工程坐标系中几种投影方法的探讨

工程坐标系中投影转换的探讨

内容摘要：在工程建设中，通常要建立挂靠国家坐标系下的边长不进行投影改正的独立施工控制网。本文分析了在建立工程施工控制网中的投影变形以及为克服投影变形而采用边长投影的方法。

关键词：工程建设，投影变形，边长投影

1 前言：

随着测绘技术的发展，测绘仪器的智能化、现代化，现在的施工控制网已由原来经典的测距仪测量的方法向现在GPS 测量测量方法迈进，然而一直困扰着测绘人员的投影变形问题一直没能改变。

2 工程控制网中的变形情况：

测距仪测距引起的变形

在利用GPS 测量时，众所周知，高斯投影计算的过程是将地面观测值（基线）首先化算到设定的参考椭球面上，然后再将参考椭球面的值投影到高斯平面上，在转换过程中存在两种变形：

2.1大地高引起的长度变形

实际测量边长值归算到参考椭球面的归化变形Δs

假如基线两端已经过垂线偏差改正，则基线平均水准面平行于椭球体面。此时由于水准面离开椭球面一定距离，引起长度归算的改正，这就是实际测量边长值归算到参考椭球面的归化变形Δs 。∆s H =-S 0H ∆s H H m =-m S 0R R

依照上面两式，R 取一概略值为6370km ，分别计算每公里长度归化投影变形和不同高程面上的相对变形，见下 表1—1： H m /m

Δs/mm 10 -1.6 20 -3.1 30 -4.7 40 -6.3 50 -7.8 70 -11.0 100 -15.7 160 -25.1 1000 -157 3000 -472 Δs/S0 1/91000 1/63700 1/39000 1/6370 1/2120 从上可见，Δs 值是一个负值，表明将地面观测值归算到参考椭球面上，总是缩短的；并且与H m 成正比，随着H m 增大而绝对值更大。

2.2参考椭球面上边长值通过高斯投影至高斯平面而产生的距离改正ΔS

y 2y 4

（1—8） m =1++2R 224R 4

式中y 为点的平面坐标系中的Y 坐标，而R 表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。下表给出了不同y 值和纬度相应长度比

综合上面叙述，我们可以得出一个结论：为了得到方便工程建设使用的高斯平面坐标，在野外观测的边长在经过三差改正等措施后，要归化到参考椭球面上，其边长就会变短，其改正大小为：Δs ，然后要把椭球面上边长按高斯投影的规则进行投影计算，这时边长会变长。其改正大小为：ΔS 。这两种变形符号相反，可以相互抵消一部分，但在边长中仍有一个变形改正（为了叙述方便，我们可简称这种组合变形为投影变形），这对于高精度的施工是不利的，也是现代建筑不允许的。为此，人们常常采用各种不同的办法来抑制投影变形，以达到工程建设施工放样精度。

2.3 工程建设对施工控制网边长变形的一般要求

工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺地形图的控制基础，还要作为城市建设和各种工程建设施工放样测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量测值要在长度上相一致，这就是说由前面所叙述的边长改化与高斯投影过程中的归化投影两项改正而带来的长度变形不得大于施工放样的精度要求。一般说来，施工放样的方格网和建筑物的轴线的测量精度为1：5000—1：20000。因此，由投影归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2 ，我们要考虑精度余地，即要求边长相对误差为1/40000，也就是说，每公里的长度变形不应大于2.5cm 。这也是现行的各种施工规范对施工控制网的边长投影变形的要求。

从（1—13）式中可以看出，椭球面向高斯面边长改正ΔS 主要与边长两端点的y 坐标的平均值y m 有关，根据公式可以计算出y m 为10—150km 时，高斯投影距离改正的相对值，

见下表： 表1—3 y m （km ）

ΔS/S 10 1/810000 20 1/200000 30 1/90000 40 1/40000 50 1/32000 100 1/8100 150 1/3600 从表1—1、表1—3中可以看出，但测边高程大于160m 或是y m 大于50km 时，其均不能满足规范要求，这时就要根据边长变形的规律，以实际情况建立各自的坐标系。

2．4建立施工控制网常用坐标系

在现代常规施工控制网的建立中，根据“控制点误差所引起的放样点位的误差，相对于施工放样的误差来说，小到可以忽略不计”的原则，确定了施工控制网的精度后，常常布设为三角网、三边网的边角网。考虑到工程的特点与地形状况，网中利用高精度的电磁波测距仪进行起始边长测量，常用的有ME3000或ME5000和LeicaTC2002等。

在工程建设中，由于工程的地理环境、工程规模、施工精度等因素的不同，对施工控制网有着不同的要求，在处理长度变形有着不同的要求和方法。目前，工程中常用的方法有：

⑴ 抵偿高程面

由测量学知识可知，高斯投影是角度不变的投影，其边长除中央子午线保持不变外，其余的均发生变化，其变化值由真实长度向国家统一的椭球上转换引起的变形Δs 和椭球面上长度投影至高斯平面引起的变形ΔS 这两部分组成，这两部分变形能在一定程度上互相抵消。又Δs 、ΔS 的大小由边长所在平均高程面相对于椭球面高差和边长所处位置的平均曲率半径所决定，因此可选择合适的曲率半径，让两变形值绝对值相等，从而使得高斯面上长度与实地长度一致。这个适当半径的椭球面一般称为“抵偿高程面”。在确定好抵偿面后，选择网中心部位的一个控制点作为相应坐标系的原点，将控制网中其它控制点的在国家坐标系的坐标换算到抵偿面相对应坐标系中，达到限制变形的目的。

这种坐标系中，仍是采用国家3°带高斯投影，但投影的高程面不再是参考椭球面了，而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面了。在这个参考高程面上，长度变形为零。

下面给出抵偿高程面的计算方法：

假设工程建设地的中心位置的坐标为（x 0,y 0），平均曲率半径为R ，平均大地高为H m ，抵偿高程为H ，测距边长为S ，则边长变形的综合为Δs+ΔS ，现要求其为0，即如下：

2⎛y m H m ⎫⎪∆s +∆S =S + 2R 2⎪=0 （1—14） R ⎝m ⎭

这里，S 、 R 、y m 是一定的，要使上式成立，就得求出一个H ，使得下式成立：

2⎛y m H ⎫ + 2R 2R ⎪⎪=0 （1—15）

⎝m ⎭

从而可得：

2y m （1—16） H =2R

这样，在这个H 高程面上计算的边长在高斯平面坐标系中坐标反算边长与实地边长值就相一致了。例如：某测区平均高为H m =2000m，最边缘距中央子午线y m =100km，取平均曲率半径为R=6370000m。当S=1000m时，则有

