灰数灰度的一种公理化定义
2004年8月
第
6卷第8期
中国工程科学Aug.2004Vol16No18
现代管理
灰数灰度的一种公理化定义
刘思峰1,林 益2
(11南京航空航天大学经济与管理学院,南京 210016;
21美国宾州州立SR大学数学系,PA16057,USA)
[摘要] 基于对已有的几种灰数灰度定义的讨论,;准绳,中存在的问题,较为科学地描述了灰数的不确定程度。灰色系统;灰数灰度;测度;[关键词]
[中图分类号]C931 []A]1009-1742(2004)08-0091-04
1 引言
对于白化权函数f[a1,b1,b2,a2](见图1)已知的灰数
(g°
某种意义上亦类似于随机变量的密度函数。这里,
区间[a1,a2]表示灰数的取值范围,f(x)的数
∈[a1,a2],a1
)=2b1-b2
(b1+b2)+
b2}
(1)
其灰度定义为[1]3
max{a1-b1
b1,a2-b2
值表达了灰数取某一具体数值x的可能性大小。
在式(1)中,灰度被表达为2部分之和,其中第一部分代表峰区的大小对灰度的影响,第二部分代表L(x)和R(x)覆盖面积大小对灰度的影响。按照这一定义,峰区越大,L(x)和R(x)的
()就越大。覆盖面积越大,g°
文献[3]中,基于灰区间长度l(的均值白化数
理化定义:
)和灰数
,LiuSifeng给出了灰度的一种公
(g°
)=l(
)/
,
(2)
图1 白化权函数f[a1,b1,b2,a2]Fig11 Weightfunctionofwhitenization
f[a1,b1,b2,a2]
这里,在非负性公理、零灰度公理、无穷灰度公理
和数乘公理的基础上,灰度被定义为灰区间长度l()与其相应均值白化数的商。
式(1)和式(2)给出的灰度定义皆存在以下问题:
1)不满足规范性 显然,当灰区间长度l()趋于无穷大时,由式(1)和式(2)定义的灰度皆有可能趋于无穷大。
2)零心灰数的灰度没有定义 对于零心灰数,
灰数的白化权函数f[a1,b1,b2,a2]相当于模糊数学中边界已知之Fuzzy集的隶属函数[2],在
[收稿日期] 2003-12-04;修回日期 2004-02-03
[基金项目] 国家教育部博士学科点科研基金资助项目([1**********]);江苏省自然科学基金重点课题(BK2003211)[作者简介] 刘思峰(1955-),男,河南驻马店市人,博士,南京航空航天大学特聘教授,博士生导师
3
为与引用的参考文献原来的公式一致,继续采用,,g°变量符号并改为斜体
92中国工程科学
大;相反,
第6卷
的测度越小,这种估计的意义越大,
式(1)中为b1=b2=0的情形,式(2)中为=0的情形,这时,式(1)和式(2)所给出的灰度皆没有定义。
2 灰度定义的公理系统
灰数是灰色系统之行为特征的一种表现形式[4,5]。灰数的灰度反映了人们对灰色系统认识的不确定程度[5～8]。因此,一个灰数灰度大小应与该灰数产生的背景或论域有着不可分割的联系。如果对一个灰数产生的背景或论域及其表征的灰色系统不加说明,实际上无法讨论该灰数的灰度。例如,
对于灰数
∈[160,200],如果不说明其产生
的背景或论域及其表征的灰色系统,就很难说清楚它的灰度到底有多大。当它表达的一名中国成年男子的身高(cm)时,很大。因为[160,200]的背景或论域重合,cmcm之间,这样的信
价值。如果灰数∈[160,200](收缩压(mmHg)),那么一般人们会认为这一灰数的灰度
不确定性越小[4
,9～14]。
定义1 设灰数产生的背景或论域为Ω,μ()为灰数之取数域的测度
,则称
(g°
)=μ(
)
(Ω)(3)
为灰数的灰度。
定理1 由式(3)给出的灰度定义满足灰度
定义的4个公理。
证明 公理1
由
0≤μ()≤μ(Ω)。从而
(0≤g°
))=0,因此,
2当2
(=)
)g°
。
(
2若1
≤μ(2),再由式(3)
易知
(g°
1)
(2)。≤g°
及测度的性质,有μ(
1)
1)
(≤g°2)
。
3 合成灰数的灰度
由于灰数具有可构造性,因此,有必要进一步
研究合成灰数的灰度。
