高中不等式专题(修改)

高中各种不等式的解法及其应用

一、 一元二次不等式及其解法

1．二次函数的图象及性质:二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的对称轴方程是x =-

b ， 2a

⎛b 4ac -b 2⎫

顶点坐标是 -2a 4a ⎪⎪．

⎝⎭

2．二次函数的解析式的三种形式：

； f (x ) =a (x -x 1) ⋅(x -x 2) （零点式）； f (x ) =a (x -m ) 2+n （顶点式）． f (x ) =ax 2+bx +c （一般式）3．一元二次不等式的解法

2

一元二次不等式ax +bx +c >0或ax +bx +c

2

设相应的一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2且x 1≤x 2，∆=b -4ac ，则不等式的解

2

2

4．解一元二次不等式的步骤：

(1)将二次项系数化为“+”：A=ax +bx +c >0(或0)； (2)计算判别式∆，分析不等式的解的情况； (3)写出解集．

2

1

5．讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在指定区间[p , q ]上的最值问题：

b b

与区间[p , q ]的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴-在区间左边，

2a 2a

b b

函数在此区间上具有单调性；②对称轴-在区间之内；③对称轴-在区间右边．

2a 2a

(1)注意对称轴x =-

（2）函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在区间[p , q ]上的单调性．要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响．

6. 例题讲解

题型1：考查一元二次函数的性质

例1. 函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的条件是（ ）

A ．b ≥0 B．b ≤0 C．b >0 D．b

例2. 求下列不等式的解集．

（1）4x 2

-4x +1>0；（2）-x 2

+2x -3>0；（3）6x 2

+x -2≤0；

例3. 不等式ax 2+bx -2

，求a 与b 的值．

4）-x 2

-2x +3

（

题型3：含参不等式的求解问题 例4. 解关于x 的不等式

2

(1)ax 2-(a +1) x +10 （3）x -(a +

2

1

) x +1

题型4：一元二次不等式的应用 例5. 已知函数f (x )=⎨

A ．x |-1≤x ≤

⎧-x +1⎩x -1

x

，则不等式x +(x +1)f (x +1)≤1的解集是（ ） x ≥0

{

2-1 B．{x |x ≤1} C．x |x ≤2-1 D．x |-2-1≤x ≤2-1

2

}{}{}

例6. 已知函数y =-sin x +a sin x -

巩固练习

a 1

+的最大值为2，则a =_________________ 42

C ．(-∞, -2) (2, +∞)

D．[-2,2]

2

1、不等式6x +5x

3. 设一元二次不等式ax +bx +1>0的解集为

A ． -∞, -

2

⎛⎝⎛⎝

4⎫⎛1⎫⎛41⎫ , +∞ B．⎪ ⎪ -, ⎪ 3⎭⎝2⎭⎝32⎭1⎫⎛4⎫⎛14⎫ , +∞ D．⎪ ⎪ -, ⎪ 2⎭⎝3⎭⎝23⎭

2

⎧1⎫

x -1

3⎭⎩

A ．-6

2

C ． -∞, -

B ．-5 C.6 D．5

2

4. 不等式x -ax -12a

A ．(-3a ,4a ) B . (4a , -3a )C ．(-3,4) D . (2a ,6a )

3

2. 不等式x +mx +1>0的解集为R 范围是（ ）

，则m 的取值

A ．R B.(-2,2)

5. 不等式

ax 2+bx +2>0

的解集是

{x -3

⎧13. 解关于x 的不等式. ⎨⎩

x -12

⎭（1）x 2+(a -2) x +a +1>0. A ．-14 B．14 C．-10 D．10 （2）)ax 2-(a +1) x +1>0. 6. 不等式(x -1)(2-x ≥0的解集是（ ）

（3）ax 2

+ax -1

A. {x ≤x ≤2}B . {x x ≥1或x ≤2}

C . {x 1或x

7. 不等式ax 2

+bx +c

（ ）

A ．a 0 B ．a 0，∆≤0 D ．a >0，∆≥0

8. 设f (x )=x 2

+bx +1，且f (-1)=f (3)，则

f (x )>0的解集是（ ）

A ．(-∞, -1) (3, +∞) B．R C ．{x x ≠1}

D . {x x =1}

9. 若0

x -1⎫

⎝a ⎪⎭

>0的解是 （ ） A ．a

11

a

B ．

a

1 a

D ．x

a

或x >a

10. 不等式ax 2

+bx +c >0的解集为{x 2

，

则不等式

a 2x -

b +x 0>的c 解集是

________________________．

11. (k -1)x 2-6x +8

的解集是

⎧ ⎨⎩

x x 4⎫

5⎬，则k =_________．

⎭ 12. 已知不等式x 2

+px +q

4

二、分式不等式与高次不等式解法

1. 分式不等式解法（不能轻易去分母）

f (x ) g (x ) >0⇔f (x ) g (x ) >0； f (x )

g (x )

f (x ) ⎧f (x ) ⋅g (x ) ≥0f (x ⎧f (x ) ⋅g (x ) ≤0g (x ) ≥0⇔⎨； )

