第22讲 复杂工程问题
第22讲 复杂工程问题
内容概述
本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题． 经典问题
1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?
【分析与解】 开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；
甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为 (3360+960)：(5040—960)=18：17；
设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x天完成任务． 有(2×4+4x)：(3×4+3x)=18：17，化简为216+54x=136+68x，解得x= 于是共有工程量为4⨯5+7⨯
40
=60, 7
40. 7
所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．
2. 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时? 【分析与解】
即甲工作2小时，相当与乙1小时． 所以，乙单独工作需9.8-5+5÷2=7.3小时．
3．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用
1
天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮2
1
流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需10．75天．问：甲、乙、丙一起做
3
这件工作，完成工作要用多少天?
【分析与解】 我们以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．
通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成；
但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天． 验证第一种可能不成立(详细过程略) 再看第二种可能：
即丙工作1天，甲只需要工作
1
2
天．代入第3种情况知：
即甲工作1天，乙需要工作
4
3
天． 因为甲单独做需10．75天，所以工作效率为
4
43
,于是乙工作效率为 443÷43=343,丙工作效率为443⨯122=43
. 于是，一个周期内他们完成的工程量为
443+343+243=9
43
. 则需⎡
97⎢⎣1÷9⎤43⎥⎦
=4个完整周期，剩下1-43⨯4=43的工程量；正好甲、乙各一天完成．
所以第二种可能是正确的．
于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量：443+343+243=9
43
. 需要1÷
943=439=47
9
天． 而甲、乙、丙合作一天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量．
7
于是，甲、乙、丙合作这件工程需4天．
9
4．如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满?
【分析与解】 方法一：设打开一个出水孔时，灌满出水孔以上的部分需要时间为x，则不打开出水孔和打开两个出水孔灌满水孔以上部分所需时间为x-5. 有工作效率之间的关系：
22x+2211
=+,通分为=,化简为x2+1=x2+2x-35,解得x=35. xx-5x+7x(x-5)(x+7)
所以，不打开出水孔需x-5=30分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为60-30-30 分钟．
视水孔以上的水箱水量为单位“l”，有一个出水孔的工作效率为： 那么打开三个出水孔的工作效率为
112
-3⨯=. 30210105
2
=82.5分钟 105
111-=. 3035210
所以，打开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为30+1÷
方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管65-60=5分钟的进水量；在打开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管72-60=12分钟的进水量．而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多72-65=7分钟.
因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管12-5⨯2=2分钟的进水量 因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量．
那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水5⨯7=35分钟，也就是说，进水， 进水65-35=30分钟后，水面达到小孔高度．
1
因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要30+30÷(1-⨯3)=82.5分钟．
7