交通状态数学建模

成都机动车尾号限行的影响分析

摘 要

随着国民经济的高速发展和城市化进程的加快，我国机动车保有量及道路交通流量急剧增加，日益增长的交通需求与城市道路基础建设之间的矛盾已成为目前城市交通的主要矛盾，交通拥堵已经成为中国各大城市首要求解的顽疾。

继北京、广州等特大城市之后，西部省会城市成都于今年4月26日开始实施车牌号码尾号限行。为保障成都二环路改造工程的顺利施工，成都二环路全线及7条城区放射性主干道，对本地及外地社会车辆实施工作日分时段按车牌尾号进行限行，以缓解交通拥堵。

本篇论文通过研究道路交通拥挤的状况，来反映交通环境。即针对道路拥挤的问题进行数学建模分析，讨论“尾号限行”是否对交通状况起到积极的影响。

道路拥堵状况评价的指标有多种，为保证评价尽可能的客观、全面和科学，我们分析采用路段平均行程速度、单位里程平均延误和路段饱和度三个评价指标来综合放映道路拥堵情况。选取的片区为成都市塔子公园片区，包括蜀都大道东段和二环路东四段这两条限行道路，由于数据的不完整性以及对应事件的不确定性，如：交通指示灯作用，驾驶车辆的速度不均等情况所造成的数据和对应结果的不完全对应，综合考虑我们采取模糊数学模型来对问题一进行分析和求解，列出非常顺畅、顺畅、缓慢、拥堵和严重拥堵五个评判标准来综合评价。确定出其隶属度函数r (x )，通过已确定的模糊评价矩阵R 得出拥挤度系数B ，最终得出其实施后的各项指标。

对于问题二，要综合考虑整体城市的交通网络情况，此时的交通状态是一种不断变化的动态过程，具有很强的随机性和偶然性。而交通拥堵的潜伏、发展和产生与具有连贯性和相关性的特点, 交通阻塞的发生与它的过去和现状紧密相关, 因此, 有可能通过对交通状态的现状和历史进行综合分析。据此，我们采取贝叶斯网络来建立数学模型，贝叶斯网络是一种对概率关系的有向图解描述，可以从不完全、不确定或不精确的知识或信息中做出推理。我们确定变量集元素有车流量、占有率、车流速度、车流密度等四个，由于数据的限制我们的变量域将设置为一百天，从而得出贝叶斯网络结构。

对于问题三，问题提出了道路负载能力分析，由有关的技术资料可知，通行能力反映了道路所能承受的交通负荷能力。通行能力是指在一定的道路、交通、控制和环境条件下，对应于一定的行驶质量即服务水平，在某一道路断面上单位时间所能通过的最大车辆数。道路通行能力受到道路、交通等多种条件影响，而交通系统中驾驶员的驾驶行为以及整个交通流又都具有显著的随机特征。所以本文通过建立仿真数学模型，构造出基本路段的道路、交通特性等因素，模拟其中车流的运行状态及其随时空变化的过程。通过对仿真运行过程的观察、仿真结果的统计以及与采集的有关数据的对比分析，研究基本路段的通行能力。

关键字： 交通拥堵 尾号限行 模糊模型评价 贝叶斯网络预测 仿真模型

一、问题重述

城市交通问题是关系人民群众日常生活的重要问题。由于汽车工业的迅猛发展，城市交通的形势越来越严重。如何缓解交通，保持交通的基本顺畅，是交通管理部门需要着重研究的课题之一。

为保障成都二环路改造工程的顺利施工，成都二环路全线及7条城区放射性主干道，对本地及外地社会车辆实施工作日分时段按车牌尾号进行限行，以缓解交通拥堵。这是成都在实施“禁左”(中心城区设置机动车辆“禁止左转”路口和标志) 等缓解交通拥堵措施之后的又一举措。具体措施如下：

今年4月26日至明年7月30日期间，成都市将在二环路全线及7条放射性主干道，对所有川A 和外地籍号牌汽车实施工作日按车牌尾号限行措施，每天限行2个尾号，每车每周限行1天，即：周一限尾号1、6；周二限尾号2、7；周三限尾号3、8；周四限尾号4、9；周五限尾号5、0。尾号是字母的私家车，按最后一位数字限行。

