数列的极限(答案)
14.6 数列的极限
1、若lim q 存在，则实数q 的取值范围是-1
n →∞
n
【复习要求】
1、理解数列极限的含义和四则运算成立的条件； 2、熟练掌握基本极限公式和基本极限题型和解法； 3、掌握公式S =
解：当q =1时，lim q =1；
n →∞
n
当-1
n →∞
n
a 1n
与lim q =0中条件的联系与区1-q n →∞
别；
4、掌握无穷递缩等比数列的应用题的解法。 【知识要点】
1、数列极限的含义：在n 无限增大的变化过程中，若无穷数列{a n }A ，则A 叫做数列{a n }的极限，记作lim a n =A 。
n →∞
2n 2+1
2、计算lim =
n →∞3n(n +1)
3n +1-2n
=3、计算lim n
n →∞3+2n +1
23
3
1+b +b 2+ +b n -1
4、若b ∈R 且|b|>1，则lim n n →∞b
2、数列极限的运算性质：若lim a n =A,lim b n =B ，
n →∞
n →∞
=
1
b -1
则lim(a n ±b n ) =lim a n ±lim b n =A ±B ；
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
lim(a n b n ) =lim a n ⋅lim b n =AB ；
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
1+b +b 2+ +b n -1
解：lim n n →∞b 1
() n -1
1-b 1=lim =lim = n →∞(1-b ) b n n →∞1-b b -1
n
lim(c ⋅a n ) =lim c ⋅lim a n =c ⋅A ；
n →∞
lim a n A a n n →∞
在B ≠0的条件下， lim() ==。
n →∞b lim b n B n
n →∞
5、0. 16化为分数是
∙
3、几个特殊数列的极限 ①lim A = ②lim
n →∞
1
6
1
= n →∞n
解：0. 16=0. 1+0. 06+0. 006+
∙
0(|a |
1a =1③lim a =⎨
n →∞
⎪不存在|a |>1或a =-1⎩
4、无穷等比数列的各项和：
设{a n }是无穷等比数列，且公比q 满足0
n →∞
=0.1+
0.061
=
1-0.16
【典型例题】
a 11-q
，称S 为此
⎧1
1≤n ≤20092⎪⎪n
例1、数列{a n }中，a n =⎨，2
⎪n n >2009⎪n 2-2n ⎩
则数列{a n }的极限 ( B ) (A)等于0 (B)等于1
(C)等于0或等于1 (D)不存在
无穷等比数列的各项和，
a
即a 1+a 2+a 3+ +a n + =lim S n =1
n →∞1-q
【基础训练】
cos n θ-sin n θπ
例2、计算:①lim , θ∈[0, ] n n
n →∞cos θ+sin θ2
1
解：当θ∈[0,
) 时，cos θ>sin θ>0， 4
cos n θ-sin n θ1-tan n θlim =lim =1； n →∞cos n θ+sin n θn →∞1+tan n θ
πcos n θ-sin n θ
=0； 当θ=时，lim
n →∞cos n θ+sin n θ4
当θ∈(
π
, ]时，sin θ>cos θ>0 42
cos n θ-sin n θcot n θ-1lim =lim =-1； n →∞cos n θ+sin n θn →∞cot n θ+1
π⎧
1, θ∈[0,) ⎪4⎪
πcos n θ-sin n θ⎪0, θ==综上，lim ； ⎨n →∞cos n θ+sin n θ4⎪
ππ⎪
-1, θ∈(, ]⎪42⎩
②lim [n (n +1-n )]
n →∞
ππ
a (1-q n ) a (1-q 2n )
当q ≠1时，S n =， , P n =
1-q 1-q 2
S n 1+q
=n
P n 1+q
S
当0＜q ＜1时，lim n ＝1＋q ；
n →∞P n S
当q ＞1时，lim n ＝0；
n →∞P n
例4、如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为
1
的半圆后得到图形P 2，然后2
依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P 3 ，P 4 ，… ,Pn ,…,记纸板P n 的周长、面积分别为L n 、S n ，
解：lim [n (n +1-n )]
n →
∞
=n →∞
=n →∞
1
=
2n
求（1） lim L n ； （2） lim S n .