定义2 设1∈[a,b],a
1∪2={
∈[a,b]或ξ∈[c,d]}
(4)
不是很大,因为它的确能为医生提供十分有用的
信息。
设
Ω为灰数灰数
符合以下公理:
()≤1。公理1 0≤g°
产生的背景或论域,μ()为)
之取数域的测度,则灰数(的灰度g°
公理2
∈[a1,a2],a1≤a2当a1=a2
()=0。时,g°
(Ω)=1。公理3 g°
()与μ()成正比,与μ(Ω)成公理
4 g°
反比。
公理1将灰数的灰度取值范围限定在[0,1]区间内。公理2规定白数的灰度为零。白数是完全确定的数,没有任何不确定的成分。公理3规定灰数产生的背景或论域Ω的灰度为1,取为灰度的最大值。因为灰数产生的背景Ω
一般为人所共知或覆盖了灰数的论域,故不含任何有用的信息,其不确定性最大。公理4
表明当灰数论域一定时,灰数灰数
(
的灰度
g°
产生的背景或
之取数域的测度μ()越大,
为灰数
1与2的并。
灰数的并相当于对若干灰数进行“堆积”或“归并”,其结果自然是灰度增大。
(1∪2)≥g°(定理3 g°k
),k=
1,2。
证明 由
1∪2=k,k=1,2和定理
2易知定理3成立。
定义2和定理3皆可以推广到有限个灰数求并的情形。
定义3 设1∈[a,b],a
1∩2
={∈[a,b]或ξ∈[c,d]}
(5)
)越大。例如,估计某一实数
真值得到灰数,在估计的可靠程度一定时
,
的测度越大,这种估计的意义越小,不确定性越
为灰数1与2的交。
灰数的交相当于对若干个灰数进行综合加工、提炼,能够使人们对灰色系统的认识逐步深化,其
第8期
结果自然是灰度减小[8,9]。
(定理4 g°
1
刘思峰等:灰数灰度的一种公理化定义
(g°
(≤g°
k)
93
=μ
(
2)
1
∪
1)
2)
1
∪
2)1)
=3=
2)
∩
2),k=1,2。
(g°(+g°(-g°(・g°
证明
由1∩2
易知定理4成立。
定义3和定理4皆可以推广到有限个灰数求交的情形。
定理5 设
(g°(g°
1
2
与定理6中的结论一致。
4 结语
灰数的合成方式将对合成灰数的灰度及相应灰信息的可靠程度产生一定的影响。一般地,灰数求并后灰度增大,而合成信息的可靠程度会有所提高;灰数求交后灰度减小,而合成信息的可靠程度往往会降低。在解决实际问题的过程中,当需要对
,则有
(2)=g°
2)1
2),1)
∪∩,
得
(=g°。
2
证明
由=
1
1
∪
2
=
2)1)
,
1
∩
2
大量灰数进行筛选、加工、,可以考虑在若。在合,,以保证,通过对不确、提炼,人们希望尽可能地减小其不确定性、提高其可靠性。基于灰数的合成对合成灰数的灰度及相应灰信息的可靠性的影响分析,不难发现,不确定性和可靠性是一对矛盾。根据实际
,从而
(g°(g°
11
∪∩
2)2)
(=g°(=g°
,
。
当灰数1
,2关于测度μ独立时得到更为有趣的结果。
定理6 设μΩ),
,μ独立,则有
(1)g°
(2)g°(g°
1)
1
1
∪
2)
22)
(=g°(=g°
1)(・g°
1)
2)
;
2)
(+g°-
问题的研究需要,有时要求不确定性必须减小到某一水准,而对可靠性的要求允许适当放宽;有时则要求有较高的可靠性,允许适当放宽对不确定性的要求。一般可按照具体问题的背景进行取舍。
参考文献
[1][2]
(・g°。
2
证明 1)由μ(Ω)=1,且灰数1
,
测度μ独立,有
(1∩2)=μ
(1∩2)=g°
μ
(
1)
关于
μ
(・∪
2)(=g°=μ
(-μ
((-g°
1)(・g°
2)
2)
;
2)同理
(g°
1
2)2)2)
11)
邓聚龙.灰色控制系统[M].武汉:华中工学院出版社,1985
汪培庄,韩立岩.应用模糊数学[M].北京:北京经济学院出版社,1989
LiuSifeng.Axiomsongreydegree[J].TheJournalofGreySystem,1996,8(4):396～400
LiuSifeng.Onmeasureofgreyinformation[J].TheJournalofGreySystem,1995,7(2):97～101
