解决圆的切线有关问题的方法
解决圆的切线有关问题的方法
利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要添加辅助线，其中“连结”就是一种重要的辅助线作法。即利用圆的切线进行运算或证明时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题；在证明圆的切线时，把该直线和圆的交点与圆心连结结起来，证明此半径垂直于该直线即可。
下面通过几例，让我们一起来体会一下“连结”的妙用。
一、利用圆的切线进行运算
例1：如图1，在同心圆⊙O 中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB=6cm，求圆环的面积。
分析：因为大圆的弦AB 切于小圆C 点，所以连结OC ，可得OC ⊥AB ，进而根据垂径定理求得AC=1AB=3。圆环的面积是大圆面积与小圆面积的差，连结OA ，此时OA 为大2
圆半径，OC 为小圆半径，在Rt ⊿AOC 中，利用勾股定理可求出(OA2－OC 2) 的值，就可求出圆环的面积。
解：连结OC 、OA
∵AB 切小圆于点C ∴OC ⊥AB ∴AC=
在Rt ⊿AOC 中， ∵OA 2－OC 2=AC2=9 1AB=3 2
∴S 圆环 =S 大圆－S 小圆=OA 2π-OC 2π=(OA 2-OC 2) π=AC 2π=9π(cm2)
答：圆环的面积是9πcm 2。
二、利用圆的切线进行证明
例2：如图2，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为D 。
求证：AC 平分∠DAB
分析：要证明AC 平分∠DAB ，就是要证∠1=∠2。C 为切点，连结OC
可得OC ⊥AC ，进而证得AD ∥OC ，得到∠1=∠3，其它问题就会迎刃而解。
证明：连结OC
∵CD 为O 的切线 ∴OC ⊥CD
又∵AD ⊥CD ∴AD ∥OC ∴∠1=∠3
∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2 即AC 平分∠DAB
三、证明圆的切线
例3，如图3，在⊿AEF 中，∠BAC 的平分线AD 与⊿AEF 的外接圆⊙O 交于D 点，过D 点作BC ∥EF ，分别交AE 和AF 的延长线于点B 和点C 。
求证：BC 为⊙O 的切线。
分析：要证明BC 为⊙O 的切线，根据切线的判定定理需要两个条件：
①BC 要过半径的外端；②BC 要与这条半径垂直。现在BC 恰好过⊙O 上的
一点D ，连结OD ，条件①就自然具备了，只要证明OD ⊥BC 问题就会解决。 因为AD 平分∠BAC ，所以可得DE =DF ，根据垂径定理可知OD ⊥EF ，
再利用EF ∥BC ，可证得OD ⊥BC 。
证明：连结OD
∵AD 平分∠BAC ∴DE =DF
∵OD 为O 的半径 ∴OD ⊥EF
又∵EF ∥BC ∴OD ⊥BC
∵BC 过半径OD 的外端D ∴BC 为⊙O 的切线
试一试：
1如图4，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过BC 上一点D ，过D 作DE ⊥AC 于E 点。 求证：BD=CD
2如图5，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦BC 交OA 于点D ，E 为OA 延长线上的一点，且EC=ED。
求证：EC 是⊙O 的切线。
参考答案：
1． 提示：连结OD ，可得OD ⊥DE 。因为DE ⊥AC ，所以OD ∥AC ，由OA=OB可证得，OD 为⊿ABC 的中位线，所以BD=CD。
2． 提示：连结OC ，在Rt ⊿BOD 中，∠OBD ＋∠ODB=900
由EC=ED，得∠EDC=∠ECD=∠BDO 由OB=OC得 ∠OBD=∠OCD
所以∠OCD ＋∠ECD=900 即OC ⊥EC ，所以EC 是⊙O 的切线。