∆s =-H m ∙S =-0. 313m R

21⎛y m ∆S = 22 ⎝R m ⎫⎪⎪∙S =0. 123m ⎭

∆s +∆S =-0. 190m

从以上计算可以看出，边长投影变形已超出允许限差，这时不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，使（1—15）式成立。依据（1—16）式计算得到这个参考高程面的高程为：

2y m H =≈780m 2R

这就是说明，当地面实测距离归算至780m 面时，两项改正在中心位置处能得到完全补偿。可以验算如下：

∆s =-H 780∙S =-⨯1000=-0. 122m R 6370000

⎫1⎛1002⎫⎪ 63702⎪⎪⨯1000=0. 123m ⎪∙S =2

⎝⎭⎭

∆s +∆S =0. 001m 21⎛y m ∆S = 22 ⎝R m

即投影变形约为0。

从以上推导可以看出，高程抵偿面上坐标与真正高斯坐标是一个简单的缩放比例关系。但是GPS 测量的计算均是在WGS —84椭球上进行的，在工程测量中使用的静态相对定位模式中，其观测值处理一般是利用仪器供应商提供随机基线解算软件包，其计算结果——基

线向量已经归化到了WGS —84参考椭球面上了，其值为基线向量在WGS —84椭球的空间直角坐标系下的三维坐标分量，如再利用这一种方法，显然是不可行的。

⑵ 择任意投影带

同样，测区到投影带中央子午线的距离（y m ）也决定着ΔS 的大小。如保持国家统一的椭球面作投影面不变，选择不同的中央子午线位置进行高斯投影，让两变形值绝对值相等。这样将各控制点的坐标重新进行计算。这实际上是一个换带计算的过程。这种方法适合在高程变化不大的测区。

在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算至参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家3°带的划分，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。这就是说，在式（1—15）中保持H m 不变，于是可求得：

y =2R m H m （1—16）

这样选择通过y 值的子午线作为投影中央子午线，就可以达到抑制变形的目的。

例如，某测区相对参考椭球面的高程为H=500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依据式（1—16）计算得：

y =2R m H m =2⨯6370⨯0. 5=80km

即选择与测区相距80km 处的子午线为高斯投影的中央子午线。此时ym=80km，两项改正得到完全补偿，事实上

∆s =-H 500∙S =-⨯1000=-0. 078m R 6370000

⎫1⎛802⎫⎪ 63702⎪⎪⨯1000=0. 078m ⎪∙S =2

⎝⎭⎭

∆s +∆S =0. 000m 21⎛y m ∆S = 22 ⎝R m

从叙述中，可以看出，这种称抑制投影变形方法是一个换带的过程。但是这样坐标系与国家基础资料就不统一了，特别是和工程设施的勘测、设计阶段的资料不一致，这样在施工期间，要将设计资料进行变换，甚至要重新进行资料采集，这是一个繁杂的过程，所以一般在工程建设中不使用这一种方法。（列出公式与不利因素）

⑶ 联测国家坐标系坐标，建立边长不进行高斯投影的独立坐标系。

这种方法是水利工程建设中最常用的方法之一，也是本次课题探讨的难点。

在控制面积小于100km 2时，在建立联测国家坐标系且不对边长进行投影改正的独立坐

标系时，实际上是对把工程所在地一定区域内的地面近似看作一个平面，将这个平面上的观测值归算到工程重要的建筑物所在的高程面上，以测区内某一点为起算点，某一边为起始方位角，按平面直角坐标系的特性直接进行平差计算，保证重要建筑物的变形最小。

在水利枢纽工程建设中，往往采用这一种方法，这样建立的控制网较好地和国家坐标系相联系，又保证了施工的精度。这是因为水利工程从论证、勘察、规划、设计、建设到营运管理的周期长，要经历十几年甚至几十年，各种地理空间基础资料均是在国家坐标系下进行的，在工程的前期，工程的规模与位置均未能确定，不可能用大量资源进行满足施工高精度的控制网建设，只是布设满足勘测阶段的控制网，测量大量的基础地形图，进而完成工程选址，确定工程的规模和设计出初步图纸等等。当工程运行到施工阶段，通过这种方法建立一高精度的施工控制网，可以保证建设物的施工安全，又能监测工程运行安全。在黄河小浪底水利枢纽工程、万家寨水利枢纽工程建设中，就是采用的这种方法来建立的首级施工控制网。而2005年1月刚刚完成的南水北调中线工程首级施工控制网也是采用的这种方法，接合GPS 技术高效率、高精度地建立的。

通过这种方法建立的施工控制网有如下特点：

①控制点间坐标反算距离与实地测量值相一致，不大于规范限差，在重要建筑物上其两者相等。保证施工的方便与施工的安全。

②所有方向值与地面方向值相同，保持正形投影特点。

③适用面积小于75km 2的区域。

④将这个区域视为一个平面，满足欧氏几何的特性，各种定理在这空间适用。

2．5建立控制网的常用技术

2．5．1 常规方法

在以往三角测量中，是将地面观测值转换到参考椭球面上，再根据高斯分带投影的方法计算得到工程使用的平面直角坐标。在建立联测国家坐标系且边长不进行高斯投影的独立坐标系时，其处理方法是非常清楚的，也就是不再进行观测值的向投影面和高斯面的改化，直接利用平均高程面上边长值进行平差。联测的国家坐标系，根据某一起算点坐标与某一起算方位角，以观测的平面边长和水平角即可进行坐标推算，求出各控制点的工程所需坐标。其使用的仪器均是高精度的电磁波测距仪、电子经纬仪、测量机器人等高精密仪器，例如： 公司的DI5000测距仪， 公司的TC2002、TC2003A 均是使用较普遍的，这类仪器的最大特点是价格昂贵，适用面小。基于这种测量仪器建立施工控制网时，存在如下几个缺陷：

①仪器设备价格昂贵，一次性投资大；

②仪器高精密，个大体沉，使用范围受限，不能灵活用于其它的低等级控制测量中； ③作业中涉及环节、人员多，对操作人员技术要求高且要全面，要求有丰富的经验； ④生产作业受天气、施工等因素影响大，方式不灵活；

⑤作业周期长，灵敏度不同，效益低，特别是在控制网的复测与监测中表现尢为突出。 这些不足在现代工程建设的大环境中将日益突出，特别是和现代工程论证时间长而实施建设时间短的经济快速增长的时代不合拍。

