一元微积分A上复习1_答案

一元微积分A （上） 复习题1 答案（注：仅少部分题给出解题过程）

预备知识

1.

设f (x ) =f (x ) 的定义域. （2

2. 判定f (x )=2+33. y =ln

(

)+(2−3)的奇偶性. （偶）

x

x

1x ++x

2

是(奇、偶、非奇非偶)函数. （奇）

4. f e

+ln x )

()=ln (1x +x ), f (x )=ln(1ln .

x

x

5. 设f (x )=

11−x

(x ≠1)，试计算f {f [f (x )]}⋅f ⎡⎢

1⎤

. （1） f x ⎣⎦

Ch1. 极限与连续 一. 求极限

I. 有界函数与无穷小之积是无穷小. lim (sinx +1−sin x ) =0

x →+∞

2

II. 夹逼准则 1. lim ⎜

⎞⎛111

⎟=1. L +++⎟222x →∞⎜n +2n +n ⎠⎝n +1

2. lim (

n →∞

12n 2+1

n

+

n

n 21

+L +=. 22

2n +22n +n 4

n →+∞

3. lim 9+10=10. 4. 用夹逼准则证明：lim

n →∞

n =1; lim a =1 (a >0常数).

n →∞

III. 单调有界收敛准则

1. 设x 1>0, 且x n +1=1(x n +a ，(n =1, 2, L , a >0) . 证明lim x n 存在, 并求此极限值.

n →∞

2

x n

（a ）

2. 用单调有界准则证明极限lim (

n →∞

1111+++L +) 存在. 2222123n

证明：令x n =

1111∞

+++L +，则显然(x ) n n =1单调递增. 2222123n

1111

++L +=2−

又 x n

n →∞

1111+++L +存在. 2222123n

3. 设x 0>0, x n +1=

2(1+x n )

(n =0, 1, 2, L ). 证明{x n }收敛，并求lim x n .

n →∞2+x n

解：显然，0

因为 x n +1−x n =

2(x n −x n −1)

，

(2+x n −1)(2+x n )

所以x n +1−x n 与x n −x n −1同号，最终与x 1−x 0同号.

∞

当x 1≥x 0时，(x n ) ∞n =1单调递增；当x 1≤x 0时，(x n ) n =1单调递减.

因此(x n ) ∞n =1收敛. 令lim x n =A ，在递推关系式两边取极限，得A =

n →∞

2(1+A )

.

2+A

则 A =2. （负值舍去）

x n +1+x n

, 2

(n =1, 2, L ), 试求lim x n .

n →∞

(*) 设x 1=a , x 2=b , x n +2=解：x n −x n −1=(−12

n −2

(b −a ) ，

111

x n =x 1+(x 2−x 1) +L +(x n −x n −1) =a +(b −a )[1−+2+L +(−n −2]

222

1 1−(−n −1=a +(b −a )

11+2

所以 lim x n =

n →∞

a +2b

. 3

0⋅∞

1∞

IV .

o o ∞∞

∞−∞

273x 2+2x 2−3x +2

1. 讨论lim . （不存在） 2. lim （） 23x →1x →∞4x −2x +3

3. lim

x →−∞

(

)3

x

2

+4x +x （−2）

)

2x +14. 求常数a 和b 的值，使得lim (−ax −b ) =0. （a =1, b =−1） x →∞x +1

5. lim x (arctan

x →∞

x −1π

− x +14

解：令arctan

t x −1π1

−=t ，则x =−=−1. . 原式=lim −

t →0tan t x +14tan t 0

后，也可用洛必达法则. 0

x 3

注：该题变型为

6. 设lim ⎜

⎛x +2a ⎞

⎟=8, 求常数a 的值. （a=3ln2）

x →∞

⎝x −a ⎠

1

⎛1

⎜a n +b n

7. lim ⎜n →∞2⎜⎝⎞⎟

⎟，其中a , b >0. (ab ) ⎟⎠

n

V . 无穷小的阶与等价无穷小

1. x →0时，若取x 为基本无穷小，ln 1+x

(

4

)是.

2. x →0时，若取x 为基本无穷小，+x −1是阶无穷小. 3. 设x →x 0，

α(x ) ，β(x ) 为无穷小量，α(x ) −β(x ) ≠0. 证明x →x 0时，

ln(1+α(x )) −ln(1+β(x )) 与α(x ) −β(x ) 是等价无穷小量.

4. 若当x →x 0时，α(x ) 与γ(x ) 是等价无穷小，β(x ) 是比α(x ) 高阶的无穷小，则当

x →x 0时，函数

α(x ) −β(x )

的极限是 1 .

γ(x ) −β(x )

二、 连续性与间断点

1⎧

+a , x >0, x sin ⎪x 1. 当a =时，x =0是函数f (x )=⎨的可去间断点. sin 2x ⎪, x

x ⎩

2. x =0是y =

11+e

1

x

的第. （跳跃）

cos x ⎧⎪⎪x +3. 设f (x )=⎨

⎪a −a −x ⎪x ⎩

x ≥0

，其中a >0，

x

⑴ 当a 为何值时，x =0是f (x )的连续点？ （a=1）

⑵ 当a 为何值时，x =0是f (x )的间断点？是什么类型的间断点？

(a ≠1且a >0， 是第一类跳跃间断点.)

1−x e tx

，试研究f (x )的连续性（若有间断点，则需指出间断点的类型）. 4. 设f (x )=lim

t →+∞x +e tx

⎧1⎪x ⎪

解：f (x ) =⎨1

⎪−x ⎪⎩

x

x =0. x=0为第二类无穷间断点. x >0

x +x 2e nx

5. 讨论函数f (x ) =lim 的连续性（若有间断点，则需指出间断点的类型）.

n →∞1+e nx

⎧x ⎪

解：f (x ) =⎨0

⎪x 2⎩

x

x =0. f(x)在(−∞, +∞) 上连续. x >0

2n

1−x 试研究f (x ) 的连续性（若有间断点，则需指出间断点的类型）. 6. 设f (x ) =lim x ，n →∞1+x 2n

⎧x ⎪

解：f (x ) =⎨0

⎪−x ⎩

7. 把f (x )=lim

n →∞

x

x =1. x =±1为第一类跳跃间断点. x >1

x 1+x

(

1+x )

n

+x +1

n

+1

(x ≥0)写成分段函数的表达式。

⎧⎪x

解：f (x ) =⎨⎪⎩x >0

x =0