圆锥曲线 离心率

圆锥曲线的离心率问题

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。 一、直接求出a、c，求解e

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=

2

c

来求解。 a

y2

例1. 过双曲线C：x-2=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相

b

交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）

A.

分析：这里的a=1，c=b2+1，故关键是求出b2，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线l的方程为y=x+1。直线与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B(-

B. 5 C.

3

D.

5 2

1b1bc,)、C(,)，又|AB|=|BC|，可解得b2=9，则c=故有e==，从而选A。 b+1b+1b-1b-1a

二、变用公式，整体求出e

x2y24

例2. 已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（ ）

3ab

A.

分析：本题已知

5

3

B.

4 3

C.

5 4

D.

3 2

b4

=，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。 a3

ca2+b2a2+b2b2b42

==+=+k解：由e==（其中k为渐近线的斜率）。这里=，

aaa3a2a2

则e=

三、第二定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于

条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）

A.

c45

=+()2=，从而选A。 a33

2 B.

2

2

C.

1 2

D.

2 4

解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则MF⊥x轴，知|MF|是通径的一半，则有|MF|=由圆锥曲线统一定义，得离心率e=

2

。2

|MF|2

，从而选B。 =

d2

四. 构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出

离心率e的值，这也是常用的一种方法。

x2y2

例4. 已知F1、F2是双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正∆MF1F2，若边MF1的中

ab

点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 4+2

解：如图，设|OF1|=c,MF1的中点为P，则点P的横坐标为-

B.

3-1 C.

+1

2

D. 3+1

c1

，由|PF1|=|F1F2|=c，由焦半径公式22

cc

|PF1|=-exp-a，即c=-⨯(-)-a，得c2-2a2-2ac=0，有e2-2e-2=0，解得e=1+,e=1-3（舍

a2

去），故选D。

练一练

设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）

A.

2 2

B.

2-1

2

C. 2-2 D. 2-1

b2

PF2==2c⇒a2-c2=2ac解：由a

化为齐次式e2+2e-1=0⇒e=1

x2y2

23.（2009重庆卷文）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，

abac

若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为

=

sinPF1F2sinPF2F1

【答案】.

解法1，因为在∆PF1F2中，由正弦定理得

则由已知，得

1,1

)

PF2PF1

=

sinPF1F2sinPF2F1

ac

，即aPF1=cPF2 =

PFPF1211

设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1=a+ex0,PF2=a-ex0则a(a+ex0)=c(a-ex0)

a(c-a)a(e-1)a(e-1)

记得x0=由椭圆的几何性质知x0>-a则=>-a，整理得

e(c-a)e(e+1)e(e+1)e2+2e-1>

0,解得e

e∈(0,1)，故椭圆的离心率e∈1,1)

24.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 则双曲线C

o

，

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得

25.（2008全国一理15）在△ABC中，AB=BC，cosB=-圆的离心率e= ．

26（2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂

直，那么此双曲线的离心率为 （A

（B

（C

）

︒

cb

=所以c=，

所以a=，

离心率e== =tan30︒，

ac7

．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭18

3 8

11

（D

） 22

x2y2

解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2-2=1(a>0,b>0)，

ab

则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为：

bbbb

，直线FB的斜率为：-，∴⋅(-)=-1，∴b2=ac acac

22

c-a-ac=

0，解得e=

c1=. a2

x2y2

27（2010四川理数）（9）椭圆2+2=1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在

ab

点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

（A

） ⎝⎛

⎡1⎫⎛1⎤

1,1) （D）⎢,1⎪ （B） 0,⎥ （C）

⎦⎣2⎭⎝2⎦

解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F， 即F点到P点与A点的距离相等

a2b2b2

而|FA|＝-c= ， |PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c]

ccc

即ac－c2≤b2≤ac＋c2

2

2

2

⎧c

≤1⎪⎧⎪ac-c≤a-c⎪a⎡1⎫

∴⎨2⇒又e∈(0,1)故e∈,1⎪ ⎨⎢22⎣2⎭cc1⎪⎩a-c≤ac+c⎪≤-1或≥

⎪a2⎩a

答案：D

（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 28A.

31

42

B. C. D.

5555

（2010全国卷2文数）（22）（本小题满分12分）

x2y2

已知斜率为1的直线1与双曲线C：2-2=1(a>0,b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）

ab

（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。

【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 （1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。

（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。

（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，

代入C的方程，并化简，得(b-a)x-4ax-4a-ab=0，

2

2

2

2

2

22

4a24a2+a2b2

设 B(x1,y1)、D(x2,y2)，则x1+x2=2 ① ,x1x2=-2

b-a2b-a2

14a2x1+x2

由M(1,3)为BD的中点知故⨯2 ②

=1即b2=3a2，=1，2

2b-a2

故c=

=2a 所以C的离心率e=

2

2

2

c

=2 a

（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x-y=3a，

4+3a2

A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1x2=

2

故不妨设x1≤-a,x2≥a，

BF==a-2x1，

FD==2x2-a，

BFFD=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.

