高等代数(二)期末

学号： 院系： 级 班

大 连 理 工 大 学

课 程 名 称： 高等代数（二） 试 卷：A 考试形式： 闭卷 授课院 (系) ： 数学系 考试日期：2008 年7月14日 试卷共 6 页

一．填空题（每小题4分，共32分）。

1. 判断下面所定义的变换, 哪些是线性变换, 哪些不是线性变换:

装

1) 在P [x ] 中, σ(f (x )) =f (x +1), f (x ) ∈P [x ]; 2) 在P [x ] 中, σ(f (x )) =f (x ) +1, f (x ) ∈P [x ].

2⨯2

−→R 2. 设σ:R 2⨯2−的线性变换，σ(X ) = c

⎝

订

⎛a

b ⎫⎪ 其中X ，⎪d ⎭

R 是实数域，

求σ在基E 11= 0

⎝

⎡a ⎢0⎢⎢c ⎢⎣0

0a 0c

b 0d 0

⎛1

0⎫⎛0⎪ , E =12⎪ 00⎭⎝1⎫⎛0

⎪ , E =21⎪ 10⎭⎝0⎫⎛0

⎪ , E =22⎪ 00⎭⎝0⎫

⎪下的矩阵 ⎪1⎭

线

0⎤

⎥b ⎥0⎥⎥d ⎦

3．已知三级矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则A *+A -1+A 2+E 相似于对角矩阵

⎡⎢9⎢⎢0⎢⎢⎢0⎣

01720

⎤0⎥⎥0⎥ ⎥37⎥⎥3⎦

4．设四级矩阵A 的最小多项式为m (λ) =(λ-1) 2(λ-2) ，写出A 的所有可能的Jordan 标准形

⎡1⎢1⎢⎢0⎢⎣0

0100

0010

⎤0⎥0⎥ ⎥0⎥⎦2

⎡1⎢1⎢⎢0⎢⎣0

0100

0020

0⎤⎥0⎥ ⎥0⎥2⎦

5．已知矩阵

2

⎛1

A =

⎝

21

⎫⎪⎪2⎪⎭

，则A 初等因子组

(λ-2)(λ-1)，

不变因子组为 1, 1(, ，各阶行列式因子组为1,1, (λ-1)(λ-2) λ-)(1λ-)26. 在欧氏空间R 4中（内积按通常定义），向量α=(0, 0, 1, 1), β=(0, 1, 1, 0) 之间的夹角

π

3

2

2

7．设ε1, ε2, ε3是三维欧式空间的一组标准正交基，

α1=k (2ε1+2ε2-ε3),

α2=k (2ε1-ε2+2ε3

1

α3=k (ε1-2ε2-2ε3) 也是一

组标准正交基，则k = ±。

3

8．设f (α, β) 是数域P 上三维线性空间V 上的一个双线性函数，ε1, ε2, ε3是V

⎛1

的一组基，矩阵A = 0

2⎝

021

1⎫⎪

1⎪是f (α, β) 在ε1, ε2, ε3下的度量矩阵，设 0⎪⎭

α=2ε1+ε2-ε3, β=ε1-ε2，则f (α, β)

二．计算

1．（6分）已知三级实对称矩阵A 的三个特征值为λ1=1, λ2=2, λ3=3，对应

λ1, λ2的特征向量分别为p 1=(1, 0, 1), p 2=(0, 1, 0) ，求λ3对应的特征向量.

解：设p =(x 1, x 2, x 3) 是λ3对应的特征向量，则p 与p 1, p 2皆正交， 即

x 1+x 3=0

x 2=0 可得 p =(-1, 0,1)

于是 λ3=3的所有特征向量为 kp ，k ≠0

2．（10分）设V 是数域P 上的一个线性空间，ε1, ε2, ε3是它的一组基，f 是V 上的一个线性函数，已知f (ε1+ε2) =1, f (ε2-2ε3) =-1, f (ε1+ε2) =-3，求

f (x 1ε1+x 2ε2+x 3ε3) .

解：由题意可知

所以 f (x 1ε1+x 2ε2+x 3ε3) =x 1f (ε1) +x 2f (ε2) +x 3f (ε3) =-2x 1+x 2

⎧f (ε1) +f (ε2) =-1

⎪

⎨f (ε2) -2f (ε3) =1 ⇒ ⎪f (ε) +f (ε) =-2

13⎩

⎧f (ε1) =-2

⎪

⎨f (ε2) =1 ⎪f (ε) =0

3⎩

三．（12分）在P [x ]n 中(n >1) ，微分变换D :D (f (x )) =f ' (x ) 是P [x ]n 上的线性变换

1. 求D 的特征多项式；

2. 证明D 在任何一组基下都不可能是对角矩阵; 3. 求D 的核及值域.

