14-微分中值定理
费马定理
微分中值定理
罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理
导数与差商
差商
f(xx)f(x)limx0
x
导数是x
0
f(xx)f(x)的极限值.
x
在点 x 处的差商
宏观上
极值的定义
f(x)f(x0) xN(x0) ,
则称 f(x0) 为 f(x) 的极大值 ,x0为极大值点;
f(x)f(x0) xN(x0) ,
则称 f(x0) 为 f(x) 的极小值 ,x0为函数的极小值点 .
x=0时,函数是否取得极值?
函数的极值点可能连续,也可能间断;
函数在极值点可能可导,也可能不可导反过来会怎么样?。
设 f(x) 在区间 I 内有定义, 且在 I 内某点
f 处取极大(小)值. 若 f() 存在 , 则必有()0 .
证
在 x 处取极大值 f(),则有
f(x)f() xN()
若 f() 存在, 则
f(x)f()
f()lim0 ,
x0xf(x)f()
f()lim0 ,
x0x
于是
f()0 .
(极小值类似可证)
设
(1) f(x)C([a, b]) ;
(2) f(x) 在 (a, b) 内可导 ;
y
yf(x)
(3) f(a)f(b) ,
AB
则至少存在一点
(a, b) , 使得 f()0 .
O
a
bx
证
f(x) , mxminf(x) f(x)C([a, b]) 令 Mxmax[a, b][a, b]
(1) 若 Mm故 (a, b) , 均有 f()0 .(2) 若 mM (即 Mm)
但f(x)不可能在xa和xb处分别取到M和m.即至少存在一点 (a, b), 使得f()M 或 f()m.
由费马定理可知:f()0 (a, b) .
例1
设 a,b,c,d 皆为实数, abcd,
f(x)(xa)(xb)(xc)(xd) ,
证明方程 f(x)0 仅有三个实根, 并指出根所在区间 .
证
f(x)C([a, b],[b, c],[c, d] ) , 又 f(a)f(b)f(c)f(d)0 ,
f(x) 是四次多项式, 在 (,) 内可微 ,
在 [a, b] ,[b, c] ,[c, d] 上运用罗尔中值定理 , 得
f(1)f(2)f(3)0 . 其中,1(a, b) , 2(b, c) , 3(c, d) .
则f(x)0至少有三个根。
f(x) 是四次多项式 , f(x) 是三次多项式 , f(x)0 至多有三个实根 .
综上所述,
f(x)0 仅有三个实根 ,分别在(a, b), (b, c), (c, d) 中 .
设f(x)C([a,b]),且在(a,b)内可导,证明:
2x (f(b)f(a))(ba)f(x)在 (a, b) 内至少有一根 . 22
证令 F(x)x(f(b)f(a))(ba)f(x)222
则F(x)C([a, b]) , F(x) 在 (a, b) 内可导 ,
又 F(a)F(b)af(b)bf(a)22
由罗尔定理, 至少存在一点(a, b) 使得F()2 (f(b)f(a))(ba)f()0即 结论成立.22
设f(x)C([a,b]),且在(a,b)内可导,证明:2x (f(b)f(a))(ba)f(x)在 (a, b) 内至少有一根 . 22
证令 F(x)x(f(b)f(a))(ba)f(x)
则由 f(x) 的连续性和可导性 , 得 222
F(x)C([a, b]) , F(x) 在 (a, b) 内可导 ,
又 F(a)F(b)af(b)bf(a)22
由罗尔定理, 至少存在一点(a, b) 使得F()2 (f(b)f(a))(ba)f()022
即 方程在 (a, b) 内至少有一根 .
练习证明方程 a1cosxa2cos3xancos(2n1)x0
在( 0, )内至少有一根 ,其中实数 a1, , an 满足2a2n1ana1(1)032n1an证令 F(x)a1sin3xsin(2n1)x2n1
则 F(0)F(2
故 (0, ) 使F()a1cosa2cos3ancos(2n1)02
即方程在 (0, ) 内至少有一根 . 2
练习设 f(x),g(x)C([a, b]), 在 (a,b) 内二阶可导,
且 f(a)g(a), f(c)g(c), f(b)g(b), c(a,b), 证明: 至少存在一点 (a,b), 使得 f()g(). 证令 (x)f(x)g(x), 则 (a)(c), 由罗尔中值定理, 至少存在一点 1(a,c), 使得 (1)0. 同理, 至少存在一点 2(c,b), 使得 (2)0.
在 [1,2] 上对函数 (x) 再运用罗尔中值定理, 则
至少存在一点 (1,2)(a,b), 使得 (())()0,
即 f()g().
