湖北省高三四月调考

2013年湖北省高三年级联合考试数（文史类）

一、选择题：

1. 已知集合A={1，2，3} , BA= {3}, BA={1，2，3，4，5}，则集合B的子集 的个数为

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

2. 命题“xR,x2x20”的否定是

A xR,x2x20 B xR,x2x20 C xR,x2x20 D xR,x2x20

3. 已知a，β表示两个不同的平面，l为a内的一条直线，则“a//β是“l//β”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.

充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 函数f(x) =2x-sinx的零点个数为 A. 1

2

B. 2 C. 3 D. 4

5. 不等式x2x是

a16b

对任意a，b∈ (0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围ba

A. ( -2, 0) B. ( -∞, -2) U (0，+∞)C. ( -4，2) D. ( -∞，-4) U (2，+∞) 6. 如右图所示，程序框图输出的所有实数对 (x，y)所对应的点都在函数

A. y =x + 1的图象上B. y=2x的图象上 C. y=2x的图象上 D. y=2x-1的图象上

7在区间[0, ]上随机取一个数x,则事件

“sinxcosx”发生的概率为

8. 定义：函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1

c (其中c为常数）成立，则称函数f(x)

在D上的几何均值为c则 下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为2的是

A. y = x +

1

2

B. y = sinx + 3C. y=e(e为自然对数的底） D. y= |lnx|

x

y2

21(ab0)有相同的焦点F，点A

b

是两曲线的一个交点，且AF丄y轴，则双曲线的离心率为

3xy

60



10.设x,y满足约束条件xy20，若目标函数z =ax+by (a>0, b>0)的最大值

x0,y0

二、填空题：

13.已知正方形ABCD的边长为1,则｜2｜=_______.

14. 某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查

了 lOOO名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为:_____现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出1OO人作进一步调查，则月收入在[3500，4000)(元）内应抽出______人.

15.某三棱锥P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角 形，则三棱锥的表面积是______.

16挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关

系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：

a1b1+a2b2+a3b3+„+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+„+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn

则其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ．

17.若直线x=my-1与圆C:x2 +y2 + mx + ny + p = O 交于 A, B两点，且A，B两点关于直线y = x对称，则实数P的取值范围为_______.

18 (本小题满分12分)已知向量=(sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，设函数f(x)=

·．

(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=3，b=f(

5),ΔABC的面积为，求a的值 62

19.(本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已 知平面AA1C1C丄平面

(I)求证：BD丄AA;

1

(II)若四边形ACC1A1是菱形，且A1AC=600，求四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积.

20.(本小题满分13分）数列{an}是公比为

1

的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前2

n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)． (I)求数列{an}的通项公式及的值；

11111

(Ⅱ)比较+++„+与了Sn的大小．

T1T2T3Tn2

21.(本小题满分14分）在矩形ABCD中，|AB|=23，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且

|OR||CR'|1

==.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：|OF||OF|n

x2

+y2=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜3

率之积为

22. (本小题满分14分）已知函数f(x）=ax3 + x2 - ax (aR且aa0).

(I)

A的值；

2

，求证：直线MN过定点 3

¥在（1(b> -

(III)如果存在a(,1)，使函数h(x)=f(x)+ f(x) ,x[1,b] 1)，在x = -1

处取得最小值，试求b的最大值.

2013年七市联考数学试题(文史类)（B卷）

参考答案

一、选择题：CDAAC DCCBA 二、填空题：11.

24

； 12.1； 13. 7

14. 3400 ， 25；

15.3；

16.（Ⅰ）a1a2a3（Ⅱ）a1a2a3an 17.p

；2（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）

18.

解：（Ⅰ）f(x)mn2x22cosx2xcos2x3 2sin(2x



2

3



6

)3

2

„„„„„„„„ 4分 

2



由2k2x2k,kZ得kxk,kZ

26236

∴f(x)的最小正周期T ∴f(x)的单调递增区间为k

„„„„„„„„„3分





3

,k



(kZ) „„„„„„„„6分 6

（Ⅱ）bf(

511

)2sin32sin232sin32 „„8分

6666

1SABCbcsinAc1 „„„„„„„10分

2 在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA14212

1

3

2

a„„„„„„„„ 12分 19.解：（Ⅰ）在四边形ABCD中，因为BABC，DADC，所以BDAC „„„2分

又平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC

BD平面ABCD，所以BD平面AA1C1C „„„„„„4分 又因为AA1平面AA1C1C，所以BDAA1． „„„„„„„„6分 （Ⅱ）过点A1作A1EAC于点E，