解：1. 取P [x ]n 的一组基 1，x ，x 2， ，x n -1，则有

⎡0⎢0⎢

2n -12n -1

D (1,x , x x ) =(1,x , x x ) ⎢

⎢⎢0⎢⎣0

10 00

02 0010 00

02 00

0⎤

⎥0⎥

⎥， ⎥n -1⎥0⎥⎦

0⎤

⎥0⎥

所以D 的特征多项式 ⎥，⎥n -1⎥0⎥⎦

⎡0

⎢0⎢

即D 在基1, x , x 2, , x n -1下的矩阵为D =⎢

⎢⎢0⎢0⎣

f (λ) =λE -D =λ.

n

2．由1知D 只有一个特征值λ=0（n 重），唯一的一个特征子空间是一维的，维数小于n ，所以D 在任何一组基下的矩阵都不是对角矩阵。

) P [x ]D (f (x =) ) 0以 f (x ) =p ，p ∈P 即3．D 的核D (0) ={f (x ∈} 所n

-1

D (0)=P ，

-1

D 的值域D (P [x ]n ) =L (D (1), D (x ), , D (x n -1)) =L (1, x , , x n -2) =P [x ]n -1

四．（10分）设A 是数域P 上一个n 级矩阵，证明A 与A 的转置矩阵A ' 相似.

证明：由于λE -A 与λE -A ' 互为转置矩阵，所以具有相同的各级行列式因子，因此具有相同的不变因子，故A 相似于A ’ 五．设

f (x 1, x 2, x 3) =2x 1+2x 2+2x 3-6x 1x 2-6x 1x 3-6x 2x

2

2

2

1．(8分) 用正交线性替换化下列二次型为标准形（要有过程）；

2．(2分) 在空间直角坐标系O -X 1X 2X 3中, f (x 1, x 2, x 3) =1表示何种曲面. 解：由题意可知此二次型对应的矩阵为

⎡2

-3A =⎢⎢⎢⎣-3

-32-3

-3⎤

⎥-3⎥-2⎥⎦

A 的特征多项式为f (λ) =|λE -A |=(λ+4)(λ-5) 2，因此A 的特征值

λ1=-4, λ2=5

对应λ1=-4的特征向量为 p 1=(111)' ，

对应λ2=5线性无关的特征向量为p 2=(-11

单位化后得正交矩阵

Q =1-

0) ' ，p 3=(-1

0将其正交化、1) ' ，

⎤

⎥⎥⎥⎥ ⎥2-2

2

2

即经正交替换X=QY，f 化成标准形f =-4y 1+5y 2+5y 3， 当f (x 1, x 2, x 3) =1时，其为单叶双曲面。

六．（10分）设V 是n 维欧氏空间，证明对于任意n 级正定矩阵A ，都存在V 的一组基，使得关于这组基的度量矩阵是A .

证明：设ε1, ε2 εn 为V 的一组标准正交基，关于ε1, ε2 εn 的度量矩阵为E ，又由

于A 正定，所以存在可逆矩阵C ，使得A =C ' EC ，令(η1, ηn ) =(ε1, εn ) C ，关于基η1, ηn 的度量矩阵C ' EC =A 。

七．（10分）设σ1, σ2是n 维线性空间V 上线性变换，且

，且 秩σ1+秩σ2=n ，证明： σ1+σ2=1v （1v 是V 上的恒等变换）1．V =σ1(V ) ⊕σ2(V ) ；

2．σ1σ2=σ2σ1=0；σi =σi , i =1, 2. 证明：1，∀α∈V ，则有α=σ1(α) +σ2(α) ，

∀σ1(α1) σ1(αs ) 为σ1(V ) 的基，σ2(αs +1) σ

2

2

为σ2(V ) 的基，α可由α(n )

，σ1(α1) σ1(α) σ2(αs +1) σ2(αn ) 表出，又dim V =n ，故为一组基， s

则V =σ1(V ) ⊕σ2(V )

2．∀α∈V ，由于 α=σ1(α) +σ2(α)

则有σ1(α) =σ1(σ1(α)) +σ1σ2(α) ，且又有 σ1(α) =σ1(σ1(α)) +σ2(σ1(α)) 所以有 σ1σ2(α) =σ2σ1(α) ∈σ1(V ) σ2(V ) =

{0}

，从而σ1σ2=σ2σ=10，且有

σ1(α) =σ1(α) 得σ1=σ1，同理σ2=σ2，

222