洛必达法则

98 第2章 微分和微分法·导数的简单应用

§2-5 洛必达法则

洛必达和伯努利兄弟俩都是莱布尼茨的支持者。洛必达根据伯努利的讲稿写出了最早的一本微分学教科书。他在这本书中提出了求函数极限的洛必达法则，使形式为

lim

0f (x ) ⎛0⎫

[其中记号“”是指lim f (x ) =0且lim g (x ) =0] ⎪x →a (∞) x →a (∞) 0g (x ) ⎝0⎭

x →a (∞)

的极限可以很容易地求出来。现在，人们通常称它为洛必达第一法则。而求函数极限

lim

∞f (x ) ⎛∞⎫ [其中记号“”是指lim f (x ) =∞且lim g (x ) =∞] ⎪x →a (∞) x →a (∞) ∞g (x ) ⎝∞⎭

x →a (∞)

的洛必达第二法则是后来由柯西补充的。请读者注意，在洛必达第二法则中，实际上只要求．．．．．．

lim

x →a (∞)

g (x ) =∞(而不必须有．．．．．lim

f (x ) =∞) .

(*)

x →a (∞)

在洛必达法则的证明中，用到下面的柯西中值定理. 它是微分中值定理的推广.

柯西中值定理 设函数f (x ) 和g (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 内有导数. 若

g '(x ) ≠0(a

f (b ) -f (a ) g (b ) -g (a )

=f '(c ) g '(c )

(a

特别，当g (x ) =x 时，它就变成微分中值定理.

证 令

h (x ) =g (x ) [f (b ) -f (a ) ]-f (x ) [g (b ) -g (a ) ]

则这个辅助函数h (x ) 满足罗尔定理的条件，所以有c ∈(a

h '(c ) =g '(c ) [f (b ) -f (a ) ]-f '(c ) [g (b ) -g (a ) ]=0

注意到g (a ) ≠g (b [) 否则，根据罗尔定理，将有点ξ∈(a , b ) 使g '(ξ) =0. 这与

g '(x ) ≠0(a

矛盾x

f (b ) -f (a )

g (b ) -g (a )

=

f '(c ) g '(c )

(a

洛必达第一法则 若函数f (x ) 和g (x ) 满足条件：

，有导数f '(x ) 和g '(x ) 且g '(x ) ≠0； (i ) 对于点a 近旁的x ≠a （或绝对值足够大的x ）

(ii ) lim f (x ) =lim g (x ) =0；

x →a (∞)

x →a (∞)

(iii ) lim

f '(x ) g '(x )

x →a (∞)

=A (有限数或±∞) ；

则有

(*)

阎占立, 关于不定型

∞∞

的求法的注记, 高等数学(上海), 第2卷第2期(1986).

§2-5 洛必达法则 99

x →a (∞)

lim

f '(x ) f (x ) ⎛0⎫

lim =A = ⎪x →a (∞) 'g (x ) ⎝0⎭g (x )

证 首先对“x →a ”的情形来证明. 补充函数值f (a ) =g (a ) =0，则对于点a 近旁的

x ≠a ，根据柯西中值定理，有点c =c x (与x 有关) ，使

f (x ) g (x )

=

f (x ) -f (a ) g (x ) -g (a )

=

f '(c ) g '(c ) f '(c ) g '(c )

(a 注意到当x →a 时，也有c =c x →a ，所以有

lim

f (x ) g (x )

1x

x →a

=lim

c →a

=lim

f '(x ) g '(x )

x →a

=A

-1

其次，当x →∞时，则y =→0. 令F (y ) =f (y

-1

) ，G (y ) =g (y ) , 则

-2-2

(i ) 对于接近0的y ≠0，有导数F '(y ) =f '(x ) ⋅(-y ) 和G '(y ) =g '(x ) ⋅(-y ) ≠0；

(链式规则) (链式规则)

(ii ) lim F (y ) =lim f (x ) =0,

y →0

x →∞

lim G (y ) =lim g (x ) =0；

y →0

x →∞

(iii ) lim

F '(y ) G '(y )

y →0

=lim

f '(x ) g '(x ) =lim

=A . F '(y ) G '(y )

x →∞

根据前面所证，lim

F (y ) G (y )

