概率论在彩票中的应用(论文)

概率论在彩票中的应用

摘要：讨论彩票方案的合理性。对目前社会上流行的29中彩票发行方式通过“均方差”和“层次分析法”进行研究。得出结论：1从模型中可以得出，如果彩票风险太大，不容易被人民接受；2彩票本身是一种冒险行为，应该说不存在最好的玩法，彩民一般根据自己的主观爱好选择彩票，所以以彩民的心态对彩票进行分类，还是有意义的。同时得出各种方案的综合评定值。依据综合评定值的大小对所有方案进行排序，最终筛选出最优方案。

Abstract: The article is concerned with rationalization in lottery ticket schemes. The problem of lottery is discussed by the method of “root-mean-square”and“anolytic hierarchy process”. The following conclusions are obtained.(1) Through mathematical modelling , it has been tested and verified that if the risk of lottery is too big , it is not easy to make people to accept ; (2) Purchase lottery is a kind of high risk action , so there is not a good method of distribute lottery. The conclusion is : Generally speaking , people of purchase lotteries on basis of their interesting , so assorting for lotteries of different kinds by people′s mentality is useful. While some sufficient and necessary conditions for a finite group to beπ- solvable , solvable , super solvable and nilpotent are obtained.

关键词：彩票方案；中奖概率；心理曲线；吸引力 一． 关于“彩票中的数学”问题的综合评述 1

问题的背景：

目前在全国内地31个省（市，自治区）都有彩票发行，可以说是彩票遍布中华大地，涉及全国的千家万户，相关的信息也是全国各地媒体如电视，电台，报纸和网站所关注的热点新闻之一，从国家到地方都有专门的管理机构和专职人员，各地方也有了专门的网站和报纸。在国际上许多国家和地区也都有相应的彩票发行。对有些人来说，博彩已成为生活的一部分，影响之大不言而喻。另据中国彩票网消息：“某些国家的彩票发行已占国家的GDP的1%左右，而在中国，目前这一比例仅为0.08%左右”，如此看来中国的彩票发行规模还有一定的发展空间。

从目前全国各地的彩票发行情况来看，其规模，奖项设置和设奖比例都不尽相同，而且有的差异很大，运行模式不统一，管理还不够规范，这些问题已经引起了许多人大代表和政协委员以及有关专家学者关注，也引起了政府有关部门的重视。政府为加强管理和规范彩票的发行工作，出台了新的“彩票发行与销售管理办法”，对于彩票发行环节中的销售眼、开奖、游戏过程等相关内容，做出了

原则性的规定。笔者认为，对中国目前的彩票市场的运作情况进行研究和评价是必要的，尤其是对目前已有的彩票方案的合理性评估，以及现行规则是否符合本地区的实际情况，是否通过彩票发行的制定提高对广大彩民的吸引力，促使更多的人加入到彩民的行列中来，使得国家和彩民的利益得到双赢，进一步促进我国的彩票事业健康发展。在这样的背景下，本文从数学的角度来研究，“彩票问题”是有现实意义的。

二 “彩票中的数学”问题的优化模型

评价一个方案的优劣或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题是如何才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置，使彩民获奖的可能性有多大，奖金额有多少，中奖面如何，各项奖的设置是否合理等因素，这些都对彩民的购买彩票的吸引力产生一定的影响，在这里可用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力。另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况、收入和消费水平有关。为此，要考察一个方案的合理性问题，需要综合考虑以上这些因素的影响，这正是建立模型的关键所在。

1

模型假设与符号说明 1）

立事件；

对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级xi别的奖金比例或奖金额；

根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。

2）

j

假设：

彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的，彩民购买彩票是随机的独

符号：

r——第j等（高项）奖占高奖项总额的比例，j=1，2，3； x——第i等奖奖金额均值，1

U(x)——彩民对某个方案第i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，1〈i

j

i

i

i

〈7；

——某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常

数。

2

建模的准备

彩民获各项奖的概率

1）已给的29种方案可知，可将其分为四类，k1：选6+1（6+选m(

mn

110

1

)型，k3：n选m+1(m+

各种类型方案的彩民获各项的概率公式

n

)型和k4：n选m(

mn

）型，k2：n

)无特别号码，分别给出

k：10选6+1（6+1/10）型

1

，

,

，

k：

2

选型

，，，，

，，。

k:

3

选型

，，，，

，

选

无特别号型

，。

k:

4

x

，

(

x

U(x)=U(xi)=1e

i



)

2

，

U(x)=U(xi)=1e

x

(

x



)

2

，，。

各种方3案的各个奖项获奖概率及获

i

奖总概率P=pi计算如表一i

1）确定彩民的心理曲线

一般来说，人民的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额得看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为：

其中，表示彩民平均收入的相关因子，称为实力银子，一般为常数。 2）计算实力因子

实力因子是反映一个地区彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区彩民方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区收入和消费水平是不同的，因此不同地区实力因子应有一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此我们以中等地区收入水平（或全国平均水平）为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当x0＝52.5万元时，取U(x)＝1e

(

x0



)

