2014年数学中考大题

【1】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x+mx+n经过点A （0，-2）、B （3，4）。 （1）求抛物线的表达式及对称轴；

（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A 、B 之间的部分为图象G （包含A 、B 两点）。若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围。

2

【2】在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE 、DE ，其中DE 交直线AP 于点F 。 （1）依题意补全图1；

（2）若∠PAB=20°，求∠ADF 的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB ＜90°，用等式表示线段AB 、FE 、FD 之间的数量关系，并证明。

【3】对某一个函数给出如下定义：若存在实数M ＞0，对于任意的函数值y ，都满足-M ＜y ≤M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值。例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1。

（1）分别判断函数y=

1

（x ＞0）和y=x+1（-4≤x ≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； x

（2）若函数y=-x+1（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围； （3）将函数y=x（-1≤x ≤m ，m ≥0）的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足

3

≤t ≤1？ 4

2

【4】如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH=2CH。 （1）求sinB 的值；

（2）如果CD=，求BE 的值。

【5】已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE=∠ABD 。

（1）求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：

DG DF =。

GB DB

22

【6】在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x +bx+c与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C

3

（0，-2）。

（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；

（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标； （3）点D 为该抛物线的顶点，设点P （t ，0），且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值。

【6】如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=

4

，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 5

与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G 。 （1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长； （2）联结AP ，当AP ∥CG 时，求弦EF 的长； （3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长。

【7】在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （-2，0），点B （0，2），点E 、点F 分别为OA 、OB 的中点。若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ’D ’F ’，记旋转角为α. （1）如图①，当α=90°，求AE ′、BF ′的长；

（2）如图②，当α=135°，求证AE ′=BF′，且AE ′⊥BF ′；

（3）若直线AE ′与直线BF ′相交于点P ，求点P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）。

【8】在平面直角坐标系中，O 为原点，直线l ：x=1，点A （2，0），点E 、点F 、点M 都在直线l 上，且点E 和点F 关于点M 对称，直线EA 与直线OF 交于点P 。 （1）若点M 的坐标为（1，-1）。

①当F 的坐标为（1，1）时，如图，求点P 的坐标；

②当F 的为直线l 上的动点，记为P （x ，y ），求y 关于x 的函数解析式；

（2）若点M(1，m) ，点F(1，t) ，其中t ≠0。过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，当OQ=PQ时，试用含t 的式子表示m 。

【9】如图，抛物线y=-x-2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点。

（1）求A 、B 、C 的坐标；

（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N 。若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ．过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）。若FG=2DQ ，求点F 的坐标。

2

【10】已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=AF 、BF 。

（1）求AE 和BE 的长；

（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）。当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值。

（3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程中，设A ′F ′所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q 。是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由。

20

，AE ⊥BD ，垂足是E 。点F 是点E 关于AB 的对称点，连接3

【11】如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE ，连接BD 、CE 交于点F 。

（1）求证：△ABD ≌△ACE ； （2）求∠ACE 的度数；

（3）求证：四边形ABEF 是菱形。

【12】如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 九个格点。抛物线l 的解

析式为y=（-1）x +bx+c（n 为整数）。

（1）n 为奇数，且l 经过点H （0，1）和C （2，1），求b 、c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点； （2）n 为偶数，且l 经过点A （1，0）和B （2，0），通过计算说明点F （0，2）和H （0，1）是否在该抛物线上；

（3）若l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数。

n 2

⌒所在⊙O 的半径为2，AB=2。点P 为优弧⌒上一点（点P 不与A 、【13】图1和图2中，优弧AB AB

B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A ′。

（1）点O 到弦AB 的距离是 ，当BP 经过点O 时，∠ABA ′= °； （2）当BA ′与⊙O 相切时，如图2，求折痕的长；

⌒只有一个公共点B ，设∠ABP=α，确定α的取值范围。 （3）若线段BA ′与优弧AB

【14】某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD ，如图1和图2。现有1号、2号两游览车分别从出口A 和景点C 同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分。

探究：设行驶时间为t 分。

（1）当0≤t ≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A 的路程y 1、y 2（米）与t （分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t 的值；

（2）t 为何值时，1号车第三次恰好经过景点C ？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数。 发现：如图2，游客甲在BC 上的一点K （不与点B 、C 重合）处候车，准备乘车到出口A ，设CK=x米。 情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；

情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车。

比较哪种情况用时较多？（含候车时间）

决策：己知游客乙在DA 上从D 向出口A 走去，步行的速度是50米/分。当行进到DA 上一点P （不与点D 、A 重合）时，刚好与2号车迎面相遇。

（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A 用时少，请你简要说明理由；

（2）设PA=s（0＜s ＜800）米。若他想尽快到达出口A ，根据s 的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？

【12】问题发现

如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE 。

填空：

①∠AEB 的度数为 ；

②线段AD 、BE 之间的数量关系为 。

（2）拓展探究

如图，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE 。请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由。

解决问题

如图，在正方形ABCD 中，CD=，若点P 满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离。

【13】如图，抛物线y=-x+bx+c与x 轴交于点A （-1，0）、B （5，0）两点，直线y=﹣23x+3与y 轴交于点C ，4

与x 轴交于点D 。点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E 。设点P 的横坐标为m 。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m 的值；

（3）若点E ′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P ，使点E ′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。