概率问题在中学数学中的探讨

概率问题在中学数学中的探讨

刘雄

（长江师范学院 数学与计算机学院，重庆 涪陵 408100）

摘要：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。

随着科学的发展，概率在生活中的应用越来越广，本文对概率在实际生活中的应用和自身发展现状进行了简单的分析，对概率论在中学教育中的价值、意义进行了简单的研究。

关键词：概率；随机现象；中学教学；探讨；应用；价值

概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。

一、概率论的产生与发展

1. 概率论的产生背景

起源：概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。

后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释, 这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

2. 概率论的发展

发展：随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j. 伯努利，

他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s. 拉普拉斯 又导出了第 二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l. 切比雪夫、a.a. 马尔可夫、a.m. 李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n. 维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。

二、 “我们身边的概率”――生活中概率事件的实例

在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成两大类：一类是确定性的现象，指在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。另一类是不确定性的现象。这类现象在一定条件下的结果是不确定的。例如，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同有强弱和早晚之别等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素是人们无法事先预料的。这类现象，我们无法用必然性的因果关系，对现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买) 彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗? 以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：

由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。

体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗？

三、概率在中学数学中的现状 通过对涪陵区周边中学进行了教学调查，重点是调查概率统计这门课在中学的教学情况。通过调查得知，概率统计这门课，中学课本上讲得较浅，导致学生易学易懂而不易解题。均一致要求作适当的知识拓展，以适应新形势的需要。

某同学说：“近几年高考中，谈得比较多的是概率的得分率偏低，特别是概率方面的考题”，针对这个问题，调查了马安镇某中学的高三年级800多名学生，从中随机抽取了50名学生，对概率统计的应用进行调查。调查结果60%的同学认为很难，30%的同学认为一般，而仅有10%的同学认为很简单。

从此结果可以清楚看出：比例显然不符合正态分布。该同学说：究其原因, 依据同学们的反映, 课本上的知识讲得较浅, 知识面狭窄，从而导致他们易学易懂而不易解, 均要求将”等可能事件”这部分内容作适当的拓展。

在高考试题中，关于概率统计的试题也逐渐增加，而且难度超过了普通高中数学课程的标准。又一同学举了这样一个例子：

2005年高考湖北卷文科第21题：某会议室有5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡的寿命为1年以上的概率为P1，寿命为2年以上的概率为P2。从使用之日起每满一年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。 (I)在第一次灯泡更换工作中, 求不需要更换灯泡的概率和更换 2只灯泡的概率；(II)在第二次灯泡更换工作中, 对其中的某一盏灯来说, 求该盏灯需要更换灯泡的概率；(III)当P1=0.8,P2=0.3时, 求在第二次灯泡更换工作中, 至少需要更换4只灯泡的概率.(结果保留两个有效数字) 。

在这道考题中，在求(Ⅱ) 的解答时，其过程涉及到要求在第一次未更换灯泡，而在第二次需要更换灯泡的概率。如果设A=“该型号灯泡寿命在一年以上”，B=“该型号灯泡寿命在2年以上”，由题意得：P(A）=P1，P(B)=P2，则P()=1-P2，则P （第1次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡)= P(A )。在求P(A )中，就涉及到独立与非独立的问题。在公开发表的论文中，关于这一道题的这一步解，就有两种截然不同的答案。在湖北省教育考试院主办的《湖北招生考试》2005年6月10日出版的《2005年高考试卷与参考答案》中，认为A 与是独立的，有P(A ）=P(A)P()=P1(1－P2) ，而华南师范大学数学科学院2006年出版的《中学数学研究》第一期34页上的文章认为A 与非独立，认为B 是A 的子集，有P(A )=P1－P2。在这里，我们暂时不讨论这两种解答谁是谁非。大部分高中生在这种试题的面前，是束手无策的。而在高中的课本里，关于事件的独立性，仅仅是通过具体的情景中，介绍两个事件的相互独立性。课本的要求仅仅是“了解”。所以许多学生在了解了高考试题的难度以后，迫切要求老师在讲授概率统计时，作适当的加深拓展。

