集合与逻辑关系

第1章 第1节

一、选择题

1．(09·全国Ⅱ) 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N ) ＝( )

A ．{5,7} B ．{2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,3,5,6,7}

2．(2010·烟台二中) 已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |y 2＝x ，x ≥0}，则M ∩N ＝( )

A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．[0，＋∞) D ．[0,1]

k 1k 13．设集合P ＝{x |x ＝k ∈Z }，Q ＝{x |x ＝＋k ∈Z }，则( ) 3663

A ．P ＝Q B ．P Q C ．P Q D ．P ∩Q ＝∅

4．(文) 满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．(2010·辽宁理，1) 已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B ) ∩A ＝{9}，则A ＝( )

A ．{1,3} B ．{3,7,9} C ．{3,5,9} D ．{3,9}

6．(文)(2010·合肥市) 集合M ＝{x |x 2－1＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是(

)

A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{1} D ．∅

7．已知钝角△ABC 的最长边长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是( )

A ．2 B ．4 C ．π－2 D ．4π－2

8．(文)(2010·山东滨州) 集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( )

A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0,1}

9．若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x 、y ∈M }，则N 中元素的个数为( )

A ．9 B ．6 C ．4 D ．2

10．(文) 已知集合{1,2,3，„，100}的两个子集A 、B 满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B 为空集．若n ∈A 时，总有2n ＋2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为( )

A ．62

二、填空题

111．(文) 已知集合A ＝{x |logx ≥3}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(－∞，c ]，其中2B ．66 C ．68 D ．74

的c ＝______.

112．(2010·浙江萧山中学) 在集合M ＝{0，，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足2

1条件“对∀x ∈A ，则∈A ”的概率是________． x

13．(文)(2010·江苏，1) 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.

11－14．若A ＝{x |22x 1≤}，B ＝{x |log1x ，实数集R 为全集，则(∁R A ) ∩B ＝________. 4216

三、解答题

15．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1) x ＋(a 2－5) ＝0}．

(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；

(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．

16．(2010·广东佛山顺德区质检) 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －60}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2

17．(文) 设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．

第1章 第2节

一、选择题

1．(2010·广东惠州一中) 如果命题“ (p ∨q ) ”是真命题，则正确的是( )

A ．p 、q 均为真命题 B ．p 、q 中至少有一个为真命题

C ．p 、q 均为假命题 D ．p 、q 中至多有一个为真命题

2．(2010·胶州三中) 命题：“若x 2

A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若x ≥1，且x ≤－1，则x 2>1

C ．若－1

3．(文)(2010·延边州质检) 下列说法错误的是( ) ．．

A ．如果命题“p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题；

B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”；

C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1

1D ．“sin θ＝θ＝30°”的充分不必要条件． 2

4．(文)(2010·福建南平一中) 已知命题p ：∀x ∈R ，x >sinx ，则( )

A ．p ：∃x ∈R ，x

C ．p ：∃x ∈R ，x ≤sin x D ．p ：∀x ∈R ，x

5．(文)(2010·山东枣庄模考) 设集合A ＝{x |－2－a

A ．02 B ．0

6．(2010·天津文) 下列命题中，真命题是( )

A ．∃m ∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋mx (x ∈R ) 是偶函数

B ．∃m ∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋mx (x ∈R ) 是奇函数

C ．∀m ∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋mx (x ∈R ) 都是偶函数

D ．∀m ∈R ，使函数f (x ) ＝x 2＋mx (x ∈R ) 都是奇函数

7．(2010·北京延庆县模考) 下列命题中的假命题是( )

1A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋x

B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)

C ．∃m ∈R ，使f (x ) ＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数

D ．∀φ∈R ，函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ) 都不是偶函数

8．(09·海南、宁夏) 有四个关于三角函数的命题：

x x 1p 1：∃x ∈R ，sin 2＋cos 2＝ p 2：∃x 、y ∈R ，sin(x －y ) ＝sin x －sin y 222

p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos2x π＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y 22

其中假命题的是( )

A ．p 1，p 4 B ．p 2，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 3，p 4

9．已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1) x 为减函数，若“p ∧q ”为真命题，则a 的取值范围是( ) 2A ．a ≤ 3 112B ．0

10．(2010·浙江杭州质检) 下列命题中正确的是( )

πππ2x ＋⎫，则∀x ∈⎛，必有f (x )1 22

ππx ＋⎫，则函数y ＝f ⎛x 是奇函数 C ．设f (x ) ＝cos ⎛⎝3⎭⎝6ππx ＋＝2sin ⎛2x ＋⎫ D ．设f (x ) ＝2sin2x ，则f ⎛3⎭⎝3⎝