n →∞
n →∞
③0
lim(1+a )(1+a 2)(1+a 4) ⋅ ⋅(1+a 2)
n →∞
解：(1+a )(1+a 2)(1+a 4) ⋅ ⋅(1+a 2)
n
=
(1-a )(1+a )(1+a )(1+a ) ⋅ ⋅(1+a )
1-a
n n +1
1-(a 2) 21-a 2
， 0
1-a 1-a
n
24
2n
解：（1）周长是由无穷多个半圆圆弧长之和。
∴lim(1+a )(1+a 2)(1+a 4) ⋅ ⋅(1+a 2)
n →∞
1
1π
lim L n =π⋅1+π⋅+π⋅+ ==2
π n →∞241-
2
（2）所求图形面积是由大半圆面积减去无穷多个小半圆面积。
=
1
1-a
例3、已知数列{a n }是一个首项为a ，公比q ＞0的无穷等比数列，前n 项的和为S n ， 记P n ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n -1，求lim 解：注意对公比q 进行讨论。 当q =1时，S n =P n =na ，lim
S n
的值．
n →∞P n
1
ππ111πππ
lim S n =-[+++ ]=-⋅=n →∞2241664221-3
4
例5、已知x 轴上有一点列：P 0(x 0, 0), P(1x 1, 0),
2
S n
=1
n →∞P n
P 2(x 2, 0), , 且满足P n P n +2=λP n +2P n +1，其中n 为非
负整数，λ为常数且λ>0，x 0=0,x 1=1。 （1）设a n =x n +1-x n ，求证数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；
（2）求f (λ) =lim x n ，并当λ变化时，求f (λ) 的
n →∞
1、设等比数列{a n }(n ∈N *) 的公比q =-
1
，且2
8
lim (a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1) =，则a 1=。 n →∞3
提示：
8
= 1-(-) 23
2
a 1
2、a n 是首项为3，公差为2的等差数列，则
{}
取值范围。
解：（1） P n P n +2=λP n +2P n +1， ∴x n +2-x n =λ(x n +1-x n +2) ，∴x n +2=
∴x n +2-x n +1=a n +1=-
x n +λx n +1
1+λ
x n +λx n +1
1+λx -x
-x n +1=n n +1，即
1+λ
1111lim(++ +) =。 n →∞a a a 2a 3a n -1a n 612
11111
提示：==(-)
a k a k +1(2k +1)(2k +3) 22k +12k +31111111lim(++ +) =lim (-) =n →∞a a n →∞23a 2a 3a n -1a n 2n +1612
3、数列a n 中，a 1=sin θ,a n +1=a n cos θ,n ∈N *，
若lim(a 1+a 2+ +a n ) =，则θ的值为
n →∞
1
a n 1+λ
{}
又a 0=x 1-x 0=1，∴{a n }为等比数列，
2k π+
π
3
, ∈k Z
1⎫⎛
且a n =a 0q = -⎪,n =0, 1, 2,
⎝1+λ⎭
n
n
提示：显然当cos θ=0及±1时均不满足条件； 所以a n 是以sin θ为首项，cos θ为公比的无穷等比
数列。由所以
{}
θ
2
（2） x n +1-x n =a n ，
sin θθ=tan =
1-
cos θ2∴x 1-x 0=a 0,x 2-x 1=a 1, ,x n -x n -1=a n -1, ∴x n -x 0=a 0+a 1+a 2+ +a n -1，
又x 0=0∴x n =a 0+a 1+a 2+ +a n -1
=k π+
π
6
，从而有θ=2k π+
π
3
,k ∈Z 。
1
，则首2
4、等比数列a n 的前n 项和S n ，且lim S n =
n →∞
{}
项a 1的取值范围是(0,) (,1) 。
1212
1
由于λ>0，所以-
1+λ
∴f (λ) =lim x n =lim(a 0+a 1+ +a n -1)
n →∞
n →∞
1⎧a 1
=⎪
提示：⎨1-q 2
⎪0
=
11+1+λ
=
1+λ1
=1-2+λ2+λ
⎛1⎫
λ>0, ∴f (λ) ∈ , 1⎪
⎝2⎭
【学后反思】 【巩固训练】
1232n
+2++ +2) =5、lim(2
n →∞n +1n +1n 2+1n +11232n
+2+2+ +2解：2 n +1n +1n +1n +112n (1+2n ) 2n 2+n =2⋅=2 n +12n +1
6、已知lim
n →∞
3n
3n +1+a +1n
=
1
，则实数a 的取值范围3
3
是-4, 2 提示：lim
()
B 、若a n >0,lim a n =A 则A >0
n →∞
3
n
n
n →∞
3n +1+(a +1)
11
=lim = n →∞n 3
3+()
3
C 、若lim a n =A , 则lim a n =A
n →∞
n →∞
22
D 、若lim(a n -b n ) =0, 则lim a n =lim b n