2．5．2 使用GPS 技术

现代GPS 定位技术的快速发展，应用领域正在不断开拓，目前已遍及国民经济各个部门。这种测量技术具有显著的特点：

⑴定位精度高。应用实践已经证明，GPS 相对定位精度在50km 以内可达10-6。

⑵观测时间短。随着GPS 技术的不断发展，系统不断完善，各种处理软件的成熟，相对定位时间已越来越短，20km 内的静态测量时间仅需15—20分钟。

⑶测站间不要求通视。这是GPS 技术有别其它常规测量技术最显著的特点，可以节约大量成本，其作业灵活，作业效率大提高。

⑷操作简单。随着GPS 接收机的不断改进，自动化程度也越来越高，现在多数类型的接收机已经是“傻瓜化”了，并且质量越来越轻，体积越来越小，降低了对生产人员的技术水平要求，也减轻了作业者的劳动强度。

⑸全天候作业。一般不受天气因素影响，可以说是能24小时内进行作业。

另外，随着GPS 产业化的过程加快和GPS 用户的普及（其它系统在短时间内还不可能代替GPS 系统），以及科技的进步，现在接收机设备已经越来越便宜。国内市场上已有出现许多种国外品牌，国内的品牌也是雨后春笋，推出了各种精度和适用各种用途的GPS 接收机。其在工程测量、大地测量、海洋测量方面得到了广泛的应用，特别是水利工程的勘测、规划、施工建设、安全监测环节以及河道流域基础资料的测绘工作中，日益发挥着重要作用。例如：黄河下游干流河道1：1万地形图测绘项目中，生产单位就使用了GPS 技术进行航测外业控制测量，极大地提高了成图速度，缩短的成图周期，创造了很好的社会、经济效率。另外，治黄单位利用GPS 技术，在一年半时间内，建立了黄河流域干流河道GPS 控制网，其C 级网平均边长在20公里，如利用常规仪器实施，根本不能完成的。

在施工测量方面，由于GPS 技术的优点，也越来越受到重视，在很多大型项目控制网建设中得了应用，例如前面提到的南水北调中线施工控制网布设中就是利用GPS 技术建立的；鄄城黄河公路大桥施工控制网同样是采用这种方法施测的。

然面，现在GPS 在独立坐标系进行作业的计算是受限的。GPS 测量是在WGS84坐标系进行的，基准站与流动站的接收机接收GPS 卫星发送伪距、相位观测值，再利用相应的基线计算软件进行粗加工，预处理和基线解算，从而获得两接收机间达到毫米级的基线向量（δx 、δy 、δz ）观测值，观测值本身有方向和尺度基准。根据基线向量，可以计算出基线向量在三维空间中和方向和边长。因此，在使用GPS 技术建立这样的独立坐标系时，需将WGS84系下的GPS 基线通过一定规律，将其空间边长转化为二维的有向平面边长，并换算到工程所在地区的地面边长，再按间接平差理论进行平差处理，以获得工程建设所需的坐标和评定测量所达到的精度。而目前，能实现这样功能的软件包很少，GPS 随机软件、国内使用较多原武汉测绘科技大学研制的PowerADJ 和同济大学研制的TGPPSW 均不能实现这个功能。解决这些问题就是以后几章要讨论的内容，主要是从长度转换、方向转换及相应的误差转播等这几个方面进行讨论。

第二章 控制网及控制网投影变形

1．1施工控制网的建立

放样工作的目的，与一般测图工作相反，它是按照设计和施工要求，将设计的建筑物的位置、形状、大小及高程，在地面标定出来，以便进行施工。

工程放样一般与设计时程序一致，先确定建筑物的主轴线，然后再测定建筑物的其它部分。这样，可以免除因建筑物众多而引起的放样工作的紊乱，并能保证所放样元素之间存在的几何关系。如水利枢钮工程施工，一般先放样出大坝的主轴线，然后再放样各坝段的轴线，根据坝段轴线再放样出坝段每层的形状、尺寸等等。主轴线的放样，一般是利用建筑区内为施工测量专门建立的控制网——施工控制网进行，而其它部分则根据主轴线进行放样。

在勘测阶段所建立的测图控制网，由于其目的是为测图服务的，点位的选择是根据地形条件确定的，它不可能考虑建筑物的总体布置，因而在点位分布与密度方面均不能满足施工放样的要求。从测量精度上来说，测图控制网的精度是根据所测地形图的比例尺大小不确定的，而施工控制网的精度要求是根据工程建设的性质来决定。它一般高于测图控制网。所以，为了进行施工放样测量，必须建立施工控制网。

相对于测图控制网，施工控制网具有明显的特点，主要表现在：

①控制面积小，控制点密度大，精度要求高。建设项目一般在小范围内进行，且建设的部分多杂，互相牵制，要求有更多的控制点来满足不同元素的放样。控制网的精度要求要根

据建筑物的特点来确定，一般要以控制网点的误差对施工放样的误差（设计尺寸的容许偏差）不产生显著性影响为原则，对于大型的工程例如桥梁、水利大坝等其放样精度本身要求很高，这也就使得施工控制网的精度要高。

②使用频繁，自身经常性进行复测。施工放样是一个较慢的过程，并且随着施工推进行，对放样要求也不一样，所以不可能一次将所有的元素完全放样，需要多次使用。由于施工周期较长，受周围环境变化影响，控制点间均可能发生不均衡变形，为保证施工安全，常定期对控制网本身进行复测，掌握其变形规律，并在放样中加入改正。

③受施工影响大，特别是在通视方面。现代施工工艺先进，常常是交叉作业，各种设备林立，特别是一些建筑元素完成后，造成了原通视良好的控制点间不再通视。对整个控制网产生不利影响。另外，在工程建设过程中，要有大量土石方的开挖、填堆，布设各种管道，建设不同隧道，改变施工区的地质、地貌，大量的重型运输设备的运转，势必对控制网产生影响，发生变形，改变原有的关系。

更重要的一方面是，施工控制网在选择投影面方面是有特殊要求的，现行多种施工测量规范中均有规定，要以“投影长度变形值不大于2.5cm/km为原则”。因为施工放样需要应用的是控制点间的实际长度。所以施工控制网的边长一般不需要投影到平均海平面上，而是将边长改化至某一特定的高程面上，以保证控制点的边长值为点间的实际长度。在抑制控制网边长变形方面已有很多方法，比如：选择抵偿高程面，任意投影带，不进行高斯投影的独立坐标系等方法。本文的重点就是讨论挂靠在国家坐标系下的不进行边长高斯投影的独立坐标系下施工控制网建立的方法。文中所提独立坐标系是指投影面为建设工程所处地平均高程面或某一定线要求最高的轴线的高程面的坐标系，是挂靠在国家坐标系下，与勘测阶段坐标系保持一致的平面坐标系统，而对于高程控制系统则不涉及。

1．2高斯投影长度变形规律

众所周知，高斯投影计算的过程是将地面观测值（基线）首先化算到设定的参考椭球面上，然后再将参考椭球面的值投影到高斯平面上，从而求得高斯平面坐标。在这一过程中，保持着三个特性：