例3设 f(x), g(x) 在区间 I 上可微, 且有 f(a)0,
f(b)0, a, bI, 证明方程 f(x)f(x)g(x)0 至少存在一根 x0(a,b).
g(x)证由于 (e)e, e0 x(,), 所以, 令 F(x)ef(x), xxx
则由已知条件可知: F(x)C([a,b]), 在 (a,b) 内可导, 且 F(a)F(b)0, 故由罗尔中值定理: 至少存在一点 x0(a,b) 使得
F(x0)(e
因为 eg(x0)g(x)f(x))xxf(x0)e0g(x0)f(x0)eg(x0)g(x0)0. 0, 故有 f(x0)f(x0)g(x0)0, 即得所证.
y
yf(x)P
ABOabf(b)f(a)什么条件下有:f()ba
设(1) f(x)C([a, b]) ;
(2) f(x) 在 (a, b) 内可导 ,
则至少存在一点(a, b) , 使得
f(b)f(a)f()ba
即
: f(b)f(a)f()(ba)
此命题辅助函数的做法不止一种!
证明:令 (x)(f(b)
则:f(a))xf(x)(ba)(x)C([a, b]) ,(x)在 (a, b) 内可导 .
(a)(b)f(b)af(a)b ,
故由罗尔定理,至少存在一点(a, b) , 使得()=f(b)f(a)f()(ba)0即: f(b)f(a)f()(ba)
不论 ab 还是 ab 定理中的公式均可写成f(b)f(a)f()(ba) ( 在 a, b 之间)拉格朗日有限增量公式
f(xx)f(x)f(xx)x (01)yf()x ( 在 x 与 xx 之间)
拉格朗日中值定理的公式可写成
|f(b)f(a)| |f()||ba| ( 在 a, b 之间)
若 f(x)0 , xI , 则 f(x)C , xI . 证明恒等式若 f(x)g(x) xI , 则 f(x)g(x)C xI .(其中 C 为常数 )
例4
证证明: arcsinxarccosx, x[1, 1] .2令f(x)arcsinxarccosx, x[1, 1] ,
则 f(x)C([1, 1]),在[-1,1]上可导,且:
11f(x)()0 , 22xx
2arcsinxarccosxx[1, 1] . 2所以:f(x)C,又由:f(0),知:
例4证明: 若 f(x) 在 (, ) 内满足关系式
f(0)1 , f(x)f(x) , 则 f(x)e.x
证f(x)令 (x)x, x(, ),e
f(x)ef(x)e0, x(, ), (x)2xexx
(x)C, x(, ).
f(0)故 (0)01e
从而x又 f(0)1 ,C1 . f(x)e, x(, ) .
若 f(x) 在区间 I 可导 , 且 f(x)0 (f(x)0) , 判断单调性则 f(x) 在区间 I 上单调增加 (减少).
f(x)0f(x)严格单增;
f(x)0(""只是在孤立点成立)f(x)严格单增设 f(x) 在区间 I 内可导 ,且在 a右连续, 证明不等式若 f(x)0 x(a, b)I ,
f(x)f(a) , x(a, b) .
改为:f(x)0,x(a,b),""只在一些孤立点上成立,
若 f(x) 在 [a, b] 上满足拉格朗日中值定理的条件,则 |f(x)|M |f(b)f(a)|M|ba| 证明不等式mf(x)Mm(ba)f(b)f(a)M(ba)
例5
证讨论 yxlnx, x(0, ) 的单调性 .y(xlnx)lnx1 ,
当 x1/e 时,y0,
当 x1/e 时,y0,
当 0x1/e 时,y0,
故 xlnx在区间(0,1/e)单减,在区间[1/e,)单增。.
例6讨论 yxsinx 在 [0, 2] 上的单调性 .
证 yxsinxC( [0, 2] ) ,
y1cosx0 , x(0, 2) ,
yxsinx[0, 2] .
例7
证1babba证明: 当 0ab 时 , ln.baa令 f(x)lnx , x[a, b] ,
则 f(x) 在 [a, b] 上满足拉格朗日中值定理条件,故lnblna1
(ba) ab,
从而babbaln. baa
例7
证2babba证明: 当 0ab 时 , ln.baaf(x)xaxlnxxlna , x(a, b) ,
f(x)lnalnx0,x(a, b)
故f(x)在(a,b)单调递减,且在端点xa处右连续,所以由推论5知f(x)f(a)
1令xb(ba)lnblnab
另一个不等式类似可证。
练习:x证明: 当 x0 时, ln(1x)x.22
练习:2证明: 当 0x时, sin xx .2
例9
解:tan(tanx)tan(sinx)求极限 lim.x0tanxsinx2tan(tanx)tan(sinx)sec(tanxsinx),在tanx与sinx之间。
即sinxtanx,
由夹逼定理知,当x0,0,
所以原式limsec12
x0
例10
解:求极限 limx0exe.xxexee(xx)~exx,x0;
xx,由夹逼定理知,当x0,0,
所以原式1
例11
解:f(tanx)f(sinx)设函数f(x)满足f(0)0,f(0)2,求 lim.4x0x
f(tanx)f(sinx)f()(tanxsinx)
x~f(),x023其中介于sinx,tanx之间。
f()f(0)1f()f(0)1所以原式limlimlim1x0x202x0x
f(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶可导,弦AB交曲线于C(c,f(c)),例12
y证明(a,b)使得f()0.