（一）工作日（星期一至星期五）的7:30至22:00，对二环路全线实施白天时段“尾号限行”措施。

（二）工作日（星期一至星期五）的7:30至9:30、17：00至19:30，对7条放射性干道实施早晚交通高峰“尾号限行”措施。

但公交车、出租车、交通车、校车、长途客车、旅游客车及特种车辆不受限制。此外，市交管部门还将根据交通状况及施工对交通的影响程度适时推出其它交通管控措施。

对于此次限行，成都居民最关心的是它对当前和未来工作和生活的影响，请你利用数学模型回答以下问题：

1、利用数学模型研究实施该措施后，某一工作日全天24小时内，成都市内某一片区（例如火车北站片区、交大片区等）的公路交通情况；

2、分析此次限行对成都未来一年市内交通的变化影响情况，据此探讨该项政策的有效性；

3、根据工程建设规划，二环路将改造成快速路。请根据目前公布的改造后方案预测未来二环路的交通负荷能力及对市内交通的变化影响。

二、问题分析

2.1 问题一的分析

以塔子公园片区为分析对象，我们通过研究道路交通拥挤的状况，来反映交通环境。道路拥堵状况评价的指标有多种，为保证评价尽可能的客观、全面和科学，评价指标的选择必须遵循一定的规则：整体完整性，客观性，可操作性，可比性等原则。基于此，我们选取路段平均行程速度、单位里程平均延误和路段饱和度三个指标，同时我们以非常畅通、畅通、缓慢、拥堵和严重拥堵等五个级别来划分拥堵程度。明确表示出道路拥挤情况。

2.2 问题二的分析

综合的交通状态是一种不断变化的动态过程，具有很强的随机性和偶然性。而交通拥堵的潜伏、发展和产生与具有连贯性和相关性的特点, 交通阻塞的发生与它的过去和现

状紧密相关, 因此, 有可能通过对交通状态的现状和历史进行综合分析。据此，我们采取贝叶斯网络来建立数学模型。

2.3 问题三的分析

通行能力反映了道路所能承受的交通负荷能力。所以我们可以研究其通行能力来进一步研究其负载能力，通行能力是指在一定的道路、交通、控制和环境条件下，对应于一定的行驶质量即服务水平，在某一道路断面上单位时间所能通过的最大车辆数。构造出一个仿真模型来说明路基本路段的通行能力。

三、符号说明

四、模型的假设

假设一：排除交通事故发生、自然灾害、恶劣天气、阻塞发生时车辆状态等的影响； 假设二：仅考虑成都私家车机动车辆，忽略其他影响不大的交通工具的影响； 假设三：仅考虑单双号限行和新建二环快速路对交通情况的影响； 假设四：未来一年内成都市内汽车保有量基本不变；

五、模型的建立与求解

5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 问题分析

根据题设的要求，我们选取成都市塔子公园片区作为研究对象，其片区包括蜀都大道东段和二环路东四段这两条限行道路，如下图所示：

以限行的政策规定：每工作日7:30至22:00，是对二环路进行限行；每工作日的7:30至9:30、17:00至19:30，是对放射性主干道实施限行。由于二环路与蜀都大道是此片区的主要道路，因此仅对于这两条干道分析来表现出该片区的交通情况。

5.1.2 问题评价标准

按照道路拥堵程度的不同划分为五个级别，分别为非常畅通、畅通、缓慢、拥堵和严重拥堵。通过浮动车数据的回归拟合分析，并参考相关的标准，分别确定三个评价指标不同评价等级的阈值。

由于主干道是城市内部的主要道路，因此提出三个评价指标作为主干道的评判标准。

（1）路段不同时段平均行程速度评判标准

为了确定路段不同时段平均行程速度的评判标准，根据车速调查相关理论和交通流参数之间的关系可得出主干道平均行程速度的评判标准（见表1）。

表1 平均行程速度评判标准单位：km /h

（2）路段单位里程平均延误评判标准

由于单位里程平均延误取决于路段平均行程速度和自由流速度，为使评价结果具有一致性，利用浮动车调查数据进行平均行程速度与单位里程平均行程延误回归拟合分析。主干道的回归拟合方程如下：

y =0.1213x

2

-12.275x +309.75

依据平均行程速度评判标准的划分，确定不同的单位里程平均行程延误所对应的拥堵级别，具体结果如表2所示。

表2 单位里程平均延误评判标准单位： s/（km ·辆）

（3）路段饱和度评判标准

主要参考美国《道路通行能力手册》[5]、《公路工程技术标准》（JTG B01—2003）[6]，以及相关科研院所的研究结论，确定路段饱和度评判标准（见表3）

表3 路段饱和度评判标准

5.1.3 模型的建立

(1) 确定评价因素集与评语集

根据以上评价指标的选取和拥堵级别的划分，确定评价因素集为X

={x 1, x 2, x 3}

分别

对应于平均行程速度、单位里程平均延误和饱和度。同时，确定评判集 Z ={z 1, z 2, z 3, z 4, z 5}分别对应于非常顺畅、顺畅、缓慢、拥堵和严重拥堵五种评价等级。(2) 确定评价指标权重向量