①中央子午线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的对称轴；

②投影为正形投影，即保持角度不变；

③中央子午线上的长度比m 0=F（B ）。

从上述可以看出，长度变形主要在两个环节中产生：

①实际测量边长值归算到参考椭球面的归化变形Δs ；

②参考椭球面上边长值通过高斯投影至高斯平面而产生的ΔS 。

下面就这两变形值进行简单的述叙：

2.2.1实际测量边长值归算到参考椭球面的归化变形Δs

假如基线两端已经过垂线偏差改正，则基线平均水准面平行于椭球体面。此时由于水准面离开椭球面一定距离，引起长度归算的改正，这就是实际测量边长值归算到参考椭球面的归化变形Δs 。

如图所示，AB 为平均高程水准面上基线长度，以S 0表示，现要求其在椭球面上的长度S ，由图可知

S 0R +H m H ==1+m （1—1） S R R

由此可得椭球面上的长度

⎛H ⎫S =S 0 1+m ⎪ （1—2） R ⎭⎝

1(H 1+H 2)即基线端点平均大地高程； H =式中m 2

R 为基线方向法截线曲率半径。

如果将上式按级数展开，取至二次项，则有

2⎛H m H m ⎫ S =S 0 1-+2⎪⎪ （1—3） R R ⎝⎭-1

此式为上式的近似式，由此式可得出由一定大地高程地面向参考椭球面归化引起的基线归化改正数公式：

∆s H 2H m H m =-S 0+S 02 （1—4） R R

从上式可以看出，此项改正数主要是与基线的平均高程Hm 及长度有关，并且上式右端的第二项一般均很小，在计算时均可不予以考虑。也就是用如下公式替代：

∆s H =-S 0

归算边长的相对变形如下： H m （1—5） R

H ∆s H =-m （1—6） S 0R

依照上面两式，R 取一概略值为6370km ，分别计算每公里长度归化投影变形和不同高程面上的相对变形，见下 表1—1： H m /m

Δs/mm 10 -1.6 20 -3.1 30 -4.7 40 -6.3 50 -7.8 70 -11.0 100 -15.7 160 -25.1 1000 -157 3000 -472 Δs/S0 1/91000 1/63700 1/39000 1/6370 1/2120

从上可见，Δs 值是一个负值，表明将地面观测值归算到参考椭球面上，总是缩短的；并且与H m 成正比，随着H m 增大而绝对值更大。

2.2.2参考椭球面上边长值通过高斯投影至高斯平面而产生的距离改正ΔS

(1)长度比与长度变形简述

由正形投影内容可知，椭球面上某一点的一个微分元素dS ，其投影面上的相应微分元素ds 之比称为该点的长度比m 。即：

m =d s （1—7） d S

由于长度变形恒大于1，故称（m-1）为长度变形。显而易见，距离改正与长度变形有关，我们就可以用长度比和长度变形来描述参考椭球面上边长值通过高斯投影至高斯平面而产生的距离改正ΔS 。在正形投影中，某点的长度比仅同该点的位置有关，而与方向无关。所以，我们可以将长度比m 表示为大地坐标位置（B ，L ）和平面坐标位置（x,y ）的函数。这里，我们只考虑平面坐标表示方法。

我们知道长度比用点的平面坐标（x,y ）来表示时，其公式如下：

y 2y 4

（1—8） m =1++2R 224R 4

式中y 为点的平面坐标系中的Y 坐标，而R 表示按大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径。下表给出了不同y 值和纬度相应长度比 （表1—2）

从上式和计算表格可以看出，我们可以进行一步分析高斯投影及长度变形的规律： ①长度比m 只与点的位置（x,y ）有关，即m 只是点位坐标的函数，只是随点的位置不同而变化，但是在同一点上与方向无关。这是正形投影的一般条件；

②当y=0时，亦即人纵坐标轴上，各点的长度比m 都等于1，也就是说，中央子午线投影后长度保持不变。这也是正形投影的另一一般要求；

③当y ≠0时，不管y 为正为负，亦即不管该点在纵坐标轴之东还是之西，由于m 是y 的偶函数，故m 恒大于1。这就是说，不在中央子午线上的点，投影后都变长了。

④长度变形（m-1）与y 2成比例地增长，对于在椭球上等长的子午线来说，离开中央子午线愈远的那条，其长度变形愈大，而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形。

（2）距离改正计算公式

将椭球面上大地线长度S 描写在高斯投影面上，变为平面长度D 。由（1—8）式可知，大地线上各微分弧段的长度比是不同的。但是对于工程测量中的一条边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是非常微小的，可以说是一个常数，因而可用

（1—7）式有：

2y m D （1—9） =1+2S 2R m D ds 来代替。因此由S dS

R 为边长所在地的平均曲率半径，故距离改化公式为：

2⎛y m D = 1+2R 2

m ⎝⎫⎪⎪S （1—10）

⎭

y 1+y 2。根据级数展开规律，2式中y m 取大地线投影后始末两点横坐标平均值，即y m =

可以得到更精密的距离改化公式：

D y 2y 4

（1—11） =1++24S 2R 24R

或者表达如下等价形式：

⎛y 2y 4⎫D = 1+2R 2+24R 4⎪⎪∙S （1—12） ⎝⎭

从这里可以看出，椭球面上边长向高斯投影面上投影时其改正数为：

⎛y 2y 4⎫∆S = 2R 2+24R 4⎪⎪∙S （1—13） ⎝⎭

综合上面叙述，我们可以得出一个结论：为了得到方便工程建设使用的高斯平面坐标，在野外观测的边长在经过三差改正等措施后，要归化到参考椭球面上，其边长就会变短，其改正大小为：Δs ，然后要把椭球面上边长按高斯投影的规则进行投影计算，这时边长会变长。其改正大小为：ΔS 。这两种变形符号相反，可以相互抵消一部分，但在边长中仍有一个变形改正（为了叙述方便，我们可简称这种组合变形为投影变形），这对于高精度的施工是不利的，也是现代建筑不允许的。为此，人们常常采用各种不同的办法来抑制投影变形，以达到工程建设施工放样精度。

2.3 工程建设对施工控制网边长变形的一般要求

工程测量控制网不但应作为测绘大比例尺地形图的控制基础，还要作为城市建设和各种工程建设施工放样测设数据的依据。为了便于施工放样工作的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量测值要在长度上相一致，这就是说由前面所叙述的边长改化与高斯投影过程中的归化投影两项改正而带来的长度变形不得大于施工放样的精度要求。一般说来，施工放样的方格网和建筑物的轴线的测量精度为1：5000—1：20000。因此，由投影归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的1/2 ，我们要考虑精度余地，即要求边长相对误差为1/40000，也就是说，每公里的长度变形不应大于2.5cm 。这也是现行的各种施工规范对施工控制网的边长投影变形的要求。