⎩g (x ) ≠0g (x ) ≤0⇔⎨⎩g (x ) ≠0

2. 高次不等式解法：数轴标根（奇穿偶不穿）（注意每一个x 前的系数必须为正数） 3. 典型例题

例1解下列不等式

（1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （342－x x －3＞3－x －3

例2 解下列不等式：

（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 （2）（-x-1)(x-1)(x-2)>0

(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0

（5）2x 3

-x 2

-15x >0 （6）(x +4)(x +5) 2(2-x ) 3

5

三、绝对值不等式的解法：

1. 定义法：

⎧x , x ≥0

x =⎨

⎩-x , x

2. 平方法：

f (x ) ≤g (x ) ⇔f 2(x ) ≤g 2(x )

3. 同解变形法，其同解定理有： ① ③④

x ≤a ⇔-a ≤ x ≤ a ; ②x ≥a ⇔ x ≥ a 或x ≤ -a ;

f (x ) ≤g (x ) ⇔ -g (x ) ≤f (x ) ≤g (x ) f (x ) ≥g (x ) ⇔ f (x ) ≥g (x ) 或f (x ) ≤-g (x )

规律：关键是去掉绝对值的符号.

4. 含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.

5. 例题讲解

例1. 解下列不等式

（1）2x -3>6 （2）x -2x -3>0 （3）4x -3>2x +1 （4）2x +>5-x

例2. 解不等式x -3-x +

6. 巩固练习

（1）不等式3x -4

2

(3) 不等式x -5x >6的解集为_________________;(4) .函数y =

2

x 2-x -2的定义域是_________________

(5) 不等式2x +>3-x 的解集是________________; (7) x -+x +2>3的解集为___________________

(6) 不等式

x -11-x

>的解是__________________; x x

6

四、指数，对数不等式（关键要化成对称性，特别注意对数中的真数必须大于0） 1. 当a >1时, a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x ) 当0a g (x ) ⇔f (x )

⎧f (x ) >02. 当a >1时，

log ⎪

a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0 ⎪⎩f (x ) >g (x ) ⎧f (x ) 当0

log (x ) >log ⎪

>0a f a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0 ⎪⎩

f (x )

例1. 解下列不等式

（1）2x -8>0 （2）(1

4) 2x -1-162

2

（5）3

x +1

+18⋅3-x >29 （6）sin x >

12 （7）cos(2x -π3)

2

（8）tan 2x >3

4. 巩固练习 （1）(12

)

x 2-3

>4-x 的解集为________________ (2) log 2

1(x -3x -4) >log 1(2x +10) 的解集为________________

3

3

（3）log 12-x

4

4

（4）(1)

2x

2

-5(1

2

) x +4≤0的解集为________________

（5）(log) 2

2x -9log 2x +8>0的解集为________________

7

五、恒成立问题

恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型. 题型一、一次函数型——利用单调性求解

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0), 若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于

⎨

⎧f (m ) >0

同理，若在[m,n]内恒有f(x)

⎩

f (n )

例1．(1)对于满足|x |≤2的所有实数x , 求使不等式x +a 2

-3a >0恒成立的a 的取值范围.

(2)对于满足|a |≤2的所有实数a , 求使不等式x +a 2-3a >0恒成立的x 的取值范围.

题型二、二次函数型——利用判别式, 韦达定理及根的分布求解

对于二次函数f(x)=ax2

+bx+c=0(a≠0) 在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即

f(x)>0恒成立⇔

⎧⎨a >0

； f(x)

⎩

∆

(a 2-1) x 2+(a -1) x +

2

a +1

的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.

例3. 已知函数f (x ) =x 2

+ax +3-a ，在R 上f (x ) ≥0恒成立，求a 的取值范围.

8

变式：若x ∈[-2,2]时，f (x ) ≥0恒成立，求a 的取值范围.

题型三、变量分离型——分离变量，巧妙求解

运用不等式的相关知识不难推出如下结论：

若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)f(x)max

例6. 已知三个不等式①x -4x +3

例7. 对任意实数x x +-x -2>a 恒成立，求实数a 的取值范围.