∪
1)
=
2)
μ
(
(g°
1)1)
+μ
((+g°
μ
(・
(・g°
=
2)
。
[3][4][5][6][7][8][9]
例 考虑掷一个均匀六面体骰子所得的点数,
此时背景或论域为
Ω={1,2,3,4,5,6}
设灰数度,则
μ
(
1)1
∈{1,2}
,
2
∈{2,3,4},μ为概率测
2)
邓聚龙.灰数学引论———灰色朦胧集[M].武汉:华中理工大学出版社,1992
刘思峰,郭天榜,党耀国.灰色系统理论及其应用
(第二版)[M].北京:科学出版社,1999
=13,μ
(
1
=12,
μ
(∩
2)=16
1)
刘思峰,邓聚龙.GM(1,1)模型的适用范围[J],系统工程理论与实践,2000,(5):121～124
陈世联.灰色系统中的灰元及灰元空间[J].昆明理工大学学报,2001,26(2):92～95
LiuSifeng,LinYi.AnIntroductiontoGreySystems:Foundations,MethodologyandApplications[M].GroveCity:IIGSSAcademicPublisher,1998
满足独立性条件,显然,
(1)=μ
(g°
(g°(g°
1
2)=μ
(
=13,
2)=12,1
∩
2)=μ
(
1)
∩
2)
2)=
(16=g°(・g°
,
94
[10][11][12]
中国工程科学
杨建华,刘金禄,王子亮.灰色曲线与灰数的灰度
[J].武汉化工学院学报,1996,18(4):71～72
[13]
第6
卷
LinYi,LiuSifeng.Asystemicanalysiswithdata(II)[J].InternationalJournalofGeneralSystems(UK),2000,29(6):1001～1013
[14]
杨建华.灰色曲面[J].武汉化工学院学报,1998,
20(1):82～84
LinYi,LiuSifeng.Asystemicanalysiswithdata(I)[J].InternationalJournalofGeneralSystems(UK),2000,29(6):989～999
罗 党,刘思峰,党耀国.灰色模型GM(1,1)优化
[J].中国工程科学,2003,5(8):50～53
AnAxiomaticDefinitionofDegreeofGreynessofGreyNumber
LiuSifeng1,LinYi2
(11CollegeofEconomicsandManagement,NanjingUniversityofAstronautics,Nanjing 210016,China,E2ail:liu21MathematicsDepartmentofSlipperyRock,SliPA.16057,USA,E2f)
[Abstract] Inthispaper,andegreeofgreynessofgreynumberisbuiltbasedondiscussionwithofofgreynumberwhichhavebeenputforwardinthepast.fordefinitionofdegreeofgraynessofgreynumber,anewformulafordefinitionofofofgreynumberhasbeenformedwithmeasureoftherightrangeofgreynumberandthebackgroundorfieldwhichisbroughtaboutbythegreynumber.Thedegreeofuncertaintyofgreynumberisdescribedscientifically,andsomeproblemspresentinolddefinitionshavebeensurmountedinnewdefinition.
[Keywords] greysystems;degreeofgreynessofgreynumber;measure;axiomaticdefinition