二、填空题

11．已知下列四个命题：

①a 是正数；②b 是负数；③a ＋b 是负数；

④ab 是非正数．选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题

____________________________________．

12．给出以下四个关于圆锥曲线的命题，

→→①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|P A |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；

→1→→②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP ＝(OA ＋OB ) ，则动点P 的轨迹为椭2

圆；

③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x 2y 2x 2④双曲线1与椭圆y 2＝1有相同的焦点． 25935

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号) ．

13．(2010·南昌市模拟) 给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x ) ＝|x －a |在区间[2，＋∞) 上为增函数”的充要条件；③m ＝3是直线(m ＋3) x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件；④设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件；

其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号) ．

14．(2010·马鞍山市质检) 给出下列四个结论：

①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”

②“若am 2

a ③已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋by ＋2＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是＝－2； b

④对于任意实数x ，有f (－x ) ＝－f (x ) ，g (－x ) ＝g (x ) 且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x g ′(x ) ．

其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号) ．

三、解答题

π15．(2010·河南调研) 已知函数f (x ) ＝2sin x ＋sin x cos x －3sin 2x ，x ∈R . 3

(1)求函数f (x ) 的最小正周期；

5π0，，使不等式f (x 0)

→→(1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA ·OB ＝3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

117．(文) 已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x ) ＝log x 2－2ax ＋3

3a ) 是区间[1，＋∞) 上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．

第1章 第3节

一、选择题

1．(文) 已知a 、b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的( )

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

2．(2010·福建文) 若向量a ＝(x, 3)(x ∈R ) ，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件

3．(文) 已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n ) 都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( )

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

4．(09·陕西)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

x 5．(文) 设集合A ＝{x |，B ＝{x |0

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

π6．(文)(2010·北京东城区) “x ＝”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( ) 4

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

17．“m ＝”是“直线(m ＋2) x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2) x ＋(m ＋2) y －3＝0相互垂直”的( ) 2

A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

8．(2010·浙江宁波统考) 设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )

A ．l 1⊥m ，l 1⊥n B ．m ⊥l 1，m ⊥l 2 C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2 D ．m ∥n ，l 1⊥n

1⎫x, 1－x, 29．(2010·黑龙江哈三中) 命题甲：⎛⎝2⎭22x 成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1) ，lg(x ＋3) 成等差数

列，则甲是乙的( )

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

10．(2010·辽宁文，4) 已知a ＞0，函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

A ．∃x ∈R ，f (x ) ≤f (x 0) B ．∃x ∈R ，f (x ) ≥f (x 0) C ．∀x ∈R ，f (x ) ≤f (x 0) D ．∀x ∈R ，f (x ) ≥f (x 0)

二、填空题

11．给出以下四个命题：

①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题．

②命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆命题．

③设a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件．

④命题“若f (x ) 是奇函数，则f (－x ) 是奇函数”的否命题，

其中真命题的序号是__________________．

a 12．(文) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab P (除b

数b ≠0) ，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域．有下列命题：

①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ④数域必为无限集；

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

1⎫x 213．(2010·辽宁葫芦岛四校联考) 设有两个命题：p ：不等式⎛＋4>m >2x －x 对一切实数x 恒成立；q ：⎝3⎭

f (x ) ＝－(7－2m ) x 是R 上的减函数，如果p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是________．

14．(2010·福建理) 已知定义域为(0，＋∞) 的函数f (x ) 满足：(1)对任意x ∈(0，＋∞) ，恒有f (2x ) ＝2f (x ) 成立；(2)当x ∈(1,2]时，f (x ) ＝2－x . 给出如下结论：

①对任意m ∈Z ，有f (2m ) ＝0；

②函数f (x ) 的值域为[0，＋∞) ；

③存在n ∈Z ，使得f (2n ＋1) ＝9；

④“函数f (x ) 在区间(a ，b ) 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得(a ，b ) ⊆(2k, 2k 1) ． ＋

其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题

15．已知c >0.设命题P ：函数y ＝log c x 为减函数．

1⎤11，2时，函数f (x ) ＝x ＋>恒成立．如果P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，求c 命题Q ：当x ∈⎡⎣2⎦x c

的取值范围．

16．给出下列命题：

(1)p ：x －2＝0，q ：(x －2)(x －3) ＝0. (2)p ：m

(3)已知四边形M ，p ：M 是矩形； q ：M 的对角线相等．试分别指出p 是q 的什么条件．

17．(文) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且q ≠1) ，求数列{a n }成等比数列的充要条件．