从（1—13）式中可以看出，椭球面向高斯面边长改正ΔS 主要与边长两端点的y 坐标的平均值y m 有关，根据公式可以计算出y m 为10—150km 时，高斯投影距离改正的相对值，见下表： 表1—3 y m （km ）

ΔS/S 10 1/810000 20 1/200000 30 1/90000 40 1/40000 50 1/32000 100 1/8100 150 1/3600 从表1—1、表1—3中可以看出，但测边高程大于160m 或是y m 大于50km 时，其均不能满足规范要求，这时就要根据边长变形的规律，以实际情况建立各自的坐标系。

2．4建立施工控制网常用坐标系

在现代常规施工控制网的建立中，根据“控制点误差所引起的放样点位的误差，相对于施工放样的误差来说，小到可以忽略不计”的原则，确定了施工控制网的精度后，常常布设为三角网、三边网的边角网。考虑到工程的特点与地形状况，网中利用高精度的电磁波测距

仪进行起始边长测量，常用的有ME3000或ME5000和LeicaTC2002等。

在工程建设中，由于工程的地理环境、工程规模、施工精度等因素的不同，对施工控制网有着不同的要求，在处理长度变形有着不同的要求和方法。目前，工程中常用的方法有：

⑷ 抵偿高程面

由测量学知识可知，高斯投影是角度不变的投影，其边长除中央子午线保持不变外，其余的均发生变化，其变化值由真实长度向国家统一的椭球上转换引起的变形Δs 和椭球面上长度投影至高斯平面引起的变形ΔS 这两部分组成，这两部分变形能在一定程度上互相抵消。又Δs 、ΔS 的大小由边长所在平均高程面相对于椭球面高差和边长所处位置的平均曲率半径所决定，因此可选择合适的曲率半径，让两变形值绝对值相等，从而使得高斯面上长度与实地长度一致。这个适当半径的椭球面一般称为“抵偿高程面”。在确定好抵偿面后，选择网中心部位的一个控制点作为相应坐标系的原点，将控制网中其它控制点的在国家坐标系的坐标换算到抵偿面相对应坐标系中，达到限制变形的目的。

这种坐标系中，仍是采用国家3°带高斯投影，但投影的高程面不再是参考椭球面了，而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面了。在这个参考高程面上，长度变形为零。

下面给出抵偿高程面的计算方法：

假设工程建设地的中心位置的坐标为（x 0,y 0），平均曲率半径为R ，平均大地高为H m ，抵偿高程为H ，测距边长为S ，则边长变形的综合为Δs+ΔS ，现要求其为0，即如下：

2⎛y m H m ⎫⎪∆s +∆S =S +=0 （1—14） 2R 2⎪R ⎭⎝m

这里，S 、 R 、y m 是一定的，要使上式成立，就得求出一个H ，使得下式成立：

2⎛y m H ⎫ 2R 2+R ⎪⎪=0 （1—15）

⎝m ⎭

从而可得：

2y m （1—16） H =2R

这样，在这个H 高程面上计算的边长在高斯平面坐标系中坐标反算边长与实地边长值就相一致了。例如：某测区平均高为H m =2000m，最边缘距中央子午线y m =100km，取平均曲率半径为R=6370000m。当S=1000m时，则有

∆s =-H m ∙S =-0. 313m R

21⎛y m ∆S = 22 ⎝R m ⎫⎪⎪∙S =0. 123m ⎭

∆s +∆S =-0. 190m

从以上计算可以看出，边长投影变形已超出允许限差，这时不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，使（1—15）式成立。依据（1—16）式计算得到这个参考高程面的高程为：

2y m H =≈780m 2R

这就是说明，当地面实测距离归算至780m 面时，两项改正在中心位置处能得到完全补偿。可以验算如下：

∆s =-H 780∙S =-⨯1000=-0. 122m R 6370000

⎫1⎛1002⎫⎪ 63702⎪⎪⨯1000=0. 123m ⎪∙S =2

⎝⎭⎭

∆s +∆S =0. 001m 21⎛y m ∆S = 22 ⎝R m

即投影变形约为0。

从以上推导可以看出，高程抵偿面上坐标与真正高斯坐标是一个简单的缩放比例关系。但是GPS 测量的计算均是在WGS —84椭球上进行的，在工程测量中使用的静态相对定位模式中，其观测值处理一般是利用仪器供应商提供随机基线解算软件包，其计算结果——基线向量已经归化到了WGS —84参考椭球面上了，其值为基线向量在WGS —84椭球的空间直角坐标系下的三维坐标分量，如再利用这一种方法，显然是不可行的。

⑸ 择任意投影带

同样，测区到投影带中央子午线的距离（y m ）也决定着ΔS 的大小。如保持国家统一的椭球面作投影面不变，选择不同的中央子午线位置进行高斯投影，让两变形值绝对值相等。这样将各控制点的坐标重新进行计算。这实际上是一个换带计算的过程。这种方法适合在高程变化不大的测区。

在这种坐标系中，仍把地面观测结果归算至参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家3°带的划分，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午

线。这就是说，在式（1—15）中保持H m 不变，于是可求得：

y =2R m H m （1—16）

这样选择通过y 值的子午线作为投影中央子午线，就可以达到抑制变形的目的。

例如，某测区相对参考椭球面的高程为H=500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依据式（1—16）计算得：

y =2R m H m =2⨯6370⨯0. 5=80km

即选择与测区相距80km 处的子午线为高斯投影的中央子午线。此时ym=80km，两项改正得到完全补偿，事实上

∆s =-H 500∙S =-⨯1000=-0. 078m R 6370000

⎫1⎛802⎫⎪ 63702⎪⎪⨯1000=0. 078m ⎪∙S =2

⎝⎭⎭

∆s +∆S =0. 000m 21⎛y m ∆S = 22 ⎝R m

从叙述中，可以看出，这种称抑制投影变形方法是一个换带的过程。但是这样坐标系与国家基础资料就不统一了，特别是和工程设施的勘测、设计阶段的资料不一致，这样在施工期间，要将设计资料进行变换，甚至要重新进行资料采集，这是一个繁杂的过程，所以一般在工程建设中不使用这一种方法。（列出公式与不利因素）

⑹ 联测国家坐标系坐标，建立边长不进行高斯投影的独立坐标系。

这种方法是水利工程建设中最常用的方法之一，也是本次课题探讨的难点。

在控制面积小于100km 2时，在建立联测国家坐标系且不对边长进行投影改正的独立坐标系时，实际上是对把工程所在地一定区域内的地面近似看作一个平面，将这个平面上的观测值归算到工程重要的建筑物所在的高程面上，以测区内某一点为起算点，某一边为起始方位角，按平面直角坐标系的特性直接进行平差计算，保证重要建筑物的变形最小。