又一同学在论文“伯努利概型在初等教学应用的拓展”中，阐述了她在遵义市某中学高二年级十一个班，总计七百零九名学生学习概率统计这部分内容的大致情况。她发现学生普遍认为概率统计易学易懂，但不易掌握，“尤其是n 重独立重复试验中有k 次发生的概率最不易掌握”，该同学把全日制普通高级中学教科书《数学》（必修、人教版、第二册B 下）关于伯努利概型的内容与大学教科书中有关内容进行了比较。认为“高等数学的表述及证明为高中教材计算在n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法奠定了理论基础。”最后得出一个结论：高等数学中伯努利概型对于高中的n 重独立试验发生k 次的概率具有理论指导意义。

四、国内外对概率论的研究及其应用

（一） 国内外对概率论的研究

20世纪中后期，概率论得到了飞速发展。

当代概率论的研究方向主要是随机过程论。随机过程是随着指标集变化的随机变量族。其实早在Kolmogorov 公理体系之前，Wiener 、Markov 等人在随机过程的研究中就有了一些出色的成果。20世纪30年代至50年代，Doob 和Levy 创立了鞅论。从此鞅论不仅成为随机过程最活跃的分支之一，还越来越多的应用到马氏过程、点过程、估计理论、随机控制等领域。另外，随机过程与其它学科相结合，又产生了一些新的分支。这样，概率论逐步形成了若干主流的研究方向，如极限理论，马氏过程，平稳过程，鞅论，随机微分方程等等。

应该说，概率论是在其他数学分支，特别是分析学的影响下发展的，近一个历史时期很多代表性工作，如P . Malliavin（1977）的Malliavin 分析，S. Smale（1981）等的概率计算复杂性和D. Voiculescu （1985）的自由概率论，原创者都不是概率论出身。这也是有学者认为概率论是分析学的一个分支的原因。但是，当概率论的“随机思维”得到越来越广泛的应用时，我们发现随机数学有时比决定性数学更精细，更有威力。所以在思维层面，概率论应该具有

相当独立的地位。

2002年5月，美国国家自然科学基金委员会召开了一次“当前和显露出来的概率论学科中的研究机遇”研讨会。会上有两句话概括了概率论的现状：1）概率论差不多在科学和工程的每一个分支都有着重要作用；2）概率论是一种思考世界的方法，它也像几何、代数和分析一样是一门核心数学学科。

会上列出了7项对概率论发展有重要影响的领域

1、 算法

2、 统计物理

3、 动力和物理系统

4、 复杂网络

5、 数学金融、风险和相依性

6、 人工和自然系统中的认知

7、 遗传学和生态学

另外，我们可以从ICM2002，ICM2006两届大会的数学报告中，感受概率论的活力。 在ICM2002，20个一小时报告中，有6个涉及概率论，分别关于离散数学、偏微分方程、算子代数、计算机科学、概率和认知科学。而到了ICM2006，概率论的势头又增无减，特别在4位Fields 奖得主中，至少有两位的工作直接与概率论相关。这些都说明，概率论不仅得到了主流数学圈的认可，并逐步走到数学舞台的最前沿。