A11 ∵平面AA1C1C平面ABCD ∴A1E平面ABCD，

即A1E为四棱柱的一条高 „„8分 又∵四边形ACC1A1是菱形,且A1AC60， ∴ 四棱柱ABCD

A1B1C1D1的高为hA1E60 又

∵

四

棱

柱

ABCDA1B1C1D1



A第19题图

C

B

3

„„„„9分 2

的

底

面

面

积

SABCD

113ACBD()222

„„„„„„„10分 ∴ 四棱柱ABCD

A1B1C1D1的体积为V20、解：（Ⅰ）由题意(1a2)2a1(a31)，即(1

解得a1

3 „„„„„„„12分 

211

a1)2a1(a11) 24

11

，∴an()n „„„„„„„2分 22

T1b28(8d)

又，即 „„„„„„„4分

T2b16d2(82d)32

1

11

解得 或（舍）∴ „„„„„„„6分 2

2d0d81

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn1()n„„„„„„„7分

2

1111

Sn()n1 ① „„„„„„„9分 2224

11111()又Tn4n24n，„„„„„„„11分 Tn4n(n1)4nn1

∴

∴

[1**********]1(1)(1) ②„12分 T1T2Tn4223nn14n14

由①②可知

1111

Sn „„„„„„„13分 T1T2Tn2

21、解：（Ⅰ）∵分

OROF



CRCF



n11

) „„„„1，R，∴Rnn

n

又G(0,1) 则直线GR

的方程为yx1 ① „„„„2分 又E(0,1) 则直线ER

的方程为y 由

①②

x1 ② „„„„3分 得

n21P2)„„„n1

„4分

2

n2124n2(n21)2 (2)1 „„5分 3n1(n21)2

x2

y21上„„6分

∴直线ER与GR的交点P在椭圆:3

（Ⅱ）① 当直线MN

的斜率不存在时，设MN:xt(t

1

则M(tN(t, ∴kGMkGN ,不合题意 „„„„8分

3② 当直线MN的斜率存在时，设MN:ykxb M(x1,y1),N(x2,y2)

ykxb



联立方程x2 得 2

y13

(13k2)x26kbx3b230

则12(3kb1)0 ，

2

2

6kb3b23

x1x2x1x2„„10分

13k213k2

又kGMkGN

y11y21k2x1x2kb1x1x2b12

x1x2x1x23

2

即(3k22)x1x23k(b1)(x1x2)3(b

1)20

6kb3b23

，x1x2 将x1x2代入上式得b3 „„„„13分 22

13k13k

∴直线过定点T(0,3) „„„„14分

22.解：（Ⅰ）f'(x)3ax2xa „„„„„„„1分

2

11

函数f(x)在,1和,上是增函数，在1,上是减函数，

33

f'(1)03a2a0

1∴1,为f(x)的两个极值点，∴即a2 „„„„„„„3分 1

f'()0a03333

解得：a1 „„„„„„„4分

3

lnx，g(x)的定义域为0,， a

132

2a(x)(x)

32a2x2ax3 „„„„„„„5分 g'(x)2ax1axaxax

11

当a0时，由g'(x)0解得x(0,)，g(x)的单调减区间为(0,) „„„„7分

aa

33

当a0时，由g'(x)0解得x(,)，g(x)的单调减区间为(,)„„9分

2a2a

（Ⅱ）g(x)axxa

2

（Ⅲ）h(x)ax3(3a1)x2(2a)xa，据题意知h(x)h(1)在区间1,b上恒成

2

ax(2a1)x(13a)立，即(x1)0① „„„„„„„10分

当x1时，不等式①成立；

2

当1xb时，不等式①可化为ax(2a1)x(13a)0② „„„„„„11分

2

令(x)ax(2a1)x(13a)，由于二次函数(x)的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又(1)4a0，所以不等式②恒成立的充要条件是(b)0，即ab(2a1)b(13a)0 „„„„„„„12分

2

b22b31

，因为这个关于a的不等式在区间,1上有解，所以 即

b1a

b22b3111„„„„„„„13分 ()max1b

b1a22

又b

1，故1b

注：解答题中，若有不同解法，只要思路清晰，解法正确，请酌情给分。

11，bmax „„„„„„„14分 22