
如：①x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 为奇函数。 （先令x =y =0⇒f (0) =0再令y =-x ，„„）
②x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，证明f (x ) 是偶函数。 （先令x =y =-t ⇒f [(-t )(-t ) ]=f (t ·t ) ∴f (-t ) +f (-t ) =f (t ) +f (t ) ∴f (-t ) =f (t ) „„）
③证明单调性：f (x 2) =f [(x 2-x 1)+x 2]=„„ 7、函数中的最值问题：
Ⅰ. 二次函数最值问题
结合对称轴及定义域进行讨论。
① 已知函数f （x ）=x 2-2ax +1, x ∈[1, 2]，求f （x ）的最小值 ② 已知函数f （x ）=x 2-2x +1, x ∈[a , 2a ]，(a ≠0) 求f （x ）的最小值 Ⅱ. 利用均值不等式
y 2
典例：已知x 、y 为正数，且x +=1，求x +y 2的最大值
2
2
分析：x +y
2
=x （1+y ）=
22
2
y 22x （1+y 2）2
（即设法构造定值x +=1）
22
1+y 2
x +2
1+y 2=32故最大值为32 =2x ）≤2
2442
2
a 2+b 2a +b 2ab
注意如下结论：≥≥ab ≥a ，b ∈R +
22a +b
()
Ⅲ. 三角换元法
上题亦可用三角代换求解即设x=cosθ，
y 2
=sinθ求解
Ⅳ. 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。
如：求函数y=lnx-x+1的最大值 Ⅴ. 利用函数的单调性
典例：求t 2+3+解，解略） Ⅵ. 数形结合
例：已知x 、y 满足x 2+y 2=4，求8、周期问题
函数y=f（x ）满足 f （x+a）= f（x ），周期为a f （x+a）= -f（x ）周期为2a f （x+a）=±
1
周期为2a(以上a 皆不为0) f (x )
y -5
的最值 x -6
11
x +的最小值（分析：利用函数y=在（1，+∞）的单调性求2
t +2x
若定义在R 上的函数有两条对称轴，则该函数为周期函数，周期为两条对称轴距离的两倍 一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如y =sin 2x , y =sin x 的周期都是π, 但y =sin x +cos x 则不是）
函数y =sin x 2, y =sin x , y =cos x 都不是周期函数
二、不等式
1．穿根法解不等式
用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
如：(x +1)(x -1)(x -2)
2． 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：解不等式log a x ≥1
23
3. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x -3|-x +
⎧
（解集为⎨x |x >
⎩
1⎫⎬） 2⎭
4．会用不等式|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |证明较简单的不等问题
5．不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：a f (x ) 恒成立⇔a >f (x ) 的最大值 a >f (x ) 有解⇔a >f (x ) 的最小值
a
还有以下四种类型须作了解
①∀x 1∈(a , b ), ∃x 2∈(c , d ) 使得
f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立⇔x 1∈(a , b ), x 2∈(c , d ) 时，
f (x 1) m i ≥n g (x ) m i
②∀x 1∈(a , b ), ∀x 2∈(c , d ) 使得
f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立⇔x 1∈(a , b ), x 2∈(c , d ) 时，
f (x 1) m i ≥n g (x ) m a
③∃x 1∈(a , b ), ∃x 2∈(c , d ) 使得
f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立⇔x 1∈(a , b ), x 2∈(c , d ) 时，
f (x 1) m a ≥x g (x ) m i
④∃x 1∈(a , b ), ∀x 2∈(c , d ) 使得
f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立⇔x 1∈(a , b ), x 2∈(c , d ) 时，
f (x 1) m a ≥x g (x ) m a
三、圆锥曲线 1、 离心率
圆（离心率e=0）、椭圆（离心率01）。 2、 焦半径
椭圆：PF 1=a+ex0、PF 2=a-ex0（左加右减）（其中P 为椭圆上任一点，F 1为椭圆左焦点、F 2为椭圆右焦点）
双曲线：PF 1= |ex0+a|、PF 2=| ex0-a|（左加右减）（其中P 为双曲线上任一点，F 1
为双曲线左焦点、F 2为双曲线右焦点）双曲线焦点到其渐近线距离为b
抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用） 3．圆锥曲线中的面积公式：（F 1 、F 2为焦点）
设P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2=θ，则三角形F 1PF 2的面积为：b 2tan 三角形中利用余弦定理整理即可
θ
注：|PF1| |PF2|cos2=b2为定值
2
设P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2=θ，则三角形F 1PF 2的面积为：b 2cot 注：|PF1| |PF2|sin2
θ
2
θ
2
θ
=b2为定值 2
x 2
+y 2=1与4．圆锥曲线与圆锥曲线相切问题不可用判别式判断（会产生增根）如：4
(x -3) 2+y 2=1
5. 若已知两个圆相交，则两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程 过圆x 2+y2=r2上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x+y0y=r2， 若点（x 0，y 0）在已知圆外，则x 0x+y0y=r2 表示切点弦 四、数列求和
裂项法：若{a n }是等差数列，公差为d （a i ≠0）则求s n =
b b b
时可用++⋯+
a 1a 2a 2a 3a n a n +1
裂项法求解，即s n =
b 111111bn
（-+-+⋯+）= -d a 1a 2a 2a 3a n a n +1a 1a n +1
求导法： （典例见高三练习册p86例9）
倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）
分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-„分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和
⎧1⎫
求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列⎨⎬即可
⎩a n ⎭
累加法求通项 累乘法求通项
五、集合与简易逻辑
1. 从集合角度来理解充要条件：若A ⊂B ，则称A 为B 的充分不必要条件，此时B 为A 的必要不充分条件，（越大越必要，越小越充分）若A=B，则称A 为B 的充要条件
2．集合 A、B ，A ⋂B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否忘记∅.