=A . 因此，

y →0y →0

x →∞

lim

f (x ) ⎛0⎫F (y ) f '(x )

=A =lim ⎪=lim

x →∞g '(x ) g (x ) ⎝0⎭y →0G (y )

洛必达第二法则 若函数f (x ) 和g (x ) 满足条件：

，有导数f '(x ) 和g '(x ) 且g '(x ) ≠0； (i ) 对于点a 近旁的x ≠a （或绝对值足够大的x ）

(ii ) lim

x →a (∞)

g (x ) =+∞(-∞) ； f '(x ) g '(x )

=A (有限数或±∞) ；

(iii ) lim

x →a (∞)

则有

x →a (∞)

lim

f '(x ) f (x ) ⎛∞⎫

lim =A = ⎪x →a (∞) 'g (x ) ⎝∞⎭g (x )

∞∞

再次请读者注意，洛必达第二法则中不需要有 ．．．．．．．

x →a (∞)

lim f (x ) =∞(尽管在结论中用了记号)

这里省去了它的证明，有兴趣的读者可登陆网站（www.lxwjf.com ），去看专题选讲. 在很多情形下，不容易求出lim 法则是很有用的.

f '(x ) f (x ) ⎛0∞⎫

，而容易求出，所以洛必达lim 或 ⎪

x →a (∞) g (x ) ⎝0∞⎭g '(x )

x →a (∞)

100 第2章 微分和微分法·导数的简单应用

例20 求：⑴ lim

e -x 1-ln x

x →e

； ⑵ lim

ln x x

α

x →+∞

(α>0) .

解 ⑴ lim

e -x ⎛0⎫(e-x ) '-1

=lim =lim =lim x =e . ⎪x →e

x →e 1-ln x x →e x →e 1(1-ln x ) '⎝0⎭-

x

-1

ln x ⎛∞⎫(lnx ) 'x 1

⑵ lim α ⎪=lim =lim =lim =0 (α>0) . αα-1αx →+∞x x →+∞(x ) 'x →+∞αx x →+∞αx ∞⎝⎭

【注】在运用洛必达法则时，一定要检查它是否满足洛必达法则的条件. 不然的话，有可能造成错误！例如，

sin x (sinx ) 'cos x lim =lim =lim =∞ (错在何处？) x →0cos x x →0(cosx ) 'x →0-sin x

而实际上，lim

sin x cos x

x →0

=0. 再如 lim

x -sin x x +sin x

=lim

(x -sin x ) '(x +sin x ) '

=lim

1-cos x 1+cos x

不存在 (又错在何处?) ，

x →∞x →∞x →∞

而实际上，

x -sin x x +sin x

1-=lim

x →∞

sin x

x =1-0=1

sin x 1+0x

lim

x →∞

1+

洛必达法则的原意是用来求(未定型) 极限lim 些未定型的极限：

(0⋅∞) lim

x →a (∞)

x →a (∞)

f (x ) ⎛0∞⎫

或 ⎪，但是也可以用来求下面这

g (x ) ⎝0∞⎭

lim [f (x ) g (x ) ] （其中x →

a (∞)

f (x ) =0,

x →a (∞)

； lim g (x ) =∞）

[(±∞) -(±∞)]lim (1) lim (0) lim (∞) lim

00∞

x →a (∞)

[f (x ) -g (x ) ](当x →

g (x )

a (∞) 时, f (x ) 和g (x ) 是同号无穷大量) ；

f (x ) =1, f (x ) =0, f (x ) =∞,

lim

x →a (∞)

[f (x ) ]x →a (∞)

[f (x ) ]x →a (∞)

(其中lim

x →a (∞)

g (x ) =∞) ； g (x ) =0) ； g (x ) =0)

00

g (x )

(其中lim

x →a (∞)

lim

x →a (∞)

[f (x ) ]x →a (∞)

g (x )

(其中lim

x →a (∞)

lim

x →a (∞)

求这些未定型的极限时，都要先把函数做恒等变换，化成能直接用洛必达法则的未定型

例21 求： ⑴ lim ⎢

x →+∞

⎡⎛π

或

∞∞

.

