高一数学必修1各章知识点总结
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高一数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3. 集合的表示:{ „ } 如:{我校的篮球队员},{太平洋, 大西洋, 印度洋,
北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆ 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1) 列举法:{a,b,c„„} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合
的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系 1. “包含”关系—子集
注意:A ⊆B 有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合。
⊆⊇反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 记作A /B 或B /A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B, 且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B A)
③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合,含有2n 个子集,2n-1个真子集
B(或
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例题:
1. 下列四组对象,能构成集合的是 ( )
A 某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2. 集合{a,b ,c }的真子集共有 个
3. 若集合M={y|y=x2
-2x+1,x∈R},N={x|x≥0},则M 与N 的关系是 . 4. 设集合A={x
x
x x
A ⊆B ,则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有人,化学实验做得正确得有31人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
7. 已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2
-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ,A ∩C=Φ,求m 的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
40
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(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A) 中的x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点P (x,y) 的集合C ,叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象.C 上每一点的坐标(x,y) 均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x,y) ,均在C 上 . (2) 画法 A 、 描点法: B 、 图象变换法
常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间
(3)区间的数轴表示. 5.映射
一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f (对应关系):A (原象)→B (象)”
对于映射f :A →B 来说,则应满足:
(1)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。 6. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
二.函数的性质
1. 函数的单调性(局部性质) (1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当) ,那么就说f(x)在区间D 上是增函数. 区间D 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1
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>f(x2) ,那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 区间D 称为y=f(x)的单调
减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
2 作差f(x1) -f(x2) ; ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x1) -f(x2) 的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). ○
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○
2确定f(-x) 与f(x)的关系; ○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x) -f(x) = 0,则f(x)是○偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x) +f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式
(1). 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法
2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2 利用图象求函数的最大(小)值 ○
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3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题:
1. 求下列函数的定义域:
⑴y
=
⑵y =2. 设函数f (x ) 的定义域为[0,1],则函数f (x 2) 的定义域为_ _
3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2,3],则函数f (2x -1) 的定义域是 4. 函数
⎧x +2(x ≤-1) ⎪2 ,若f (x ) =3,则x f (x ) =⎨x (-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
2
=
5. 求下列函数的值域:
⑴y =x 2+2x -3 (x ∈R ) ⑵y
=x +2x -3 x ∈[1,2]
(3)y =x -
y 6. 已知函数
f (x -1) =x -4x ,求函数
2
=f (x ) ,f (2x +1) 的解析式
7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) +f (-x ) =3x +4,则f (x ) = 。 8. 设f (x ) 是R 上的奇函数,且当x ∈[0,+∞) 时,
f (x ) =x (1+
, 则当x ∈(-∞, 0) 时
f (x ) =
f (x ) 在R 上的解析式为 9. 求下列函数的单调区间: ⑴ y =x 2+2x +3 ⑵y =
⑶ y =x -6x -1
2
10. 判断函数y =-x 3+1的单调性并证明你的结论.
2
11. 设函数f (x ) =1+x 判断它的奇偶性并且求证:f (1) =-f (x ) .
2
1-x
x
第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
n
1.根式的概念:一般地,如果x =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,
*
且n ∈N .
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0=0。
当n 是奇数时,a
n n
=a ,当n 是偶数时,a
n n
(a ≥0) ⎧a
=|a |=⎨
-a (a
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
m
a
n
=
a (a >0, m , n ∈N , n >1)
m *
,
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a
-m n
=
1
m n
=
1
n
a
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
a
m
(a >0, m , n ∈N , n >1)
*
(1)a ·a =a (a >0, r , s ∈R ) ; (2)(a ) =a
r
r
s
r
s
rs
r r r +s
(a >0, r , s ∈R ) ;
(3)(ab ) =a a (a >0, r , s ∈R ) . (二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数y =a x (a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
x
(1)在[a,b]上,f (x ) =a (a >0且a ≠1) 值域是[f (a ), f (b )]或[f (b ), f (a )];
(2)若x ≠0,则f (x ) ≠1;f (x ) 取遍所有正数当且仅当x ∈R ; (3)对于指数函数f (x ) =a (a >0且a ≠1) ,总有f (1) =a ; 二、对数函数 (一)对数
x
1.对数的概念:一般地,如果a =N (a >0, a ≠1) ,那么数x 叫做以.a 为.底.N 的对数,记作:x =log
a x
N (a — 底数,N — 真数,log
a
N — 对
数式) 说明:○1 注意底数的限制a >0,且a ≠1; 2 a =N ⇔log a N =x ; ○
3 注意对数的书写格式. ○
x
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两个重要对数:
1 常用对数:以10为底的对数lg N ; ○
2 自然对数:以无理数e =2. 71828 为底的对数的对数ln N . ○
指数式与对数式的互化
幂值 真数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: 1 log a (M ·N ) =log a M +log a N ; ○
2 log ○3 log ○
M
a
N M
n
=log
a
M -log
a
a
N ;
a
=n log M (n ∈R ) .
注意:换底公式
log c b
log a b = (a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0).
log c a 利用换底公式推导下面的结论 (1)log
a
m
b =
n
n m
log
a
b ;(2)log
a
b =
1log
b
a
.
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数y =log
a
x (a >0,且a ≠1) 叫做对数函数,其
中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y =2log
2
x ,y =log
x
5
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5
2 对数函数对底数的限制:(a >0,且a ≠1) . ○
(三)幂函数
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1、幂函数定义:一般地,形如y =x α(a ∈R ) 的函数称为幂函数,其中α为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
α>0时,(2)幂函数的图象通过原点,并且在区间[0, +∞) 上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0
(3)α0,a
0,函数y=ax 与y=loga (-x)的图象只能是 ( )
2. 计算: ①
log log
264
-1
3
3
=②2
78
4+log
2
3
= ;25
1
13
log
5
27+2log
5
2
= ;
27
③0. 064
-(-) +[(-2) ]
03
-4
3
+16
-0. 75
+0. 012
=
3. 函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为
2
4. 若函数f (x ) =log a x (0
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数y =f (x )(x ∈D ) ,把使f (x ) =0成立的实数x 叫做函数y =f (x )(x ∈D ) 的零点。
2、函数零点的意义:函数y =f (x ) 的零点就是方程f (x ) =0实数根,亦即函数y =f (x ) 的图象与x 轴交点的横坐标。
即:方程f (x ) =0有实数根⇔函数y =f (x ) 的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x ) 有零点.
3、函数零点的求法:
1 (代数法)求方程f (x ) =0的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f (x ) 的○
图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
1+x
a
1-x
(a >0且a ≠1) ,(1)求f (x ) 的定义域(2)求使f (x ) >0
的x 的取值范围
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4、二次函数的零点:
二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) .
(1)△>0,方程ax 2+bx +c =0有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程ax 2+bx +c =0有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程ax 2+bx +c =0无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 5. 函数的模型