所以，我们有充分的理由相信，概率论的学科前景是不可限量的。

（二）概率论的应用

概率论的应用领域正在日益扩大，并渗透到一切现代科学和社会生活的每一个角落，从而对未来科学和社会发展起着极为重要的作用。

――Woodard.R.S

如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为。

――W.S.Jevons

如今，概率论的应用领域正在日益扩大，如经济学方面、金融业、炒股、物理学微观、 工业工程中对于产品的质量可靠性，设计、监测和检查都是靠概率的。

下面以齐在经济领域中的应用为例：

经济学的数学化已经成为不可否认的事实, 而且数学化的趋势愈演愈烈。特别是近十几年来, 由于金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍的应用, 研究随机事件的概率论在经济学中得到越来越快的发展, 而且近几年诺贝尔奖也授予在经济学的随机处理方面做出突出贡献的学者, 比如1990年奖获的证券组合选择理论,1994年获奖的博弈理论(王文华,2007); 同时由于概率论考虑了样本与总体之间的关系的这一特性, 对实证经济学特别是经济计量学可以说起到了非常大的推动作用。甚至可以说, 当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用, 如果考虑在实证经济学领域的诺贝尔获奖者, 那概率论对经济学的影响就更大了, 包括第一届诺贝尔奖获得者丁博根、第二届诺贝尔获奖者萨谬尔森等在内, 前前后后大约有20名经济学家研究和应用概率论在经济学中的作用(史树中,2002), 因此概率论在经济学中有十分广泛的作用。

1．在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前, 往往存在不确定的随机因素, 从而所作的决策有一定的风险, 只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标, 才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策, 从而实现这个目标。

2. 在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋

势, 从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用。

3. 在求解最大经济利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标, 随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

4. 在经济预测中的应用

在实际经营中, 许多量之间存在某种密切联系, 根据数理统计原理, 可以根据往年资料或市场信息, 通过对社会经济现象之间客观存在的因果关系及其变化趋势进行线性回归分析预测, 从而得出未来的数量状况。下面以一元线性回归分析为例探讨一下线性回归分析在经济预测中的应用。

5. 在经济保险问题中的应用

目前, 保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务, 人们总会预算某一业务对自己的利益有多大, 会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本。下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用。

通过以上举例我们知道利用概率知识在经济领域有很重要的应用价值和意义，概率论是在其他领域都有广泛应用，实在是一门应该好好掌握的科学。

五、概率在中学数学中的价值以及意义

概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。

概率论是随机数学的基础，其中蕴含着丰富的辨证思想。在中学阶段学习概率有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系、形成辨证的思想、增进学生对数学本质的理解。下面对概率的教育价值做一探讨。

(一) 从知识技能上来讲

概率的主要内容是在学习 “事件的可能性的基础上来学习如何预测不确定事件（随机事件）发生的可能性的大小”, 系统地理解概率的意义及求概率的方法，为下面学习求比较复杂的情况的概率打下基础。掌握用概率预测随机发生的可能性大小，在日常生活、自然、科技领域有着广泛的应用，学习了概率知识，无论是今后继续深造（高中学习概率的乘法定理）还是参加社会实践活动都是十分必要的。

1. 有利于学生理数学的本质

数学家华罗庚曾说过：“一条原则， 无数内容；一种方法， 到处可用”。 在概率的教学过程中，更应让学生体会其深刻内涵。概率论是随机数学的基础，而随机问题是高维的确定性问题作低维处理的一种方式，如每次掷骰子的结果，应该是其初始条件向量与过程中很多细微因素共同形成的，皆因现在无力探知掌握和控制它们，这才将其（很多因素）统一地以一个随机因素来表示。从随机数学意义上讲，确定数学建模中也丢掉了不少“弱”因素，本应在确定模型后加上一个随机项以表示一切丢掉了的多维随机因素，皆因这些因素比较“弱”，处理时将它们省略了。 因此，概率的教学有助于学生对数学本质的认识

2. 有利于增强学生动手试验能力和数学兴趣的培养

概率教学中存在着大量的有趣的实践活动，如硬币、掷骰子等。学生参加了这些实践活动后，不仅能够真正掌握这些内容，体会其中的思想内涵, 而且由于学习过程的轻松愉快，更易于培养学生学习数学的兴趣。因此，中学数学概率的教学，将有效地促进学生学习方法的改变，提高学生动手试验能力，培养学生学习数学的兴趣。