在水利枢纽工程建设中，往往采用这一种方法，这样建立的控制网较好地和国家坐标系相联系，又保证了施工的精度。这是因为水利工程从论证、勘察、规划、设计、建设到营运管理的周期长，要经历十几年甚至几十年，各种地理空间基础资料均是在国家坐标系下进行的，在工程的前期，工程的规模与位置均未能确定，不可能用大量资源进行满足施工高精度的控制网建设，只是布设满足勘测阶段的控制网，测量大量的基础地形图，进而完成工程选址，确定工程的规模和设计出初步图纸等等。当工程运行到施工阶段，通过这种方法建立一

高精度的施工控制网，可以保证建设物的施工安全，又能监测工程运行安全。在黄河小浪底水利枢纽工程、万家寨水利枢纽工程建设中，就是采用的这种方法来建立的首级施工控制网。而2005年1月刚刚完成的南水北调中线工程首级施工控制网也是采用的这种方法，接合GPS 技术高效率、高精度地建立的。

通过这种方法建立的施工控制网有如下特点：

⑤控制点间坐标反算距离与实地测量值相一致，不大于规范限差，在重要建筑物上其两者相等。保证施工的方便与施工的安全。

⑥所有方向值与地面方向值相同，保持正形投影特点。

⑦适用面积小于75km 2的区域。

⑧将这个区域视为一个平面，满足欧氏几何的特性，各种定理在这空间适用。

2．5建立控制网的常用技术

2．5．1 常规方法

在以往三角测量中，是将地面观测值转换到参考椭球面上，再根据高斯分带投影的方法计算得到工程使用的平面直角坐标。在建立联测国家坐标系且边长不进行高斯投影的独立坐标系时，其处理方法是非常清楚的，也就是不再进行观测值的向投影面和高斯面的改化，直接利用平均高程面上边长值进行平差。联测的国家坐标系，根据某一起算点坐标与某一起算方位角，以观测的平面边长和水平角即可进行坐标推算，求出各控制点的工程所需坐标。其使用的仪器均是高精度的电磁波测距仪、电子经纬仪、测量机器人等高精密仪器，例如： 公司的DI5000测距仪， 公司的TC2002、TC2003A 均是使用较普遍的，这类仪器的最大特点是价格昂贵，适用面小。基于这种测量仪器建立施工控制网时，存在如下几个缺陷：

⑥仪器设备价格昂贵，一次性投资大；

⑦仪器高精密，个大体沉，使用范围受限，不能灵活用于其它的低等级控制测量中； ⑧作业中涉及环节、人员多，对操作人员技术要求高且要全面，要求有丰富的经验； ⑨生产作业受天气、施工等因素影响大，方式不灵活；

⑩作业周期长，灵敏度不同，效益低，特别是在控制网的复测与监测中表现尢为突出。 这些不足在现代工程建设的大环境中将日益突出，特别是和现代工程论证时间长而实施建设时间短的经济快速增长的时代不合拍。

2．5．2 使用GPS 技术

现代GPS 定位技术的快速发展，应用领域正在不断开拓，目前已遍及国民经济各个部门。这种测量技术具有显著的特点：

⑴定位精度高。应用实践已经证明，GPS 相对定位精度在50km 以内可达10-6。

⑵观测时间短。随着GPS 技术的不断发展，系统不断完善，各种处理软件的成熟，相对定位时间已越来越短，20km 内的静态测量时间仅需15—20分钟。

⑶测站间不要求通视。这是GPS 技术有别其它常规测量技术最显著的特点，可以节约大量成本，其作业灵活，作业效率大提高。

⑷操作简单。随着GPS 接收机的不断改进，自动化程度也越来越高，现在多数类型的接收机已经是“傻瓜化”了，并且质量越来越轻，体积越来越小，降低了对生产人员的技术水平要求，也减轻了作业者的劳动强度。

⑸全天候作业。一般不受天气因素影响，可以说是能24小时内进行作业。

另外，随着GPS 产业化的过程加快和GPS 用户的普及（其它系统在短时间内还不可能代替GPS 系统），以及科技的进步，现在接收机设备已经越来越便宜。国内市场上已有出现许多种国外品牌，国内的品牌也是雨后春笋，推出了各种精度和适用各种用途的GPS 接收机。其在工程测量、大地测量、海洋测量方面得到了广泛的应用，特别是水利工程的勘测、规划、施工建设、安全监测环节以及河道流域基础资料的测绘工作中，日益发挥着重要作用。例如：黄河下游干流河道1：1万地形图测绘项目中，生产单位就使用了GPS 技术进行航测外业控制测量，极大地提高了成图速度，缩短的成图周期，创造了很好的社会、经济效率。另外，治黄单位利用GPS 技术，在一年半时间内，建立了黄河流域干流河道GPS 控制网，其C 级网平均边长在20公里，如利用常规仪器实施，根本不能完成的。

在施工测量方面，由于GPS 技术的优点，也越来越受到重视，在很多大型项目控制网建设中得了应用，例如前面提到的南水北调中线施工控制网布设中就是利用GPS 技术建立的；鄄城黄河公路大桥施工控制网同样是采用这种方法施测的。

然面，现在GPS 在独立坐标系进行作业的计算是受限的。GPS 测量是在WGS84坐标系进行的，基准站与流动站的接收机接收GPS 卫星发送伪距、相位观测值，再利用相应的基线计算软件进行粗加工，预处理和基线解算，从而获得两接收机间达到毫米级的基线向量（δx 、δy 、δz ）观测值，观测值本身有方向和尺度基准。根据基线向量，可以计算出基线向量在三维空间中和方向和边长。因此，在使用GPS 技术建立这样的独立坐标系时，需将WGS84系下的GPS 基线通过一定规律，将其空间边长转化为二维的有向平面边长，并换算到工程所在地区的地面边长，再按间接平差理论进行平差处理，以获得工程建设所需的坐标和评定测量所达到的精度。而目前，能实现这样功能的软件包很少，GPS 随机软件、国内使用较多原武汉测绘科技大学研制的PowerADJ 和同济大学研制的TGPPSW 均不能实

现这个功能。解决这些问题就是以后几章要讨论的内容，主要是从长度转换、方向转换及相应的误差转播等这几个方面进行讨论。

第四章 利用GPS 基线边长按测边网平差的转换

GPS 相对静态定位所获得的是两测站在空间直角坐标系下的空间向量，而在施工时使用是平面直角坐标，使用的是地面边长。这样要求了解GPS 基线与地面平面长度的关系，将GPS 基线边长换算到指定高程面上平面距离，并确定其转换后的边长误差，利用转换后的边长作为观测值按测边网进行平差。最后分析这种方法的优缺点。