n →∞
n →∞
n →∞
由
a +1
11、设数列{an }、{bn }都是公差不为0的等差数列，且
n 2+1
-an -b ) =0，则实数a= 1 ，7、已知lim (
n →∞n +1
b=-1。
n 2+1
解：lim(-an -b ) n →∞n +1
2
(1-a ) n -(a +b ) n +1-b =lim =0n →∞n +1⎧1-a =0所以⎨
⎩a +b =0
8、如图，连结∆ABC 的各边中点得到一个新的∆A 1B 1C 1, 又连结∆A 1B 1C 1的各边中点得到∆A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：∆ABC ，∆A 1B 1C 1，∆A 2B 2C 2，... ，这一系列三角形趋向于一个点M 。已知A (0,0),B (3,0),C (2,2),则点M 的坐标
a n b +b 2+ +b 2n
=2，则lim 1 等于(C)
n →∞b n →∞na 3n n
111
A.1 B. C. D.
234
提示：设等差数列{an }、{bn }的公差分别为d 1, d 2，
a a +(n -1) d 1d 1
lim n =lim 1==2， n →∞b n →∞b +(n -1) d d 122n
b +b + +b 2n lim 12n →∞na 3n
lim
2n (2n -1)
2nb 1+d 2
2d 1=lim =2=
n →∞n [a 1+(3n -1) d 1]3d 13
12、首项为1，公比为q ,(q >0) 的等比数列前n 项和
S
为S n，求lim n 的值。
n →∞S n +1
解：当q =1时，S n =na 1=n , S n +1=(n +1) a 1=n +1，
S n lim n =lim =1； n →∞S n →∞n +1n +1
52
是(, ) 。
33
S n 1-q n
当q ≠1时，lim ， =lim
n →∞S n →∞1-q n +1
n +1
S
当0
n →∞S n +1
1
() n -1
S 1q
= 当q >1时，lim n =lim
n →∞S n →∞n
n +1() -q q
q
∙⎧1,0
9、设a , b , c 是满足1
综上， lim =⎨1∙∙n →∞S , q >1n +1⎪q 0. 0b ，0. 00c 成等比数列，则a , b , c 的值依次为 ⎩
提示：即求∆ABC 的重心坐标。
。
∙
∙0. a a 0.0b b
=，0.0b ==提示：0. a =，
1-0.191-0.190
∙∙∙∙0.00c c
0.00c ==，因为0. a ，0. 0b ，0. 00c 成
1-0.1900
b 2a c
⇒b 2=ac 等比数列，所以() =⋅
909900
10、下列四个命题中正确的是 （ C ） A 、若lim a n =A , 则lim a n =A
n →∞
n →∞
2
2
【能力提升】
冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮。为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige V on ）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线。它的形成过程如下：
（i ）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间
的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
4
（ii ）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，
得到图③；
（iii ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到
的曲线就是雪花曲线。
（3）{L n },{S n }都是单调递增的数列； {L n }极限不存在；
{S n }极限存在，lim S n =
n →∞
23
. 5
雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图
形。
将图①、图②、图③……中的图形依次记作M 1、M 2、…、M n …设M 1的边长为1。
求：（1）写出M n 的边数a n 、边长b n 、周长L n ； （2）求M n 的面积S n ；
（3）观察上述求解的结果，数列{L n },{S n }有怎样的特性？它们的极限是否存在？若存在，求出极限。并归纳雪花曲线的特性。
解：（1）a n =3⋅4n -1； b n =() L n =a n b n =3⋅1
3
n -1
；
4n -1
) . 3
（2）当由M n -1生成M n 时，每条边多了一个面积
2
n 的小等边三角形，共有a n -1个。 2n -1b n
14n -1
=S n -1⋅4n -2)() n -1=)
99
∴S n =S n -1即S n -S
n -1=
4n -1
() 169
由累加法可得
S 1=，
S n -S 1=
1-
9
所以S n =
4n -1
-() . 5209
5