2

＝0.5

（即吸引力的中位数），则有

同理可算出年收入1万元，2万元，2.5万元，3万元，4万元，5万元，10万元的实力因子如表2。

说明：

（1）研究此问题必须要考虑心理曲线，但心理曲线的可能会有不同的形式，主要是看对问题解释是否合理，实力因子在不同地区可以取不同的值，对方案的评判结果也会有差别。

（2）问题的合理性指标函数的一定与心理曲线有关，但应该在风险决策的意义下确定 出益损函数，益损函数的确定不是唯一的。

（3）问题中的概率公式的形式应该是唯一的。

3模型建立与求解 问题（一）

要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反映各种因素的合理性指标函数。因为彩民购买彩票可以认为是一种冒险行为，为此，我们根据决策分析中风险决策的理论，考虑到彩民的心里因素的影响，可取U(x)＝1e（）0）为风险决策的益损函数，于是作出如下的指标函数：

7

(x)

2



F=

PU(x)

i

i

i=2

即表示在考虑彩民的心里因素的条件下，一个方案的重奖率，重奖面，奖项和奖金额设置等因素对彩民的吸引力。另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖

7

金总额为L=Pixi,根据高奖项的计算公式得单注可能的第j项（高奖项）奖金额为

i=4

7

pjxj=(1-L)rj=(1Pixi)rj，j=1,2,3

故平均值为

xj

7

i=4

(1



i4

pixi)rj

于是由（1）（2）式得

7

pj

，j=1,2,3

F=PiU(xi)

i=1

xj

(1-pixi)

i=4

pj

(xi

，j=1,2,3

U(xi)=1e



)

2

,i=1,2…..7

5

6.3058910

利用Matlab可算出29中方案的合理性指标值F及高奖项的期望值，排在前三位的如表3

问题（2）

根据问题（一）的讨论，现在的问题是取什么样的方案

7

mn

n和m取何值），

设置哪些奖项，高奖项的比例r（2，3）为多少和低奖项的奖金额x（I=4,5,6,7）jj=1，i为多少时，使目标函数F=PiU(xi)有最大值。

设以

m,n,R

j

(j=1,2,3),xi(I=4,5,6,7)为决策变量，以他们之间所满足的关系为

7

i=1

约束条件，则可得到非线性规划模型：

MaxF=piu(xi) xj

i=1

7

(1



i4

pixi)rj

pj

(xi

，j=1,2,3

)

2

U(xi)=1e

r1+r2+r3=1

使得 0.5

1



(I=1,2,….7),=6.30589105

r

0 .8

6105x15106 ai

xj

xi1

pip,ii1

bi,i1,2,....6

1,2 ,...6

5m7 29n

6 0

ji

关于约束条件的说明：

1）条件（1）（2）同问题（一）；

2）条件（3）（4）是对高项奖的比例约束，值不太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的；

3）条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的；

4）条件（6）中的ai,bi（i=1,2,…6）分别为I等奖的奖金额xi比I+1等奖的奖金额xi+1高的倍数，可由问题（一）的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：

a1＝10，b1＝233；a2

＝4，b2＝54；a3＝3，b3＝17；a4＝4，b4＝20；a5＝2，

b5＝10；a6＝2，b6＝10

5）条件（7）是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率pi应小于低等奖的概率pi+1，它的值主要由m,n确定。

6）条件（8）（9）是对方案中m,n取值范围的约束，是由已知的方案确定的；

这是一个较复杂的非线性规划，其中概率pi的取值分为四种不同的情况，

k1,k2,k3,k4,都有整数变量

m,n确定，一般的求解是困难的。为此利用Matlab可

求解得最优解为（k2,6,32,0,8,0.09,0.11,200,10,1,0），最优值为F=6.839910-7。故对应的最优方案为：32选6，一，二，三等奖的比例分别为 80%，9%，11%，四，五，六，七等奖的金额分别为200，10，1，0元。

前面是针对中等收入水平的彩民情况考虑的，对于经济发达地区和欠发达地区应有所不同。这里分别对年收入1万元，2万元，2。5万元，3万元，4万元，5万元，10万元，工作年限均35年的情况进行了讨论，给出适用于相应各种情况的最优方案，如下面的表四。

3）几点感想

彩票目前仍是社会上的热点问题之一，通过这个问题，也使我们进一步认识到了人民常说的一句话“数学无处不在”的内容，现在我觉得可以说：“数学模型无处不在了”。随着科学技术的发展，实际中有大量的实际问题需要用数学建模的方法转化为数学问题，即建立数学模型，然后用计算机来求解，这正是我们数学建模的过程。数学建模将会在工程与数学，工程师与数学家之间架起一座金桥，沟通二者之间的关系，消除二者因处理问题的方法和思维方式的差异而产生的障碍与隔阂。因此，我衷心地希望有更多的老师和同学们加入到数学建模的队伍中来，特别是基础课的同学们，在数学建模中提高自己，找到自己的价值和用

武之地，也可以从中得到快乐，同时也是为我们的数学建模事业发展做出应有的贡献。

参考文献：

（1）中国彩票网:http://www.cpiao.com

（2）中国经济景气监测中心:http://www.cemac.org.cn

（3）杨轮彪.模糊数学原理及应用M.武汉：华南理工大学出版社，1998

（4）朱智贤,林崇德.思维发展心理学M.北京；北京师范大学出版社，1986

（5）钱送迪等.运筹学M.北京:清华大学出版社，1999