4．1常用GPS 应用软件基线文件的组成

现在GPS 接收机的种类很多，生产的厂商也很多，其静态相对定位测量的处理都是利用其随机软件进行处理的，可以得到两测站间距离的在WGS —84空间直角坐标系下的各坐标轴上的投影分量，以及各坐标分量的协方差阵及基线长的误差值，还包括基线解算时各种设置参数信息等等，可以根据要求输出特定的格式。例如： 公司的SKI Pro V2.0版本的基线解算结果ASCII 输出格式如下：

@%Unit : m

@%Coordinate type: Cartesian

@%Reference ellipsoid: WGS 1984

@#301 -2703200.7813 4678971.0179 3376976.8039 12 @& 0.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

@#302 -2700177.6420 4681527.9056 3375839.5716 12 @& 0.0019 0.023708 -0.020254 -0.023956 0.035791 0.024483 0.037192 @+301 -2703200.7813 4678971.0179 3376976.8039

@-302 3023.1405 2556.8853 -1137.2330

@= 0.0019 0.005427 -0.004903 -0.004645 0.009743 0.006184 0.008225 @+301 -2703200.7813 4678971.0179 3376976.8039

@-303 2238.0952 -1062.4696 3192.8055

@= 0.0031 0.015087 -0.015073 -0.016047 0.027882 0.023573 0.032011 @+312 -2703427.3186 4676491.0826 3380163.5277

@-303 2464.6312 1417.4630 6.0925

@= 0.0031 0.015087 -0.015073 -0.016047 0.027882 0.023573 0.032011

这里输出格式是可以改变的。在这文件中，记录着两测站的点号，整周模糊度的求解情况，两测站在WGS —84坐标系里的坐标分量及相应的协方差项，参考站、流动站等信息。很显然，前三行分别指出了使用单位、坐标类型、参考椭球，而接下来是参考站的坐标和两测站间的坐标分量及协方差项。

又如：Trimble 公司TGO1.6 GPS处理软件包基线处理的格式可以如下：

[General]

ProjName=sytgo_two

ProjCoordinateSystem=缺省

ProjCoordinateZone=缺省

ProjGeoidModel=没有选择

GPSVectors=MarkToMark

CoordinateUnits=Meters

ElevationHeightUnits=Meters

DistanceUnits=Meters

AngularUnits=Degrees

天线高度=Raw

PressureUnits=?

TemperatureUnits=?

MissingValue=?

Separator=:

[Stations]

Station=0:?:2001:41.016308398N:82.796194344E:903.7730:1557.437:204.355:903.7730:0:0:0: Station=0:?:2002:41.009365349N:82.799375282E:905.8206:786.395:471.967:905.8206:0:0:0:

[Keyed In Coordinates]

LLCoord=1:?:2001:41.016308397N:82.796194344E:903.773:?:C:C:U:E:W

[Observed Coordinates]

ObsCoord=1:?:2003:41.006188703N:82.798138259E:907.505:U:-1:13 07 2004:08 01 32.000:13 07 2004:12 05 47.000:86:.188:E

ObsCoord=1:?:2004:41.002284290N:82.793764858E:906.719:U:-1:13 07 2004:08 15 17.000:13 07 2004:12 28 32.000:85:.184:E

[GPS]

Vector=1:?:2001:2002:-201.8640:537.1508:-580.5479:.00000002:.00000007:.00000006:.00000066:.00000057:.00000054:1.554:.197:Postprocessed:3.9:.004:1.181:13 07 2004:08 14 17.000:13 07 2004:12 00 02.000:E:Static or fast static:Static or fast static:Fixed:L1

04:12 37 17.000:13 07 2004:04 41 47.000:E:Static or fast static:Static or fast static:Fixed:L1

Vector=1:?:2003:2006:740.6767:-62.9319:-35.8602:.00000007:.00000017:.00000014:.00000300:.00000220:.00000175:.188:.184:Postprocessed:5.9:.007:3.919:13 07 2004:12 31 02.000:13 07 2004:04 36 17.000:E:Static or fast static:Static or fast static:Fixed:L1

Vector=1:?:2005:2006:75.3384:-656.3445:737.8890:.00000009:.00000021:.00000017:.00000391:.00000285:.00000227:.184:.184:Postprocessed:6.3:.008:5.095:13 07 2004:12 37 17.000:13 07 2004:04 36 17.000:E:Static or fast static:Static or fast static:Fixed:L1

它和SKI Pro输出有些不一样，比SKI 的输出要丰富一些，但其基本精神一致，也包括了点号及各点的坐标，基线各坐标轴上的分量及边长、协方差阵和单位权中误差，解算的类型与模糊度计算情况。[General]叙述了解算项目的名称、坐标系统、使用度量单位等一些基本信息。[Stations]是计算基线时参考站坐标，[Observed Coordinates]测站所测时段单点定位坐标，

[GPS]部分则是两测站基线向量的分量与相应的协方差项，是基线向量文件的主要内容。我们在平差计算时，常常要使用的是[Observed Coordinates]、 [GPS]这两部分，而其它的则不

是我们所关心的。

在这两个基线文件中，可以清楚地看到不同处理软件的输出基线格式是不一致的，特别是协方差阵与单位权中误差的表达是相差很大的。如在利用不同的基线格式共同平差，则应分析它们协方差项间的关系，从而进行合理进行定权，准确地表达出基线的精度。

4.2 GPS基线长度的转换

前面所述，GPS 静态相对定位测量，经过基线处理，确定了整周模糊度和各种模型改正后就可以两测站间的达到毫米级空间边长，如图所示：

A 、B 是两进行静态相对定位测量的GPS 测站，S 是两测站点的观测空间长度，D 是在两点间的平距，而D 则是基线归算到指定高程面上的边长，相对应的是H a 、H b 分别为两点的大地高，N 是高程异常，Ra 是平均曲率半径。

S ab 是两测站之间的地面边长，要能在指定

的高程面内进行计算，需要将这边长进行倾斜

改正和高程归算。

（1）倾斜改正

如图所示，由于A 、B 两测站高差相对于边长而言

是很小量，我们可以认为D 0是垂直于BO 的， 由几何

学中勾股定理可知平距D 0为：

D 0=S 2-∆H 2 （4—1）

式中ΔH 表A 、B 两点的大地高差。

（2）向指定高程面上归算

由于测量及其计算是在WGS —84坐标系下进行了，通常情况下，在测区内是无法精确获得WGS —84坐标系的坐标而采用测量时单点定位所获取的坐标，也就不可能准确地求出在这地区的高程异常，但是通过在WGS —84坐标系下进行无约束平差可以统一基准的大地高，其精度是相匹配一致的。而在工程建设中，使用的高程基准均为正常高，在我国现执行的高程基准为1985国家高程基准。在工程建设中，通常是要布设高程控制网，且平面控制网经常是与其有重合或者是平面控制点中全部或部分点要联测高程。这样可以利用这些既有大地高和正常高的控制点，可近似地计算出工程建设所在地的高程异常。在一个小区域内，可认为高程异常的变化是很小的，这样可概略地推算出控制网中的每个点的正常高和与指定高程面的差距。如图所示：

