如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：
例1 计算(x29x20)(x4)
规范解法
∴ (x29x20)(x4)x5.
解法步骤说明：
（1）先把被除式x9x20与除式x4分别按字母的降幂排列好．
（2）将被除式x9x20的第一项x除以除式x4的第一项x，得xxx，这就是商的第一项．
（3）以商的第一项x与除式x4相乘，得x4x，写在x9x20的下面．
（4）从x9x20减去x4x，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x4x后的一部分．
（5）再用5x20的第一项5x除以除式的第一项x，得5xx5，这是商的第二项，写在第一项x的后面，写成代数和的形式．
（6）以商式的第二项5与除式x4相乘，得5x20，写在上述的差5x20的下面．
（7）相减得差0，表示恰好能除尽．
（8）写出运算结果，(x29x20)(x4)x5.
例2 计算(6x59x47x220x3)(2x2x5)．
规范解法 222222222
∴ (6x59x47x220x3)(2x2x5)
3x33x26x1„„„„„„„„„„„余9x2．
注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．
∴ (6x9x7x20x3)(2xx5) 5422
3x33x26x1„„„„„„„„„„„余9x2．
8．什么是综合除法？
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．
如：计算(2x3x4)(x3)．
3
因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．
还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21
与商式的系数重复，也可以省略．如果再
把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．
多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求x3x3x3x12除以x1的商式和余式．
规范解法 432
32 ∴ 商式x2xx2，余式＝10．
例2 用综合除法证明2x15x10x9能被x3整除．
规范证法 这里x3x(3)，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）
532
因余数是0，所以2x15x10x9能被x3整除．
当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求2xx7除以2x1的商式和余数．
规范解法 把2x1除以2，化为x35321，用综合除法．
2
但是，商式2xx23，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应2
当除以2才是所求的商式；余数没有变．
∴ 商式x2133x，余数7． 244
1332，得商式2xx，余数为7，即 224为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下． 用2xx7除以x3
∴ 2x3x3x
1233 2xx7224
2 2x1x133x7． 244
23即 2xx3除以2x1的商式x133x，余数仍为7． 244