变式1. 对任意实数x ，不等式x +-x -2a 恒成立，则实数a 的范围为___________

2

2

2

9

题型四、数形结合——直观求解 例8. 对任意x ∈[0,

巩固练习

1. 若不等式(m +1) x 2-(m -1) x +3(m -1) 0对任意实数x ∈[2，3]恒成立。则实数a 的取值范围为_______________

2

π

]，sin(2x -) -a -1>0恒成立，求a 的取值范围。

26

π

3. 设f (x ) =x -2ax +2，当x ∈⎢-

2

⎡1⎫

, +∞⎪时，恒有f (x ) >a ，则实数a 的取值范围为_______________ ⎣2⎭

4. 对任意的a ∈[-1,1]，函数f (x ) =x 2+(a -4) x +4-2a 的值总是正数，则x 得取值范围是（ ） A 13 C 12

5. 若不等式x 2-log m x

⎛⎝1⎫2⎭

π

]，2sin(2x -) -a -1

π

7. ①对一切实数x, 不等式x -3-x +2>a 恒成立，求实数a 的范围。②若不等式x -3-x +2>a 有解，求实数a 的范围。③若方程x -3-x +2=a 有解，求实数a 的范围。

10

六、基本不等式

1．若a,b ∈R , 则a 2+b 2≥2ab , 当且仅当a=b时取等号.

2．设a,b ∈R+, 则称a +b 为a,b 的算术平均值；称ab 为a,b 的几何平均值. 2

3．基本不等式的原形与变形 ①a +b ≥ab (当且仅当a=b时取等号) 为原形. 2

2⎛a +b ⎫②变形有:a+b≥2ab ；ab ≤ ⎪, 当且仅当. ⎝2⎭

4．最值定理

如果a,b ∈R+, a ·b=P(定值), 当且仅当a=b时, a+b有最小值2P ;

S 2如果a,b ∈R+, 且a+b=S(定值), 当且仅当a=b时, ab 有最大值. 4

5．注意：

（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，

当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

6. 例题讲解

类型一：求最值

例1. 求下列函数的最值

（1）y =x +1111,(x >0) （2）y =x +,(x

x x （5）y =x (1-x ),0

变式1(凑项) （1）已知x >2, 求y =x +

（2）已知x

（3）已知x

1的最小值； x -21的最大值； x -25，求函数y =4x -2+1的最大值。 44x -5

变式2（凑系数）（1）当0

（2）已知x >0, y >0，且x

3+y

4=1，求xy 的最大值

变式3（分离，换元）（1）

求y =2x 2+7x +10

的值域；（2）求函数y =x +1(x >-1) 的值域。

变式4（整体代换）（1）已知x >0, y >0，且1

x +9

y =1，求x +y 的最小值；

（2）已知x >0, y >0，且x +y =1，求8

x +2

y 的最小值；

（3）已知x >0, y >0，且x +3y =5xy ，求3x +4y 的最小值；

（4）已知正数a , b 满足ab =a +b +8,求ab 的范围；

（5）已知正数a , b 满足ab =a +b +8,求a+b的范围。

类型二：利用基本不等式证明不等式

例2．已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1。求证： ⎛1

⎝a -1⎫⎛⎪1

⎭⎝b -1⎫⎛⎪1

⎭⎝c -1⎫⎪⎭≥8

应用三：基本不等式与恒成立问题

例3．已知x >0, y >0且19+=1，则使不等式x +y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围为_________________ x y

应用四：基本不等式在比较大小中的应用：

1a +b l () ，例4．若a >b >1, P =lg a ⋅lg b , Q =(lga +lg b ), R =g 则P , Q , R 的大小关系是22

应用五：基本不等式的实际应用

例5. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则平均每平方米的建筑费用为560＋48x (单位：元) ．

(1)写出楼房平均每平方米的综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；

(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房平均每平方米的综合费用最少？最少值是多少？

购地总费用(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝建筑总面积

7. 巩固练习

a ＋b 1. 已知a ，b 都是正数，则 、22. 已知a ＋b 的大小关系是 212+=1(m >0, n >0), 则mn 的最小值是 m n

x y x +y 3. 已知2+2=6， 则 2的最大值是

4某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处5. 已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，则xy 的范围是

6. 给出下列命题：

①a , b 都为正数时, 不等式a +b

y=x +

③y=sinx+1的最小值为2； x 2π(0

sin x 2

④当x >0时，y =x 2+16x

当x 2＝16x 时，即x =16,y 取最小值512。其中错误的命题是

7. 已知14+=1，且a >0，b >0,则a +b 最小值为_____________ a b

4+6的最小值是 x +148. 已知x ＞0，函数y ＝2－3x － 值是 x 9．设x >-1，则函数y =x +

10. 函数y =x +4的值域是x

111．y =x (1-4x )(0

12+3x (x

113. 若x >2，则y =2x -5+的最小值为 x -2

x 2+x +114. 若x

x

215. y =的最小值为 a b 16. 已知a 、b 是正数，且＝1(x ，y ∈R ＋，求证：x ＋y ≥(＋b ) 2. x y

17．某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：

（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？

（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？