高一必修2点线面经典例题

§2.1点、直线、面的位置关系

一、平面

知识要点

1. 点A 在直线上, 记作A ∈a ；点A 在平面α内, 记作A ∈α；直线a 在平面α内, 记作a ⊂α.

2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交, 那么这三条直线是否共面？ 【例2】空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、

H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，已知EF 和GH 交于P 点，求证：EF 、GH 、AC 三线共点.

解：∵P

∈EF ，EF ⊂面ABC ，∴P ∈面ABC. 同理P ∈面ADC. ∵ P在面ABC 与面ADC 的交线上，又 ∵面ABC ∩面ADC=AC， ∴P ∈AC ，

即EF 、HG 、AC 三线共点.

【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.

已知：直线AB , BC , CA 两两相交，交点分别为A , B , C ，求证：直线AB , BC , CA 共面. 证明：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α． 因为A ∈α，B ∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α. 所以AB ，BC ，CA 三直线共面．

【例4】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，

（1）AA 1与CC 1是否在同一平面内？（2）点B , C 1, D 是否在同一

平面内？

（3）画出平面AC 1与平面BC 1D 的交线，平面ACD 1与平面BDC 1的交线. 解：（1）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∵AA 1//CC 1， ∴由公理2的推论可知，AA 1与CC 1可确定平面AC 1，∴AA 1与CC 1在同一平面内.

（2）∵点B , C 1, D 不共线，由公理3可知，点B , C 1, D 可确定平面BC 1D ，∴ 点B , C 1, D 在同一平面内.

D 1C DC 1=E ，O ∈平面BCD 1，（3）∵AC BD =O ， ∴点O ∈平面AC 1，又C 1∈平面AC 1，

C 1∈平面BC 1D ， ∴ 平面AC 1 平面BC 1D =OC 1，同理平面ACD 1 平面BDC 1=OE ．

二、空间中直线与直线之间的位置关系 知识要点

⎧⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；⎪共面直线⎨⎨⎩平行直线：同一平面内，没有公共点；⎪

⎩异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

1. 空间两条直线的位置关系：

2. 已知两条异面直线a , b ，经过空间任一点O 作直线a '//a , b '//b ，把a ', b '所成的锐角（或直角）叫异面直线a , b 所成的角（或夹角）. a ', b '所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90︒]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a ⊥b . 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.

【例1】已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

解：过P 作a '∥a ，b '∥b ，若P ∈a ，则取a 为a '，若P ∈b ，则取b 为b '．这时a '，b '相交于P 点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记a '，b '所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a '，b '都成30°的直线． 过点P 与a '，b '都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a '，b 'E

所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有'l 两条l 和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案A 1

选B. 【例2】如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D1C1和B1C1A 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、A1C1与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.

证明：（1）∵ 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1

//DD 1//

，∴BD B 1D 1. 又 ∵ B 1D 1C

1中，

1

C

E 、F D 、B 、F 、E 四点共面. （2）∵ Q ∈平面AC 1，Q ∈平面BE ，P ∈平面AC 1，P ∈平面BE ， ∴ 平面AC 1 平面BE =PQ . 又 AC 1 平面BE =R ， ∴ R ∈平面AC 1，R ∈平面BE ， ∴ R ∈PQ . 即P 、Q 、R 三点共线

【例3】已知直线a//b//c，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.

证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面α，使得a ⊂α, b ⊂α.

又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d ⊂α.

c α=C 假设c ⊄α，则, 在平面α内过点C 作c '//b ， 因为b//c，则c //c '，此与c c '=C 矛盾. 故直线c ⊂α. 综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.

【例4】如图中，正方体ABCD —A1B1C1D1，E 、F 分别是AD 、AA1的中点. （1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF 所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1，∴ DC1 和CC1所成的锐角∠CC1D 就是AB1和CC1所成的角. ∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和

CC1所成的角是45°. （2）如图，连结DA1、A1C1， ∵ EF∥A1D ，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1是直线AB1和EF 所成的角. ∵ΔA1DC1是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF 所成的角是60º. 三、直线与平面、平面与平面位置关系 知识要点

1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：l ⊂α；l α=P ；l //α.

2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）. 分别记作α//β；α β=l .

【例1】已知空间边边形ABCD 各边长与对角线都相等，求异面直线AB 和CD 所成的角的大小.

解：分别取AC 、AD 、BC 的中点P 、M 、N 连接PM 、PN ，由三角形的中位线性质知PN ∥AB ，PM ∥CD ，于是∠MPN 就是异面直线AB 和CD 成的角（如图所示）. 连结MN 、DN ，设AB=2， ∴PM=PN=1.

1//2B 1D 1EF 为中点， ∴ . ∴ EF //BD , 即

而

MN ⊥AD ，AM=1，得

∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°. ∴异面直线AB 、CD 成90°角. 【例2】在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点，若AC + BD = a ，AC ⋅BD =b，求EG 2+

FH 2.

解：四边形EFGH 是平行四边形，

11222(AC +BD ) =(a -2b ) 22(EF +FG ) EG +FH 22 =2=.

2

2

【例3】已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD

F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线EF 、GH 、AC 交于一点. 证明：（1） 在△ABD 和△CBD 中，∵ E、H 分别是AB 和CD

C

CF CG 2

==CB CD 3. 求证：上的点，且（1）E 、

1的中点， ∴ EH//2

BD.

CF 又 ∵ CB =CG 2

2CD =3， ∴ FG//

3

BD.

∴ EH∥FG. 所以，E 、F 、G 、H 四点共面.