3．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
2n -1，为2n ， 2n -1， 2n -2.
4． C I (A ⋂B ) =C I A ⋃C I B 。 “p 且q ”的否定是“非p 或非q ”，C I (A ⋃B ) =C I A ⋂C I B ，“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”。在反证法中的相关“反设”你清楚吗？ 5．
“≥”的涵义你清楚吗？不等式(x -0的解集是{x |x ≥3
}对吗？
六、二项展开式系数：
C 012n n 024n -1n -1n =2（其中C n + Cn + Cn +„=2；C 135
n +Cn +Cn +„C n +Cn + Cn +„=2
） 例：已知(
1+x ) +(1+x )
2+(1+x ) 3+⋯⋯+(1+x ) 10=a 0+a 1x +a 22x +⋯⋯+a 1010x 求a 1+a 2+⋯⋯+a 9=?
七、离散型随机变量的期望与方差 E （a ξ+b）=aEξ+b；E （b ）=b D （a ξ+b）=a2D ξ；D （b ）=0 D ξ=Eξ2—（E ξ）2 特殊分布的期望与方差
（0、1） 分布：期望：E ξ=p；方差D ξ=pq 二项分布： 期望E ξ=np；方差D ξ=npq
注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。 八、向量与直线
1．向量在几何中的一些应用
⎛①给出λ +⎫⎪
=MP , 等于已知MP 是∠AMB 的平分线/
②在平行四边形ABCD 中，给出(AB +AD ) ⋅(AB -AD ) =0，等于已知ABCD 是菱形;
③在平行四边形ABCD 中，给出|AB +AD |=|AB -AD |，等于已知ABCD 是矩形; ④在∆ABC 中，给出==，等于已知O 是∆ABC 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； ⑤在∆ABC 中，给出++=，等于已知O 是∆ABC 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； ⑥在∆ABC 中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是∆ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
AB AC +) (λ∈R +) 等于已知AP 通过∆ABC 的内心； ⑦在∆ABC 中，给出OP =OA +λ(|AB ||AC |⑧在∆ABC 中，给出a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0, 等于已知O 是∆ABC 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
1
⑨在∆ABC 中，给出AD =AB +AC , 等于已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线;
2
引申：
若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心
若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心
若三棱锥三条侧棱两两垂直，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心 若该三棱锥为正三棱锥，则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心 2. 三点共线，四点共面的判断 3. 直线及角的一些概念
2
2
2
()
①：直线的“到角”（按逆时针方向旋转）公式：l 1到l 2的角为tan θ=
k 2-k 1
；“夹角”
1+k 2k 1
公式为tan θ=|
k 2-k 1
|
1+k 2k 1
⎡π⎤
（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为⎢0⎥之间的角）
⎣2⎦
②：异面直线所成角的范围：（0，
π
] 2
③：直线倾斜角范围[0，π）
π
④：直线和平面所成的角[0，]
2
⑤：向量夹角、二面角范围：[0，π]
π
⑥：锐角：（0，）
2
ππ
⑦：0到的角表示（0，]
22
π） 2
附：三角和差化积及积化和差公式简记 S + S = S C S + S = C S C + C = C C C — C = — S S 九、立体几何
1．球与正方体的三种关系
球内切于正方体——直径等于正方体棱长
球与正方体十二条棱相切——直径等于面对角线 正方体内接于球——直径等于正方体体对角线
2．正四面体问题——通常将正四面体置于正方体中考虑
附：三角形面积公式： 11abc 1S=底⨯高=absinC==r （a+b+c）=（R 为外接圆半径，r 为内切圆半径）224R 2⑧：第一象限角（2k π，2k π+
=(l -a )(l -b )(l -c ) (l 为三角形周长的一半) （这就是著名的海伦公式）