a ）给定初始的样本矩阵X n ⨯p ={x 1, x 2, , x p }，对原始数据进行标准化处理，得到数

*

据矩阵X *=X 1*, X 2*, , X P }。

∧

c ）统计X n ⨯p 的特征根和相

l k

，将特征根按大小顺序排列，则第k 个

k

主成分的方差贡献率为, 前k 个主成分的累计贡献率为∑

i =1

⎛p ⎫

λi ∑λi ⎪。 ⎝i =1⎭

k

-1

d ）选择m 个主成分，际中通常所取得累计贡85%以上，即∑

i =1

⎛p ⎫λi ∑λi ⎪⎝i =1⎭

-1

≥85%

;

e ）前m 个主成分对总体方差的贡献矩阵A =(λ1, λ2, , λm ) ，同时得到各指标在前m 个主成分上的贡献矩阵L =(l 1, l 2, , l m )，则各指标对总体方差的贡献率矩阵为：

W =A ⋅L =(ω1, ω2, , ωm )

W 中各元素的值即为相应指标的权重。根据以上权重确定方法，计算路段平均行程速度、单位里程平均延误和饱和度三个指标的权重向量为：

W =(0.42

0.30

0.28)

(3) 确定指标隶属度

在确定指标隶属度时，对于越大越优指标，采用升半梯形法，对于越小越优指标，采用降半梯形法。其中路段平均行程速度属于越大越优指标，其他两个评价指标属于越小越优指标。

越大越优隶属度函数为：

⎧1x ij ≥H ij ⎪

⎪x ij -I ij

r (x ) =⎨H ij x ij I ij

⎪H ij -I ij ⎪0x ij ≤I ij ⎩

越小越优隶属度函数为：

⎧1⎪

⎪H ij -x ij

r (x ) =⎨

⎪H ij -I ij ⎪0⎩

x ij ≤I ij

H ij x ij I ij x ij ≥H ij

(4) 模糊综合评价

通过以上分析， 确定的模糊评价矩阵为：

⎛v 1 R =t 1

m ⎝1

v 2t 2m 2

v 3t 3m 3

v 4t 4m 4

v 5⎫⎪t 5 ⎪m 5⎪⎭

在模糊评价矩阵构建的基础上， 对所得矩阵和权重向量做合成运算，最终得到：

B =W ⋅D =(0.42

0.30

⎛v 1

0.28)⋅t 1

m ⎝1

v 2t 2m 2

v 3t 3m 3

v 4t 4m 4v 5⎫⎪

t 5=(b 1, b 2, b 3, b 4, b 5) ⎪m 5⎪⎭

m

式中，b j =

∑ωr

i =1

i ij

。

令b k =1-max {b 1, b 2, b 3, b 4, b 5}，取值为[0，1]，b k 越接近1，道路越拥堵；反之，道路越顺畅。其中拥堵指数与拥堵程度的对应关系如表4所示：

表4 拥堵指数与拥堵程度对应关系

5.1.4 模型的求解

根据检测的数据，我们将其分为0:00—5:00,5:00-7:00,7:00-9:00等9个阶段来分析。

其图像表示为：

5.2 5.2.1 状紧密相关,

5.2.2 （1

Y={V,Q,A,K}

变量定义及其相互关系如下：

Y 表示交通状态；Y=1时表示交通处于阻塞状态；Y=0表示交通状态处于畅通状态；V 为车流速度；Q 为路段的车流量；A 为路段占有率；K 为车流密度。 （2）贝叶斯网络的实现

从网络模型可以看出不管是占有率或者车流密度，还是车流量以及车流速度，每个变量状态都对交通状态有一定的影响。获取交通状态在上述4个影响因素联合分布下的条件概率, 即求概率P (Y|V,Q,A, K) 的过程, 实质上是一个贝叶斯学习的过程。贝叶斯法则是贝叶斯学习方法的基础, 其公式表述如下:

P (h

D ) =

P (D

h ) P (h ) P (D )

（1）

在许多学习场景中，学习器通常都是寻找给定训练数据D 时可能性最大假设，其表示为：

h M AP =arg max P (h

D ) =arg max

P (D h ) P (h ) P (D )

=arg max P (D h ) P (h )

（2）

在(2)式最后一步中,P(D)被去掉了，因为它是不依赖于h 的常量。 由公式（1）、（2）有：

P (Y

V , A , Q , K ) =

P (V , A , Q , K

Y ) P (Y )

P (V , A , Q , K )

=P (V , A , Q , K

Y )

（3）

对(4)式中的P (V , A , Q , K Y ) 运用到条件独立性得到： P (V , A , Q , K

Y ) =P (V

Y ) P (A , Q , K

Y ) （4）

因此式（4）可改写为：

P (Y

V , A , Q , K ) =P (V

Y ) P (A , Q , K

Y ) P (Y ) （5）

由式(6)知, 要计算概率P ( Y|V, A, Q, K)的值，需要知道某些先验概率以及条件概率。通过对交通部门保存的交通状态统计数据进行分析，得到所需的相关概率分布。