1⎫⎫⎤⎛1

-arctan x ⎪x ⎥(0⋅∞) ； ⑵ lim -⎪[+∞-(+∞)]； +

x →12ln x x -1⎭⎦⎝⎭⎣⎝

1

⎛sin x ⎫x 2∞sin x 0lim x (0) ； (1) ⑶ lim ； ⑷ ⎪+

x →0x →0

⎝x ⎭

§2-5 洛必达法则 101

⑸ lim +(cot x )

x →0

1l n x

(∞0) .

解 对于⑴和⑵，都要先把函数变成商的形式，再用洛必达法则.

π

⑴ lim ⎢

x →+∞ =lim

⎡⎛π

⎫⎤

-arctan x ⎪x ⎥(0⋅∞) =lim x →+∞

⎭⎦⎣⎝2

-arctan x x -1

⎛0⎫

⎪=x lim →+∞⎝0⎭

-

1

2(化简) -x -2

2x ⎛∞⎫=lim =1 ⎪x →∞

x →+∞1+x 2∞2x ⎝⎭

⎛1⎝ln x

-

(x -1) -ln x ⎛0⎫⎫

[(+∞) -(+∞)]=lim ⎪ ⎪ +

x →1x -1⎭(x -1) ln x ⎝0⎭1

x 2

⑵ lim

x →1+ =lim +

x →1

1-x -1ln x +1-x -1

x -21⎛0⎫

=lim = ⎪x →1+-1-2

x +x 2⎝0⎭

g (x )

对于⑶、⑷和⑸，因为函数都是幂指函数，根据对数恒等式y =e ln y 和指数．．．．y =[f (x )]

函数连续性，所以

lim [f (x )]g (x ) =lim e g (x ) ln

f (x )

=e lim[g (x ) ⋅ln

f (x )]

从而变成求右端指数上的极限lim [g (x ) ⋅ln f (x ) ](0⋅∞或∞⋅0). 譬如，

1

⎛sin x ⎫ ⑶ lim ⎪x →0

⎝x ⎭

x 2

=e

sin x ⎫⎛1

lim ln ⎪2x →0⎝x x ⎭

. 其中，右端指数上的极限是 ln sin x

x

⋅

x cos x -sin x

22x

sin x ⎫⎛1⎛0⎫=lim (∞⋅0) =lim lim 2⋅ln ⎪ ⎪x →0

x →0x →0x ⎭x 2⎝x ⎝0⎭

(恒等变换) (用洛必达法则)

=

1212

lim

x sin x

x →0

⋅lim

x →0

x cos x -sin x ⎛0⎫x

(分离出有极限的因式后，再用洛必达法则) ⎪3

sin x x ⎝0⎭

(化简) =-

=⋅1⋅lim

x →0

cos x -x sin x -cos x

3x 2

16

lim

x →0

sin x x

=-

16

⋅1=-

16

因此，

1

lim 2ln

⎛sin x ⎫x 2x →0

lim =e ⎝x ⎪x →0⎝x ⎭

⎛1

sin x ⎫

⎪x ⎭

=e

-

16

=

1

e

请你接着做题⑷和⑸[答案：⑷1；⑸e

【注】在做题⑶的过程中，求极限

-1

].

x lim sin x

x →0

⋅

x cos x -sin x

x 2x

2

⎡x x cos x -sin x ⎛0⎫⎤=lim ⋅lim ⎪⎥ ⎢x →03

x →0sin x 2x ⎝0⎭⎦⎣

时，从函数中分离出一个有极限的因式

102 第2章 微分和微分法·导数的简单应用

x sin x

(x →0)

目的是为了简化极限运算. 一般情形下，每用一次洛必达法则，都应当检查一下是否可从函数中分离出一个或几个有极限的因式. 不然的话，继续用洛必达法则，有时可能带来很大麻烦，甚至有可能求不出极限来.