又 BFFD=17， 故 5a2+4a+8=17， 解得a=1，或a=-

9

（舍去），

5

故BD1-x2=

=6，

连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知MA=3，从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.

（2010全国卷1文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，

uuruur

且BF=2FD，则C的离心率为 .

【命题意图】

本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析1

】如图，|BF|==a,

uuruur

作DD1⊥y轴于点D1,则由BF=2FD，得 |OF||BF|233

==,所以|DD1|=|OF|=c,

|DD1||BD|322

a23c3c23c

即xD=,由椭圆的第二定义得|FD|=e(-)=a-

c22a23c2,⇒e= 又由|BF|=2|FD|,得a=

2a-ax2y2

【解析2】设椭圆方程为第一标准形式2+2=1，设D(x2,y2)，

ab

F分 BD所成的比为2，

3y-b3⋅0-b0+2x2b+2y233b

⇒x2=xc=c;yc=⇒y2=c==-，代入 1+2221+2222

9c21b2⇒e=+=

1， 22

4a4b

xc=

（2010全国卷1理数）

（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）

x2y2

设椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜

ab

角为60o,AF=2FB.

(I) (II)

求椭圆C的离心率； 如果|AB|=

15

，求椭圆C的方程. 4

解：

设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.

（Ⅰ）直线l的方程为

y=

(x-

c)，其中c=.

⎧y=x-c),

⎪22224

联立⎨x2y2得(3a+b)y+cy-3b=0

⎪2+2=1

b⎩

a

y2=

解得y1=

因为AF=2FB，所以-y1=2y2.

=2 即

c2

得离心率 e==.

„„6分

15

=. （Ⅱ）因为AB=y2-

y14c2515

.所以a=，得a=3，b==得b=a344x2y2

+=1. „„12分 椭圆C的方程为95

由

（2010江西理数）21. （本小题满分12分）

x2y2

C1:2+2=1(a>b>0)C2:x2+by=b2

ab设椭圆，抛物线。

（1） 若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；

（2） 设A（0，b）

，Q ⎪,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B 0b⎪，

且△QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。

【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。

（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：c=b，

2

2

⎛

⎝5⎫4⎭⎛⎝3⎫4⎭

c21

由a=b+c=2c,有2=⇒e=。

a22

2

2

2

2

(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),由∆AMN的垂心为B，有

3

BM⋅AN=0⇒-x12+(y1-b)(y1-b)=0。

4

2

2

由点N(x1,y1)在抛物线上，x1+by1=b，解得：y1=-或y1=b(舍去)

b

4

bbb,M(-,-),N,-)，得∆

QMN重心坐标). 224244

b211=b2,所以

b=2，M(-),N-)， 由重心在抛物线上得：3+422

162

又因为M、N在椭圆上得：a=，

3

x2y2

椭圆方程为+=1，抛物线方程为x2+2y=4。

164

故x1=

3

x2y2

【例5】已知椭圆2+2=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好

ab

通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；

b2b2

解：（1）∵F1(-c,0),则xM=-c,yM=，∴kOM=-。

aac

bb2b2,OM与AB是共线向量，∴-=-，∴b=c,故e= ∵kAB=-。

2aaca

F1Q=r1,F2Q=r2,∠F1QF2=θ,

（2）设

∴r1+r2=2a,F1F2=2c,

r12+r22-4c2(r1+r2)2-2r1r2-4c2a2a2

==-1≥-1=0 cosθ=

r+r2r1r22r1r2r1r2

(12)2

2

当且仅当r1=r2时，cosθ=0，∴θ∈[0,

π

2

]。

高考试题分析

x2y22

1.（2009全国卷Ⅰ）设双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等

ab

于( C )

（A

（B）2 （C

（D

解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点P(x0,y0)，则切线的斜率为y又y0=x0+1

22

'

|x=x0=2x0.由题意有

y0

=2x0x0

，

解得

: x0=1,∴

b=2,e==abxx2y22

由题双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=，代入抛物线方程整理得ax-bx+a=0，

aab

22

因渐近线与抛物线相切，所以b-4a=0，即c=5a⇔e=

2

2

5，

x2y2

2.（2009浙江理）过双曲线2-2=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐

ab

1

近线的交点分别为B,C．若AB=BC，则双曲线的离心率是 ( )

2

A

B

C

D

答案：C

【解析】对于A(a,0)，则直线方程为x+y-a=0，直线与两渐近线的交点为B，C，

⎛ab⎛a2ab⎫a2ab2a2b2a2b ab⎫

B ,,C(,-)BC=(,-),AB=-,，，

⎪ ⎪2222

a-ba-ba-ba-b⎝a+ba+b⎭⎝a+ba+b⎭

22

因此2AB=BC,∴4a=b,∴e=

x2y2

3.（2009浙江文）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，

ab

直线AB交y轴于点P．若AP=2PB，则椭圆的离心率是（ ）

A

11 B

． C． D． 232

1

【解析】对于椭圆，因为AP=2PB，则OA=2OF,∴a=2c,∴e=

2

x2y22

4.(2009山东卷理)设双曲线2-2=1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为

ab

( ). A.