解:假设弦AB的斜率为k,
在区间[a,c]和[c,b]上分别使用
拉格朗日微分中值定理,
cyf(x)C1(a,c),2(c,b),f(1)f(2)k,
Oabx
再在[1,2]上对函数f(x)使用罗尔微分中值定理,(1,2),使得f()0.
例13设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)f(b)1,
则,(a,b),使得(f()f())e1.
分析:(f()f())ee
(f(x)e)xx(e)x
x
例13设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)f(b)1,
则,(a,b),使得(f()f())e1.
证明:对函数f(x)ex在区间[a,b]上用拉格朗日微分中值定理,
f(b)ef(a)e(a,b),使得(f()f())e,baba
对函数e在区间[a,b]上使用拉格朗日微分中值定理,
ee(a,b),使得e,babax
利用已知条件,并将上面两式联立,得到结论。
1例14设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f(0)0,f(1),2
证明(0,1),使得f()f().
1211证明:对函数f(x)x在区间[0,]和区间[,1]上,分别两次利用222
拉格朗日微分中值定理,
11f()1(0,),使得f(),2
211f()f().f(1)1(f())1(,1),使得f(),212
设弧 AB 的参数方程为
yf(t)
xg(t)yyf(x)B则弧 AB 上任意一点处的切线的斜率为A
dyf(t)dxg(t)O而弦的斜率为
f(b)f(a)kg(b)g(a)
四. 柯西中值定理
设(1) f(x) , g(x)C([a, b]) ;
(2) f(x) , g(x) 在 (a, b) 内可导 , 且 g(x)0 ,则至少存在一点(a, b) , 使得
f(b)f(a)f()g(b)g(a)g()
f()
(g(t)0)g()
令 F(x)(f(b)f(a))g(x)(g(b)g(a))f(x)x[a, b]则 F(x)C([a, b]) , F(x) 在 (a, b) 内可导 .
又 F(a)F(b)g(a)f(b)g(b)f(a)
故由罗尔中值定理至少存在一点(a, b) , 使得F()0 , 即
(f(b)f(a))g()(g(b)g(a))f()0
亦即
f(b)f(a)
g(b)g(a)f()
(a, b) .g()
例15
设 x1 与 x2 同号, 证明:x1ex2e(1)e(x1x2)
x2
x1
其中, 在 x1 与 x2 之间 .
eexxxx
xexexxx1ex2e12
即要证(1)e而x1x2x1x2
x2x1
2
1
析分
x1 与 x2 同号, 故 x0 不在 x1 与 x2 之间 .
x2
x1
2
1
证
e1
令 f(x), g(x),
xx
f(x), g(x) 在以 x1 和 x2 为端点的区间内
x
x0, 且满足柯西中值定理条件, 从而有
eeee2x2x1
(1)e ,
2x2x1
x2x1
即 x1ex2e(1)e(x1x2) , 在 x1 与 x2 之间 .
x2
x1
例9
设 x1 与 x2 同号, 证明x:1ex2e(1)e(x1x2)
x2
x1
其中, 在 x1 与 x2 之间 .
析分
11
然后在 与 构成的区间上此题也可令 f(x)xe,
x1x2
1
x
用拉格朗日中值定理证明.
例14
设函数f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,a0,
则,(a,b),f()f().
ba
2
f()
abf()
2
f(b)f(a)
f(),
ba
f(b)f(a)f()
2ba
例15设函数f(x)C([a,b]),则(a,b),使得对于x(a,b],成立:
f()f(x)f(a)f(a)(xa)
.22(xa)
2
令g(x)f(x)f(a)f(a)(xa),h(x)(xa)
则g(a)0,h(a)0,g(a)0,h(a)0,
2
两次连续使用柯西微分中值定理有:1(a,x),(a,1),
g(x)g(a)g(1)g(1)g(a)f()
h(x)h(a)h(1)h(1)h(a)2
f(a)f(b)
图形旋转
g(x)x
参数方程
RolleLagrange
推广
Cauchy
Taylor
引理1
设 f(x) 在 [a,b] 上处处可导, 且 f(a)f(b)0, 则至少存在一点 (a,b), 使得 f()0.
引理 1 中不要求 f(x) 连续.
达布中值定理
设 f(x) 在 [a,b] 上处处可导, 且 f(a)f(b), 则对介于 f(a) 和 f(b) 之间的任何一个数值 , 都至少存在一点 (a,b), 使得 f().
不妨设 f(a)0, f(b)0.
f(x)f(a)
由 limf(a)0, 根据极限的保号性得xaxa
f(x)f(a)
0, xN(a),
xa
x1N(a)(a,b), s.t. f(x1)f(a).
由此断定 f(a) 不是 f(x) 在 [a,b] 上的最小值.
类似地, 可以断定 f(b) 不是 f(x) 在 [a,b] 上的最小值. 综上所述, 可知至少存在一点 (内点) (a,b) 使得
()0. f()minf(x), 故由费马定理得 fx[a,b]