P (V,A,Q , K| Y) =P (V)P (A |V) P (Q |A,V)P ( K|Q,A,V ) P (Y|V,A,Q , K) = P (V) P (A) P (Q |A) P (K|Q) P (Y|V,A,Q , K)

（6）

将(6)式代入(7)式，得到预测模型中各变量间的联合概率分布:

P (V,A,Q, K| Y)= P (V) P (A) P (Q |A) P (K|Q) P (V | Y) P (A,Q, K| Y)P (Y) （7）

有了联合概率分布，就可以通过反复应用贝叶斯公式和乘积与求和公式得到网络中任意想知道的概率。

在进行交通状态预测的时候, 对于任意一组观测值的状态，都有对应的先验概率及条件

概率, 分别将其代入式(7)，就可求得所需的后验概率。由于是通过比较在给定观测值条件下Y=1和Y=0成立的后验概率来实现预测，而交通阻塞发生与否是随机的、不确定的, 可以简单地将交通状态的每一候选假设赋予相同的先验概率, 即P(Y=1)=P(Y=0)= 0.15，则式(8)可以简化成：

P (Y |V1 ,A1 ,Q1 , K1 )= P (V1 | Y ) P (A1 ,Q1 | K1 | Y ) （8）

因此只需通过计算( 9) 式的值，并进行比较就可以作出判断。将Y=1和Y=0分别代入（8）可得：

P (Y1 |V1 ,A1 ,Q1 , K1 )= P (V1 | Y1 ) P (A1 ,Q1 | K1 | Y1 ) （9） P (Y0 |V1 ,A1 ,Q1 , K1 )= P (V1 | Y0 ) P (A1 ,Q1 | K1 | Y0 ) （10）

然后将两者进行比较, 就可以判断是否会发生交通阻塞，如果计算获得概率

P (1 |V1 ,A1 ,Q1 , K1 )大于P (0 |V1 ,A1 ,Q1 , K1 )表明会发生交通阻塞，反之不会。

5.2.3 模型的求解

将所测得数据选取50

个作为仿真数据，进行数据处理，得出的实验后概率曲线为，交通阻塞后概率为：P (1 |V1 ,A1 ,Q1 , K1 )， 交通不发生阻塞后概率为：P (0 |V1 ,A1 ,Q1 , K1 )。

经计算为：

有34组数据预测到交通阻塞会发生，而其余16组数据预测交通阻塞不会发生。故可以预测出成都市的一年内的交通情况：交通拥堵概率为68%，通常率为32%。所以该措施对于成都市交通情况的改善有效的，但效果不太显著。

六、模型的推广与优缺点

对于本文所涉及的交通限行方法，并不单单只有单双号限行一种，还有其他形式的限行方案，同样可以利用该模型进行分析和预测。另外，此模型可以适用于大多数有可能造成交通拥堵的其他大型活动。

对于问题一模型，由于条件有限，所以只考虑单双号限行情况对上海世博会期间的交通状况产生的影响，然而实际中，交通限行的方法还有很多，其他情况还另需讨论。

总的来说, 问题二的预测模型是有效的。另外, 如果要利用此模型对不同城市或不同路段的交通状态进行预测, 则仅需修改其条件概率表的值即可。只要给定了完整的占有率、车流密度、车流量和车速状态值, 就可以利用该模型进行交通状态预测。

但鉴于有些因素信息的获取比较困难, 如交通事故发生、阻塞发生时车辆状态等。因此为了简化预测模型, 在建立预测模型时, 仅仅选取了占有率、车流密度、车流量和车速作为影响因素变量, 从而使预测结果的精确性有所降低。

另外由于时间，精力有限，文中所涉及的部分数据来源于网络，比较复杂，未能明确给出。

七、参考文献

[1] 姜启源，数学模型[M]，北京：高等教育出版社，1999.

[2] 崔宁，仲晓红， 林权，基于畅通可靠度的上海世博会交通限行研究[J]，中国科技论文在线，2007

[3] 盛春行，张元，基于贝叶斯网络模型的交通状态预测[J]， 山东交通科技，2009 [4]韩中庚，数学建模竞赛----获奖论文精选与点评[M]，北京 科学出版社，2007 [5] 齐峰，杜潇芳，殷玮，世博会交通需求分析与交通策略浅议[J]，2006(7) 81-83 [6] 卓信成，廖兆鹏，许嘉豪关于解决城市交通堵塞问题的数学模型的探究(D)，广东：广东省华南师范大学附属中学，2007.

附件：道路通行参考数据

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