复变函数论第四版第四五章练习
复变函数 第四、五章 练习
一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别
1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。
∞∞n 1i n
（1）∑ （2）∑n cos in （3）∑n (1+i ) n
n =02n =02n =2ln n ∞
2. 如果级数∑c
n =1∞n 收敛，且存在α>0, α
n =1∞
二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式
z n
3. 证明级数∑在|z |≥1上发散；在|z |
4. 试证：黎曼函数 ζ(z ) =∑1, (lnn >0) ，在点z =2的邻域内可展开为泰勒级数，并z n n =1∞
求收敛半径。
5. 求下列幂级数的收敛半径：
（1）i n （2） （3）(n +a ) z [3+(-1) ](z -1) () (z -1) n (n +1) ∑∑∑n =0n =0n =0n n n n n n
n ∞∞∞∞
6. 设n 的收敛半径为R , 证明：的收敛半径大于等于R 。 a z [Re(a )]z ∑n ∑n
n =0n =0∞
7．若幂级数∑c
n =0∞n z n 在z =1+2i 处收敛，试回答该级数在z =2处的敛散性。
∞∞e z
n n 8. 设函数的泰勒展开式为∑c n z ，求幂级数∑c n z 的收敛半径。 cos z n =0n =0
z -1在点z =-1展成泰勒级数。 3z
1210. 证明：若|z |≤, 则|ln(1+z ) -z |≤|z |. （这里ln(1+z ) 取主值支） 29. 将函数f (z ) =
三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达
式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理
11. ∞为sin 1的 阶零点；求函数f (z ) =sin z -tan z 的零点z =0的阶数。 z 3
12. 设f (z ) 在一个包含圆周γ及其内部的区域内解析，而f (z ) 在γ的内部有一个一阶零点z 0，证明z 0=1zf '(z ) 。 2πi ⎰γf (z )
1
n 1n 1(n =1,2, ), 的函数f (z ) 是否存在？ n 313. 问在点z =0解析且满足条件f () =f (-) =
14. 求|ze z |在闭圆{z :|z +i |≤1}上的最大值。
15. 设f (z ) =cos z ，证明：在任何圆周|z |=r 上，都有点z ，使得，|cos z |>1。
四、掌握解析函数的洛朗展式，能求一些初等函数的洛朗展式
16. 求函数e z 2
z -1在0
朗展开式。
17. 若f (z ) 在R R . ∑n z n =0∞
六、掌握孤立奇点（含无穷远点）的各种类型判别以及利用孤立奇点的特征得到解析函数的性态；掌握整函数和亚纯函数
e z
18. 求函数f (z ) =的奇点及其类型（包括无穷远点）（要求说明理由）。 2sin z
19. 设f (z ) 在z 平面上解析，且当z →∞时，f (z ) →1. 证明：f (z ) 必有一个零点。 z
20. 试证：在扩充复平面上只有一个一阶极点的解析函数f (z ) 必有如下形式：
f (z ) =az +b , ad -bc ≠0. cz +d
21. 判别下列函数是（超越）整函数还是（超越）亚纯函数:
123e z
sin z , tan z ,sin , z +, . z z 1-z 2