角平分线的性质和判定复习2

角平分线的性质和判定复习

11.3角的平分线的性质（二）

问题1：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

问题2：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表： 性质一：∵ ∴ 性质二：∵

∴ 3.学生思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它

S

到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

一、夯实基础

1．如图1所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定

2．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（ ）A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm 3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（） A.PM＞PN B.PM＝PN C.PM＜PN D.无法确定

P 图1

N

E

图2 图3 4．如图

3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分线，DE⊥

AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )

①AD平分∠EDF； ②AE=AF； ③

AD

上的点到B、

C两点的距离相等 ④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5． 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，

PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（ ）． A．AD=CP B．△ABP≌△CBP P

C．△ABD≌△CBD D．∠ADB=∠CDB． B

C

6． (2007广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）

Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点

7．在△ABC中，∠C=900

，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD

＝5cm，那么D点到直线AB的距离是 cm． B

D

Ｃ

二、细心做一做，你会成功

8．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，

BD＝CD，求证：∠B＝∠C.

12．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．

A

E

D C90，9．如图，已知在△ABC中，点D是斜边AB的中点，AB2BC，B C

DEAB 交AC于E．求证：BE平分ABC．

A E

Ｃ

10． 先作图，再证明．

（1

①作ACB的平分线CD，交AB于点D； ②延长

BC到点E，使CECA，连结AE． （2）求证：CD∥AE．

11.如图，∠1＝∠2

，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：DF＝EF. 证明：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，

A

D

∴ ＝ （角的平分线的性质）3

∵∠3＝∠

1＋90°，∠4＝∠2＋90°，

F

C

P

4

∴∠3＝∠4. (剩余的补充完整) O2

E

B

13．已知：如图，BC90

，M是BC的中点，DM平分ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分BAD？请你证明你的结论． （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．

Ｍ

中考链接

16．（2007广东茂名）在Rt△ABC中，C＝90

，BAC分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是（ A．1 B．2 C．3 D．4

17．（2006年镇江）⑴如图，已知△ABC，∠C＝90°.（尺规作图，保留作图痕迹）：

① 作∠B的平分线，与AC相交于点D； ② ②在AB边上取一点E，使BE＝BC

③ 连接ED;⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和 一组相等的锐角.（不包括BE＝BC，∠EBD＝∠CBD）

答：________________________________________________

．

参考答案

夯实基础

1．选A，提示：∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB



∴△ACE为等腰直角三角形，．∴ACD45

2．

2．选A；提示：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C

又∵CD平分ACB．∴CAE45．

△AED，∴CD＝DE，AE＝AC，∴△DBE的周长＝DE＋EB∴ACDCAE．∴CD∥AE． BC＋EB＝AC＋EB＝AE＋EB＝AB＝12cm．

3．选B，提示：过P作PT⊥AC于T，因为PA平分∠DAC又PC平分∠ACE，PT⊥AC，PN⊥BE，∴PN＝PT，∴PM（1）AM平分DAB． 4．选D，提示：①②③④都正确． 证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E．

∵12，MC⊥CD，ME⊥AD， 5．A

∴MEMC6．8，提示：根据角平分线的性质可得D到斜边AB

7．①、②、④ 又∵MCMB，∴MEMB． ∵MB⊥AB，ME⊥AD， 8．26

∴AM平分DAB9．由∠C＝90°，AD平分∠CAB，可作DE⊥AB于E离是DE的长，由角平分线的性质可知DE＝CD．又BC．

以DE＝CD＝3cm．所以D点到直线AB的距离是3cm． （2）AM⊥DM，理由如下： 10．四处．

∵BC90，

提示：如图2所示：⑴作出△ABC两内角的平分线，∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直其交点为O1；⑵分别作出△ABC两外角平分线，其交点2

分别为O2，O3，O4，故满足条件的修建点有四处，即O1，线平行）．

O2，O3，O4．

∴CDADAB180（两直线平行，同旁内角互补）

11．因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所

11以DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝

又∵1CDA，3DAB（角平分线定义）

DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B＝∠C． 2212．∵D是AB的中点，∴BD

（1）作图略；

（2）∵ACCE，AC⊥CE，

1

AB， 2

∴2123180，∴1390， ∴AMD90．即AM⊥DM．

B

B的平分线，标出交点D；标出点E，连接ED；

⑵写出DE＝DC，∠BDE＝∠BDC或∠ADE＝∠ABC．

∵AB2BC，∴BC

1

AB，∴BDBC． 2



又∵DEAB，C90，∴CBDE90又BEBE，Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）， ∴DBEEBC，∴BE平分ABC．