例22 若函数f (x ) 在点a 有导数f '(a ) ，根据可微分的定义，则有

∆f =f (a +x ) -f (a ) =f '(a ) x +o (x )

即f (a +x ) =f (a ) +f '(a ) x +o (x ) . 证明：若函数f (x ) 在点a 有二阶导数f ''(a ) ，则有

f (a +x ) =f (a ) +f '(a ) x +

特别(a =0) , 则有

f (x ) =f (0)+f '(0)x +

证 令

δ(x ) =f (a +x ) -⎢f (a ) +f '(a ) x +

⎣⎡

f ''(a ) 2

2⎤x ⎥ ⎦

f ''(a ) 2

x 2+o (x 2)

f ''(0)2

x 2+o (x 2)

根据洛必达法则，则有

lim

δ(x )

x 2

x →0

=lim

f '(a +x ) -f '(a ) -f ''(a ) x

2x

x →0

=

1

⎡f '(a +x ) -f '(a ) ⎤lim ⎢-f ''(a ) ⎥=0 2x →0⎣x ⎦

即δ(x ) =o (x 2) . 因此，

f (a +x ) =f (a ) +f '(a ) x +

f ''(a ) 2

x 2+o (x 2)

在§2-9中，我们将称它为“带皮亚诺余项的二阶泰勒公式”.

习题和选解

1.求极限(根据提示做下去):

⑴ lim

x →0

x -tan x ⎛0⎫(x -tan x ) '

=lim = ⎪x →0

x -sin x ⎝0⎭(x -sin x ) '

1⎫e x -1-x ⎛0⎫⎛1

⑵ lim -x

⎪=lim ⎪= x →0x →0x (ex -1) x e -1⎝⎭⎝0⎭

⑶ lim x αln x (α>0) =lim

x →0+

x →0+

ln x ⎛∞⎫

⎪= x -α⎝∞⎭

=e

x →0+

⑷ lim +x

x →0

ln(1+x )

=lim e

x →0+

ln(1+x ) ln x

lim

[ln(1+x ) ⋅ln x ]

=

1

⎛arcsin x ⎫x 2

⑸ lim + ⎪[同题⑷]= x →0⎝x ⎭

⎛1⎫⑹ lim + ⎪

x →0⎝x ⎭

tan x

[同题⑷]=

§2-5 洛必达法则 103

⑺

lim

x →+∞

(x +

x

2x

1x

[同题⑷]=

1nx

⎛e +e

⑻ lim

x →0

⎝

⎛

⑼

lim

n →∞

⎝

⎛

解⑼ lim

n →∞

⎝

+ +e n

n

⎫x

⎪[同题⑷]= ⎭

2

⎫

(a >0, b >0) ⎪⎪⎭

lim ⎛a x +b x ⎫x ∞b ⎫1

⎪(令=x ) =lim ⎪(1) =e x →0

⎪⎪x →0 n 2⎝⎭⎭n

1

ln a +b 2x

x

x

n

a +2

n

其中，

ln lim

x →0

a

x

+b 2

x

2

⎛0⎫a

⎪=lim ⎝0⎭x →0

x

+b

x

⋅

12

(a ln a +b ln b ) 1

=

x x

12

x

(lna +ln b ) =ln

ab

所以

⎛lim n →∞

⎝

n

a +2

n

b ⎫

⎪=e ln ⎪⎭

12

n

ab

=

ab

n +1

答案：⑴-2；⑵

2. 用洛必达法则求极限lim

x →0

+

；⑶0；⑷1；⑸e ；⑹1；⑺e ；⑻e

2

.

x ln x (0⋅∞) 时，为什么不能把它变成

x →0

lim +

x ⎛0⎫ln x ⎛∞⎫ ⎪？[而应变成lim + ⎪] 1⎝0⎭1⎝∞⎭x →0ln x x

3. 请用正确的方法(不能用洛必达法则!) ，求出下列极限： 1x 3sin x -x

e -e ； [答案：0] ⑵lim ⑴ lim ？ [答案：1] x -x 2x →0sin x x →+∞e +e 4. 设f (x ) =(cos x )x 2. 补充何值f (0)=___? 能使函数f (x ) 在点0是连续的？

答案

：f (0)=⎛x +t ⎫2t

'2e 5. 设函数f (t ) =lim . 求导数. 答案：. f (t ) ⎪x →∞

⎝x -t ⎭

x

1

.

6. 设K 、L 、ε为正常数，且0

lim ⎡εK x →0⎣

-x

+(1-ε) L ⎤⎦

-x

-

1x

=K εL 1-ε