考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦.余弦.正切
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考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切
1. (2010·全国卷Ⅰ文科·T1)cos300︒=( )
(A)11
(C) 22
【命题立意】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【思路点拨】利用角的推广公式将300化为300=360-60,然后根据诱导公式求解. 【规范解答】选C. cos300︒=cos (360︒-60︒)=cos60︒=
1
. 2
2. (2010·全国卷Ⅰ理科·T2)记cos(-80︒) =k , 那么tan100︒=( )
A. B.
- C.
k k
D.
【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,着重考查了三角变换中的弦切互化.
【思路点拨】由sin α+cos α=1及cos(-80︒) =k 求出sin 80,再利用公式tan α=求出tan 100的值.
【规范解答】选B. 【解析1
】sin 80===,
220
sin α
cos α
sin 80 =- 所以tan100︒=-
tan80=-
cos80k
【解析2】cos(-80︒) =k ⇒cos(80︒) =k ,
00
sin1000sin (180-80)sin80o
=. tan100︒===
con 100o con 1800-800-
con 80o
3. (2010·全国高考卷Ⅱ文科·T13)已知α是第二象限的角, tan α=【命题立意】本题考查了同角的三角函数关系公式。
1
,则cos α=__________ 2
【思路点拨】利用同角的平方关系和商数关系列方程组求解。注意α是第二象限的角,cos α
2sin α1
【规范解答】 -25, =及sin 2α+con 2α=1, α是第二象限的角。所以con α=-5con α25
4. (2010·全国Ⅰ文科·T14)已知α为第二象限的角,sin a =
3
, 则tan 2α= . 5
【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式, 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【思路点拨】由α为第二象限的角,利用sin α+cos α=1,求出cos α,然后求出tan α. 利 用倍角的正切代入求解.
【规范解答】因为α为第二象限的角, 又sin α=所以tan(2α) =
2
2
34sin α3, 所以cos α=-,tan α==-, 55cos α4
2tan α24
=-2
1-tan α7
3π
, 则tan(+2α) =54
5. (2010·全国Ⅰ理科·T14)已知α为第三象限的角,cos 2α=-
【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式, 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【思路点拨】由α为第三象限的角,判断2α 所在的象限,然后利用sin α+cos α=1 求出sin 2α的值,由cos 2α和sin 2α求出tan 2α的值,再根据两角和的正切公式化简计算求值. 【规范解答】
【方法1】因为α为第三象限的角, 所以2α∈(2(2k +1) π, π+2(2k +1) π)(k ∈Z ) ,又cos 2α=-
2
2
3
π42α∈(+2(2k +1) π, π+2(2k +1) π)(k ∈Z ) , 于是有sin 2α=,
25
4π
tan +tan 2α1-
sin 2α4π=-1. tan 2α==-, 所以tan(+2α) ==
cos 2α3471-tan tan 2α1+43
33
【方法2】α为第三象限的角, cos 2α=-,2k π+π
52
4
⇒4k π+2π
5sin(+2α) sin cos 2α+cos sin 2απcos 2α+sin 2α1tan(+2α) ====-
47cos(+2α) cos cos 2α-sin sin 2αcos 2α-sin 2α444
cos
6. (2010·上海高考理科·T4)行列式
πππ
π
3
sin cos
π
6
sin
π
3
π
6
的值是 .
【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用.
【思路点拨】先按行列式的计算公式计算,再用三角公式化简、求值.
【规范解答】0.原式=cos
π
3
⨯cos
π
-sin ⨯sin =+) =cos =0 636362
πππππ
cos
7. (2010·上海高考文科·T3)行列式
π
6
sin cos
π
6
sin
π
6
π
6
的值是 .
【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用.
【思路点拨】先按行列式的计算公式计算,再用三角公式化简、求值. 【规范解答】
πππππππ11
. 原式=cos ⨯cos -sin ⨯sin =cos 2-sin 2=cos =.
666666322
8. (2010·江西高考理科·T7)E ,F 是等腰直角∆ABC 斜边AB 上的三等分点,则tan ∠ECF =( )
A .
1623
B. C
. D.
32734
【命题立意】本题主要考查两角和与差的三角函数公式及三角函数诱导公式. 【思路点拨】先求∠ACE 、∠BCF 的三角函数值,再求∠ECF 的正切. 【规范解答】选D.设α=∠ACE ,β=∠BCF ,则tan α=tanβ=
1
,所以2111-⨯
π11-tan αtan β=3 tan ∠ECF =-α-β) ===.
112tan(α+β) tan α+β4+22
【方法技巧】本题也可建立直角坐标系,利用向量坐标来解决,以点C 为坐标原点,CA ,CB 为x 轴和y 轴建立直角坐标系,且设直角边长为3,则C (0,0)A (3,0)B (0,3)E (2,1)F (1,2),所以
=(2, 1), =(1, 2) ,
cos ∠ECF =
=
1⨯2+2⨯15⨯5
=
43
,故ta n ∠E C F =. 在解决平面几何有关问题的时候,利用坐标向
45
量求角、距离,判断平行、垂直,来得更加快捷,思路也畅顺.
9. (2010·重庆高考文科·T15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ,各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等。设第i 段弧所对的圆心角为a i (i=1,2,3),则
cos
a 1a +a a a +a
cos 23-sin 1sin 23=3333
【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识,考查三角函数的基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合的思想方法,考查化归与转化的思想.