假设A 、B 为一个控制网中的两控制点，

利用高程控制测量已知A 点的正常高为h a ，

通过无约束平差后求得其大地高分别为：H a 、H b ，

则高程异常ξ及B 点的正常高h b 可由下式求出：

ζa =H a -h a （4—2）

ζb =H b -h b （4—3）

又因为在工程建设的小区域内，高程异常变化较小，可以认为：ζa ≈ζb

h b =H b -ζb （4—4）

h b =H b -ζb =H b -ζa =H b -H a +h a （4—5）

这样求出了测区内每个控制点的正常高，就可以求出边长所在平均高程面的边长向所指定高程面计算公式。如图所示：

h p 为指定的投影高程面，是以正常高表示，

Hm 为基线两端点A 、B 平均大地高，R 为地球

曲率半径，ξ为该地区的高程异常值，D 0为平

面高程面上基线长，D p 为指定高程面上的基线长。

过B 点作AO 的平行线，根据相似三角形的性质，

可知长度变Δs 计算如下： ∆s =h p -(H m -ζ)

R +H m ⨯D 0 （4—6）

D p =D 0+∆s （4—7）

到这里，我们已完成了将GPS 静态测量相对定位所得基线向量长度归算到了工程建设指定的高程面的边长，对此边长值作为观测量，按照间接平差的理论知识，按测边网进行平差计算，得到在工程建设所需的坐标系下的坐标，并评定其精度，

在以上的计算中，均包含有高程异常，且高程异常值是不能精确求得，现在讨论高程异常对边长改算有多大影响。假定对基线边长归算精度为每公里1mm （1ppm ），推算出高程异常的变化范围。设A 、B 两点的高程异常值的差值为δξ，取R 为6378140m ，大地高相对于地球半径可以不计。由式（4—6）可知：

∆s =h p -(H m -ζ)

R （4—8）

∆s 1-∆s 2

h p -H a +ζa

R -1000h p -H a +ζa +δζ

R

1000∆ζ

∆ζ

也就是说，当测区内的高程异常的变化小于6.3m 时，对用于基线边长的归化计算其改正数优于每公里数1mm （1pmm ），而根据测量知识可得，（似）大地水准面是一个连续的光滑的、在局部地区不突变，故这种利用大地高和近似的高程异常来计算投影改正是能满足测量精度要求的。

（3）边长的误差传递

从前面二节的叙述中可以得出：GPS 基线向量可根据三维坐标差求出，再向指定高程面上投影归算，将归算值作为观测值按测边进行平差计算，这就要求出归算后的边长与GPS 基线边长的精度关系，也就是要推算归算后的边长误差。

对式（4—1）进行线性化得：

∂D =S 0

S -∆H 2

02∙∂S （4—13）

上式中ΔH 是一个微小量，可以忽略不计，则上式可写为：

∂D =S 0

S 2

0∙∂S =∂S （4—14）

由协方差传播律可知，由空间边长转化为两测站平均高程面上的平距时，精度损失非常小，可以认为是均精度传递的。

同样，平均高程面上边长投影到指定高程面时计算公式可表示为：

D p =D 0⨯(1+Ks ) （4— ）

根据协方差传播律可知：

D D p =(1+Ks ) 2D D 0 （4— ）

Ks 为改正系数项，且其值是一个微小量，在误差传递中可以忽略不计。所以由平均边长到指定高程面的边长是均精度转换的。这表明转换后用于平差的观测值与GPS 基线文件中提供的边长精度是一样的。

有了观测值和观测值的误差，就可以利用间接平差的理论按测边网进行平差了。由于间接平差已是大家熟悉的，这里不作过多介绍，只简述一下边误差方程的列立。

4．3边长误差方程式的列立（抄《测量平差基础》）

4．4本章总结分析

总结前面几节内容，将GPS 基线向量网转换成测边处理可分成如下几步：

（1）利用GPS 基线向量分量求解出基线的空间边长；

（2）利用无约束平差方法让整个网中各控制点精度统一，特别是其大地高有一个统一的基准，以便在无正常高资料时推算各个控制点的近似正常高，与工程中采用的高程系统建立联系；

（3）利用网中有正常高的控制点求解出与大地高的差值（也就是高程异常），将这个值认为在测区内是一个恒量，从而推算出其余的无正常高资料的控制点的正常高，这对于解决山区工程时，可以减小高程控制工作量，提高建网的效率；

（4）利用大地高差将空间弦长S 改算到基线平均高程面上的平距D 0，并向指定高程面上作投影变换，求解出各基线的该高程面上的长度D P 。

（5）利用D P 作为观测值按间接平差的原理进行平差计算，求解各点的坐标。

从上面可以看出，这种处理过程具有方法简单的特点，但是存在着一个缺陷，那就是作为平差使用的观测量虽然在长度上保持了GPS 基线的测量精度，但是没有使用GPS 测量的方位信息，没有真正完全利用GPS 测量全部观测信息，从而降低了GPS 用于工程控制网测量的精度与可靠性。如何利用GPS 基线向量的方位信息，就是下一章讨论的主要内容。并且存在两边交会时有二义性的问题，当然这可以通过坐标初始值来

第五章 空间基线向量方位信息的利用

在上一章里，我们分析了将GPS 基线向量转换成测边网进行平差的过程及其优劣，指出了其没有利用GPS 基线向量的方位信息，从而损失了GPS 测量的精度。在这一章里，我们将分析如何将基线的空间方位信息转换为平面方位观测值，从而实现GPS 基线向量的向工程坐标系的转换，与上一章所述的由基线向量观测值转化而得的边长观测值共同组成边角网，按间接平差的方法进行平差处理。

5．1大地方位角的计算

（1）高斯平均引数公式概述

从控制测量学中，我们知道，利用两控制点的大地经纬度，可以计算出这两点间大地方位角与大地线长，这个过程被称着大地主题反解。

大地主题解根据解类型可分为直接解法和间接解法，在生产中一般都采用间接解法中的经典公式—高斯平均引数公式。

高斯平均引数正算公式推导的基本思想是：首先把勒让德尔级数在P 点展开改在了大地线的长度中点M 点展开，以使级数公式中多项式减少项数，从而使收敛速度加快，精度提高；其次。考虑到求定中点M 的复杂性，将中点M 用大地线的两端点的平均纬度及方位角相对应的m 点来代替，并借助迭代计算，便可以顺利地实现大地主题解正解。