二次函数中的焦点与准线问题
二次函数中的焦点与准线问题
【例题讲解】
(2011年·黄冈市)如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=
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x交于4
M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0). ⑴求b的值. ⑵求x1•x2的值
⑶分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.
⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.
解:⑴b=1
⎧x=x1⎧x=x2
⑵显然⎨和⎨是方程组
⎩y=y1⎩y=y2
+1⎧y=kx
⎪⎨12的两组解,解方程组消元得y=x⎪⎩4
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x-kx-1=0,依据“根与系数关系”得x1·x2=-4. 4
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下:
由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,则F1M1•F1N1=-x1•x2=4,
2
而FF1=2,所以F1M1•F1N1=F1F,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.
⑷存在,该直线为y=-1.理由如下: 直线y=-1即为直线M1N1.
如图,设N点横坐标为m,则N点纵坐标为
121
m,计算知NN1=m2+1, 44
NF
=
同理MM1=MF.
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m+1,得NN1=NF 4
那么MN=MM1+NN1,作梯形MM1N1N的中位线PQ,由中位线性质知PQ=(MM1+NN1)=即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径,所以y=-1总与该圆相切.
1
21
MN,2
通过此题,可以得到如下一些性质:
性质1:①x1x2=-4; ②x1+x2=4k; ③y1y2=1; ④y1+y2=4k2+2 性质2:M1F⊥FN1
性质3:NF=NN1,MF=MM1,MN=MM1+NN1.
性质4:MQ,NQ分别为∠M1MN,∠N1NM的平分线. 性质5:FQ⊥MN.
性质6:在直角梯形MM1N1N中,以M1N1为直径的圆与MN相切,切点为F. 性质7:
11+=1 MFNF
性质8:MQ⊥M1F,NQ⊥N1F,且MQ与M1F和NQ与N1F的交点在x轴上. 性质9:点M,O,N1共线;N,O,M1共线.
【练习巩固】
x2
1.(2014年湖北咸宁) 如图1,P(m,n)是抛物线y=-1上任意一点, l是过点(0,-2)
4
且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H. 【探究】
(1)填空:当m=0时,OP= ,PH= ;当m=4时,OP= ,PH= ; 【证明】
(2)对任意m,n,猜想OP 与PH的大小关系,并证明你的猜想. 【应用】
x2
(3)如图2,已知线段AB=6,端点A,B在抛物线y=-1上滑动,求A,B两点到直
4
线l的距离之和的最小值.
(第23题图1)
(第23题图2)
2. (2013•南宁)如图,抛物线y=ax+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N. (1)求此抛物线的解析式; (2)求证:AO=AM; (3)探究:
①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时②试说明无论k取何值,
的值;
2
的值都等于同一个常数.
3.(2015·四川资阳)已知直线y=kx+b(k≠0)过点F(0,1),与抛物线y=于B、C两点.
(1)如图13-1,当点C的横坐标为1时,求直线BC的解析式;
(2)在(1)的条件下,点M是直线BC上一动点,过点M作y轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(0, 1)(m,n)(3)如图13-2,设B(m
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x相交4
于S,连接FR、FS.试判断△RFS的形状,并说明理由.
4.(2015年福建泉州)抛物线y=x上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题. 问题解决
2
如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=﹣1的垂线,交于E,F两点. (1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°; (2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.
2222
①求证:PE+PF=2(PM+EM);
②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.
2
5.抛物线y=
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x+x+m的顶点在直线y=x+3上,过点F(-2,2)的直线交该抛物线于点M,N4
两点(点M在点N的左边),MA⊥x轴于点A,NB⊥x轴于点B.