3. 有利于学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系

众所周知，概率具有丰富的现实背景，在现实生活中有着广泛的应用，在科技高速发展

的今天，概率更加显示出其广泛的应用性，如“生日问题”、“晚会礼物问题”、“ 中奖问题”、“ 抽检问题”、 商界的各种风险投资、气候的瞬息万变等在日常生活中随处可见的现象都与概率有着千丝万缕的联系，而这些同样又是其他学科要讨论的重要话题之一。 因此，概率的学习，对于学生认识数学与现实生活及其它学科的联系，体会概率在刻画和解决实际问题中的作用，感受数学的应用价值起着非常重要的作用。

(二) 从思维能力方面讲

1. 有利于培养学生的数学思维

在概率的教学中，从集合到事件，一般变量到随机变量的延伸中充满了数学思维方法。 通过这些让学生切实体会到数学思维的本质，从类推中学生体会到数学抽象思维的层次性； 而随机变量是以前学习过的变量的扩充，从离散型随机变量的认识中，学生初步体会到数学知识基本的扩充方式： 内容的扩充（ 研究对象的扩充）和研究方法的扩充。 因此通过概率的学习，有助于学生认识数学知识形成过程中的思想方法和建构特点，体会数学抽象思维的层次性，进而理解数学思维的本质。

2. 有利于学生辨证思想的形成

在我们生活的现实世界中，充满了许多不确定的现象，如投掷一枚硬币，可能正面（国徽）向上也可能反面（文字）向上，结果是不确定的，可是经过无数次的投掷，就会发现其正面向上和反面向上的几率是均等的。但这并不能保证投掷100次正面向上50次，实际上正面向上50次只有8%。在射击实验中，射手射中某一环的概率是局部问题，如果全面考察各环则是涉及随机变量的分布列的全局问题。通过这些随机现象的教学，学生可以感知偶然与必然、变与不变、有限与无限、确定与不确定、局部与整体的对立与统一，这些都有助于学生辨证思想的形成。

(三) 从学生解决实际问题的能力来讲

在统计与概率学习活动中，学生能够从生活中发现数学问题，自觉地运用已有的知识和生活经验分析解决实际问题，体会统计知识、方法与现实生活、科学技术和社会的密切联系，从而加深对数学应用价值的感受。小学生通过学习统计与概率知识，可以密切联系生活及社会现象，遇到类似问题能用统计与概率的思想去分析认识，从而提高了他们分析和解决实际问题的能力。

(四) 从人文价值上来讲

1. 有助于培养学生用随机的观点理解世界，形成正确的世界观与方法论

日常生活中，人们经常要在不确定的情况下作出决定，如足球迷在买足球彩票时要预测每场比赛的结果，病人家属要根据医生所说的治愈机会决定是否进行手术，买医疗保险对哪个年龄阶段的人最为有利，等等。这类事件发生的可能性大小与人们的生活和工作密切相关，学习概率知识，有助于更好地把握和理解风险，帮助人们作出合理的推断和预测。因此，让学生了解、理解随机现象将有助于他们形成科学的世界观与方法论，用随机的观点理解世界。

2. 培养了积极的学生人生观

学生通过中学数学中学习概率知识, 还可以培养一种脚踏实地的人生态度态度，以下我们用概率的观点和知识加以阐述：

日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗? 我们以级考试为例来说明这个问题。

考试是全面检验学生效果的一种考试，具有一定难度，假设考试都是选择题，共85道，每道题有A 、B 、C 、D 四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过考试吗？答案是否定的。假设及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。

概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。

因此，培养了学生在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。

结束语： 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容。是培养公民素质的基础课程。高中数学课程对于认识数学与自然，数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值，文化价值，提高分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。高中数学课程是学习高中物理，化学，技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观，价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。

2003年颁布了“普通高中数学课程标准”。加大了中学概率统计的教学改革力度，增加了许多概率统计和数据处理的内容。现在中学数学课程由代数、几何、概率统计、综合实践应用等四大模块构成，将概率统计放到与代数、几何同等重要地位。至此概率统计内容经过“三起三落”终于在薪课程中确立了它应有的地位，这是我国为适应社会进步、与国际数学教育接轨而做出的英明决策，也是中学数学教育的一大幸事。

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