55

B. 5 C. D.

24

b⎧

x2y2bb⎪y=x2

【解析】:双曲线2-2=1的一条渐近线为y=x,由方程组⎨a,消去y,得x-x+1=0有唯一解,

aaab2⎪y=x+1⎩

b2

所以△=()-4=0,

acb

=2=故选D 所以=

2,e==

aa

5.（2009

（A）

xyx2y2x2y2x2y2 （B） （C）-=1-=1-=1 （D）-=1

244246410

22

c23b23b21[解析]

由e=得2=,1+2=,2=，选B

2a2a2a2

x2y2

6.（2009江西卷文）设F1和F2为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形

ab

的三个顶点,则双曲线的离心率为

35

B．2 C． D．3

22

πcc2222

=【解析】由tan=3c=4b=4(c-a),则e==2,故选B.

62ba

x2y2

7.（2009江西卷理）过椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若

ab

A．

∠F1PF2=60 ，则椭圆的离心率为

A

．

11

B

． C． D． 2332

b23b2c

=

2a,从而可得e==【解析】因为P(-c,±)，再由∠F1PF2=60有B

aaa

x2y2

8.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C2-2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F

的直线交C于

ab

A、B两点，若AF=4FB,则C的离心率 (A)

6597

B. C. D. 585 5

x2y2

9. （2008福建理11）双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,

ab

A．

则双曲线离心率的取值范围为（B）

A.(1,3)

B.(1,3]

C.(3,+∞)

D.[3,+∞)

利用第二定义及焦半径判断x0³a

x2y23a

10.（2008湖南理8）若双曲线2-2=1（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的

ab2

距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )

A.(1,2)

B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

3aa23aa2

e(-)>+,整理得3e2-5e-2>0解析：利用第二定义2 c2c

11.（2008江西理7）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⋅MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率

的取值范围是（C）

1 D

． 22 2

解析：满足MF1⋅MF2=0的点M总在椭圆内部，所以c

．(0,

x2y2

=1的离心率e的取值范围是（ B ） 12.（2008全国二理9）设a>1，则双曲线2-2a(a+1)

A

．B

． C．(2，5) D

．(2

x2y2

13.（2008陕西理8）双曲线2-2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的ab

直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）

A

B

C

D

x2y2

14.（2008浙江理7）若双曲线2-2=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D） ab

（A）3 （B）5 （C）3 （D）5

15.（2008全国二文11）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心

率为（ B ）

A．1+2 2B． 1+ 2C． 1+2 D．1+

16.（2008湖南文10）双曲线x2

a2y2-2=1(a>0,b>0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，b

则双曲线离心率的取值范围是( C )

A

． B

．+∞) C

．1] D

．1,+∞)

利用焦半径公式及x0>a，解不等式即可。

x2y2

17.（2007全国2理）设F1，F2分别是双曲线2-2的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90且ab

AF1=3AF2，则双曲线的离心率为（ B ）

B

． 22

ìAF1-AF2=2AF2=2aïï?a解í222ïïî(AF1)+(AF2)=(2c)A

．

A．C

． 2 D

?eC．18（07全国2文）．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ D ） 1 D

． 22

19（07江苏理3）．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，1 3 B

． 3 则它的离心率为（A）

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A

B

（注意焦点在y轴上） C

D．2 x2y2

20．设F1，F2分别是椭圆2+2=1（a>b>0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂线ab

过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）

A

． 0⎛

⎝ 2⎦B

． 0⎛

⎝ 3⎦C

．⎫1⎪ ⎪⎣2⎭D

．⎫

1⎪ ⎪⎣3⎭

a2

+ca2=2c?2c3c?e 3

x2y2

21（07湖南文）．设F1，F2分别是椭圆2+2=1（a>b>0）的左、右焦点，P

ab

（c为半焦距）的点，且|F1F2|=|F2P|，则椭圆的离心率是（ D ）

11 C

． D

． 222

x2y2

22（07北京文4）．椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若ab

MN≤2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ D ） A

． B．Ａ． 0⎥ 1 2⎛

⎝1⎤2⎦

Ｂ． 0⎛

⎝ ⎦ Ｃ．⎢，1⎪ ⎡1⎫

⎣2⎭

Ｄ．⎫1⎪⎪⎣⎭

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