【思路点拨】第i 段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角,再根据三个圆心确定的正三角形求解. 【规范解答】-
1
作三段圆弧的连心线,连结一段弧的
2
两个端点,如图所示, △O 1O 2O 3是正三角形,点P 是其中心,
2
π, 34
第i 段弧所对的圆心角为a i 都是π,
3
α+α3α+α3αα
所以cos 1cos 2 -sin 1sin 2
3333
α+α2+α3αα+α341
=cos(1+2) =cos 1=cos π=-
33332
根据圆的有关性质可知∠AO 1B =
【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快捷解答. 10. (2010·四川高考理科·T19)
(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式C α+β:cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β; ②由C α+β推导两角和的正弦公式S α+β:sin(α+β) =sin αcos β-cos αsin β.
1 3
(Ⅱ)已知∆ABC 的面积S =, AB ∙AC =3,且cos B =,求cos C .
52
【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式,平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的(Ⅰ)①②为课本上的内容,体现出试题源于课本的特点. 【思路点拨】(I )①在单位圆中,分别作出角α,β,-β,α+β,利用三角函数定义,分别写出各角的终边,始边与单位圆的交点坐标,由圆的性质,可知PP 13=P 2P 4,结合两点间距离公式即可求解. ②中求的是两角和的余弦值,需借助能把余弦变为正弦的诱导公式,故可用sin(α+β) =cos ⎢
⎡π⎤
-(α+β) ⎥求解. 本题第(Ⅱ)问,⎣2⎦
由三角形的面积公式,向量的数量积公式可求得角A 的正、余弦值,又知B 的余弦值, 故可求cos(A +B ) 的值,由诱导公式cos C =cos [π-(A +B ) ]=-cos(A +B ) 。
【规范解答】(I )①如图,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O , 并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox ,交⊙O 于点P 1, 终边交⊙O 于点P 2;角β的始边为OP 2, 终边交⊙O 于点P 3,
角-β的始边位OP 1,终边交⊙O 于点P 4,则P 1(1,0),P 2(cosα,sin α) ,
P 3(cos(α+β),sin(α+β)) ,P 4(cos(-β),sin(-β)) ,
由PP 13=P 2P 4及两点间的距离公式得
[cos(α+β) -1]
2
+sin 2(α+β) =[cos(-β) -cos α]+[sin(-β) -sin α]展开并整理得,
22
2-2cos(α+β) =2-2(cosαcos β-sin αsin β) ,
∴cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β. ②∵cos(
π
-α) =sin α,sin(-α) =cos α,
22
⎡π⎤⎡π⎤
-(α+β) ⎥=cos ⎢(-α) +(-β) ⎥ ⎣2⎦⎣2⎦
π
由①易得sin(α+β) =cos ⎢
=cos(-α)cos(-β) -sin(-α)sin(-β) =sin αcos β+cos αsin β
22
∴sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β.
(II )由题意,设∆ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ,
ππ
11
则s =bc sin A =,AB ⋅AC =BC cos A =3>0
22
∴A ∈(0,
π
2
) ,cos A =3sin A ,.
2
又sin A +cos A =1,
∴sin A =由cos B =
2
,cos A = 1010
34
得,sin B =
. 55
. 10
. 10
cos(A +B ) =cos A cos B -sin A sin B =
故cos C =cos [
π-(A +B ) ]=-cos(A +B ) =-
【方法技巧】对于本题的第(I )可用向量求解。 解法如下:在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O , 以Ox 为始边作角α,β,它们的终边与单单位圆O , 的交点分别为A 、B
(cos α,sin α) ,B (sinβ,cos β) , 则A
OA =(cosα,sin α) ,OB =(cosβ,sin β) ,
OA ⋅OB =OA OB cos(α-β) =cos(α-β)
OA ⋅OB =cos αcos β+sin αsin β,
∴cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β. 由向量数量积的概念可知,须则
α-β∈[0, π]
, ,
α-β∈[π, 2π)
时,
2π-(α-β) ∈[0, π)
OA ⋅OB =cos [2π-(α-β) ]=cos(α-β)
,故对任意的α,β,
都有cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β成立.
cos(α+β) =cos [α-(-β) ]=cos αcos(-β) +sin αsin(-β)
=cos αcos β-sin αsin β.
11. (2010·四川高考文科·T19)
1证明两角和的余弦公式C α+β:cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β; (Ⅰ)○
2由C α+β推导两角和的正弦公式S α+β:sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β. ○
(Ⅱ)已知cos α=-, α∈(π, π), tan β=-, β∈(
4
53213
π
2
, π),cos(α+β) ,求cos(α+β)
【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式,平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的(Ⅰ)①②为课本上的内容,体现出试题源于课本的特点. 【思路点拨】(Ⅱ)分别求出sin α、sin β、cos β的值,套用公式求解. 【规范解答】(Ⅰ)同理T19 (Ⅱ)∵α∈(π, π),cos α=-
3
243,∴sin α=-. 55
,sin β=. ∵tan β=-, β∈
(
1
3
π
2
, π) ,∴cos β=
43-(-) =. cos(α+β) =
cos αcos β-sin αsin β=(-) ⨯(55