平均速度和瞬时速度

平均速度和瞬时速度

有的同学问：作自由落体运动的物体在第一秒末的速度已经是vgt9.8m/s2，为什么在第一秒内通过的路程只有s1212gt9.8m/s21s4.9m？意思是说，应该是22

9.8米才对。这说明同学们对瞬时速度和平均速度的概念还没有透彻的理解。要知道作自由落体运动的物体在第一秒末的速度v19.8m/s，这仅仅是它在第一秒末的瞬时速度，但是它在第一秒内每个时刻的瞬时速度都是不同的。例如，它在第一秒初的速度v00，因为自由落体运动是匀加速运动，在第一秒内的平均速度v0vt09.8m/s4.9m/s，所22

以它在第一秒内通过的路程s4.9m，而决不会是9.8m。

我们知道，瞬时速度就是指物体在某一时刻或某一位置上的速度。物体作匀变速运动时，在某一进户或某一位置上的瞬时速度可用公式vtv0

at和vt速运动中，当我们讲到瞬时速度时，应该指明什么时刻或什么位置上的速度；否则就没有意义。同样在讲到平均速度时，必须指明是那段时间或那段位移上的平均速度，因为所取时间的长短或路程范围的不同，平均速度也不一样。应该注意，计算平均速度公式运动的公式vs和匀速tss是有不同意义的。公式是表示变速运动在时间t内所有瞬时速度的tt

平均值，既然是平均值，它就不能代表每进户的真实速度；而且所取的时间长短不同，也不一样。但公式v

长短而变化。

作变速运动的物体，在时间t内的平均速度只有一个值，但在时间t内瞬时速度是有无数个值的。因为时间t是由连续不断无数个时刻组成的组成的。每一时刻瞬时速度的值，一般来说都不相等。所以平均速度既不时间t内的初速度，也不代表它的末速度，而是在时间内所有即时速度的平均值。

计算作变速运动的物体在时间t内所有瞬时速度的平均值的时候，所取的时间短些，则

s代表匀速运动在时间t内任何时刻的瞬时速度，它的值不随时间t的t

平均速度的值也就越来越接近了。因此，在理论上我们是用时间t的无限减小平均速度的极限来表示变速运动的瞬时速度。 对于匀变速运动，在某段时间内的平均速度

不适用了。

在中学中我们讲的速度，一般都是指瞬时速度，而不是指平均速度。例如，动量守恒定v0vt，但对非匀变速，这个公式就2

m2v2的v1、、分别代表第一个物体和第二个物体在碰撞律公式m1v1m2v2m1v1v2及v1v2

v2

前和碰撞后两个时刻的瞬时速度。应用向心加速度公式a来解决有关圆周运动习题的R

时候，大家应注意，公式中的v必须是某一时刻的瞬时速度，而不能用某段时间内的平均速度来代替它。例如：在下面的一道题中：把一条线的上端固定，在它的下端拴一个质量为500克的砝码，然后拿着砝码使线水平伸直，再放手让砝码运动，当砝码经过最低点时，线的拉力多大？应该注意题中要我们求砝码经过最低点时线的拉力。要知道在本题的条件下，砝码并不是作匀速圆周运动，而是作变速圆周运动。正因为砝码在不同位置上它的向心加速度的和所无原则的向心力都不相同。砝码在最低点这一位置上的瞬时速度不难根据机械能守恒定律1mvt2mgL（L

为线长）求得：vt2

速度：

vt22gLa2g RL

所无原则的向心力：Fmam2g2mg

因为在此情况下的向心力就是绳子拉力T和砝码所受的重力P＝mg 的合力，即即： FTP

由此可求得绳的拉力：TFP2mgmg3mg1.5g15N

有的同学认为本题的v应等于砝码在最高位置上初速度加上最低位置上的末速度，再除

v2

以2。显然，这是完全不对的。这不仅是错误地把公式a中的v理解为平均速度，而R

且又把仅适用于求匀变速运动的平均速度公式

求运动物体动能公式v0vt用到非匀变速运动中去了。 212mv中的v，一般都是指瞬时速度，而决不能应用某一运动物体2

在某段时间内的平均速度。譬如说，质量为m 的子弹，离开枪口时的速度为v，我们可以这样说，子弹在枪膛中的运动的时间内所获得的动能为

子弹在枪瞠中运动时的平均速度12mv。但是，我们决不能说：因为2v0vtvt（假设它作匀加速运动），所以在枪筒中子22

211v弹所获得的平动能E2mt。在分子物理学和热学中我们还会遇到“分子平222

均动能”这一物理概念，但那时所的平均速度和平均动能并不是对单个分子而言的。而指大量分子作无规则热运动时的平均速度和平均动能。在力学中，我们指的物体的动能总是指单独一个运动物体所具有的做功的本领，所以“平均动能”是没有实际意义的。

但在计算功率的公式N＝Fv中的v可用瞬时速度也可用平均速度。如果用瞬时速度，求得的功率为某一时刻的瞬时功率；如果用平均速度，求得的功率某一时间内的平均功率。例如，一吨重的升降机，由地面开始以a2m/s匀加速竖直上升，求头2秒内发动机输出的平均功率和第2秒末的瞬时功率。同学们常常这样计算：

因为，发动机的牵引力 2

Fmamg1032N10310N12103N

2 秒内上升的高度

h121at222m4m 22

头两秒内发动机所做的有用功

WFh121034J4.8105J

所以头两秒内发动机输出的平均功率

W4.8105J2s24KW t

以因为 第二秒的速度vtat22m/s4m/s

所以 第2秒末的瞬时功率：

3W4.8104W48KW tFv12104

实际上此题求平均功率时应用平均速度较方便： 因为头两秒内的平均速度：

所以，输出的平均功率为 v0vt04m/s2m/s 22

121032W2.4104W24KW

由以上所举的一些例子可以看出，搞清平均速度和瞬时速度的不同概念，可以使我们在解有关力学习题时少犯错误，同时还可启发我们能够灵活地选择最简捷的解题方法。