公开课三次函数的图象和性质
课题 函数f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 的图象与性质
知识与技能:让学生了解三次函数的概念,能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性, 进一步理解函数的单调性、极值,能利用图象来讨论三次方程实根的个数,体会分类讨论、数形结 合、函数方程的数学思想方法,培养学生识图能力、探究能力,提高运用所学知识解决问题的能力。 过程与方法:通过学生自主探索得到三次函数的基本图形,发现影响三次函数单调性的元素,以及 三次函数零点个数的条件
情感态度价值观:让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程,鼓励学生勇于探索、设法寻到解决问题的方案,体验“再创造”的乐趣。 教学重点:三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数 教学难点:三次函数的图象的应用
请看幻灯片:上周周练:已知曲线S :y =3x -x 3及点P (2,2),则过点P 可引S 的切线的条数( )
A )0 B )1 C )2 D )3
3
解 设切点为:x 0,3x 0-x 0 易得:x 03-3x 02+2=0由因式分解得三不同实数根, 故选D )
()
探究一:三次函数的图象与性质
322
当a >0时,f (x )=ax +bx +cx +d (a ≠0)的草图:f '(x )=3ax +2bx +c
小结:函数f (x )=ax +bx +cx +d (a ≠0)的单调性:
3
2
f '(x )=3ax 2+2bx +c 根的判别式:∆=4(b 2-3ac )
2
1)当a >0时,① 当b -3ac ≤0,f (x )在R 上是增函数;
② 当b -3ac >0,设f '(x )=0的两根为x 1, x 2(x 1
2
增函数,在(x 1, x 2)为减函数;(注:x 1为极大值点,x 2为极小值点)(增----减----增) 师:当a
2
2)当a
② 当b -3ac >0,设f '(x )=0的两根为x 1, x 2(x 1
2
函数,在(x 1, x 2)为增函数;(注:x 1为极小值点,x 2为极大值点)(减---增—减)
思考:上面我们已经研究了三次函数的四种基本图象,请大家就a ,b ,c ,d 对图象的影响? 探究二、f (x )=ax +bx +cx +d (a ≠0)零点个数
3
2
例1、已知方程
32x -ax -=0 322
1)方程只有一个实数根,请求出a 的取值范围;2)方程有两个不同实数根,请求出a 的取值范围;3)方程有三个不同实数根,请求出a 的取值范围 解: 函数f (x )=
13129
x -ax -与直线y =0的交点个数; 322
1)f '(x )=x 2-ax =x (x -a )=0 x =0或x =a ① a =0,f '(x )≥0,f (x )在R 上单调递增,故符合要求; ② a
91
--a 3
即 a >-3 ∴ a ∈(-3,0) ③ a >0
草图
显然成立 即 a >0
综上所述,a ∈(-3, +∞)
(2)由(1)知a =-3 (3)由(1)知a
13121x -ax +2x + 322
直线y =5与函数f (x )只有一个交点,请求出a 的取值范围 解 解法一:g (x )=f (x )-5=
2
13129
x -ax - 同例1一样 322
解法二: f '(x )=x -ax =x (x -a ) 令 f '(x )=x (x -a )=0 x =0或x =a (1)a =0,f '(x )≥0,f (x )在R 上单调递增,故符合要求; (2)a
图象草图:
只要:
113
-a -3 26
∴ a ∈(-3,0) 3) a >0 显然 5>
1
成立 2
故 a >0 综上所述,a ∈(-3, +∞)
(课后思考)已知函数f (x )=x 3-x 1)求曲线y =f (x )在点M t , f (t )处的切线方程 2)设a >0,如果过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线,证明:-a
32
解 1)f (x )=x -x ∴ f '(x )=3x -1 在点M t , f ()t 处的斜率是:k =3t -1
2
3223 故切线方程为:y -t +t =3t -1(x -t ) 即 y =3t -1x -2t 23
2)设切点为t , f (t ) 故切线方程为 y =3t -1x -2t
23
切线过点(a , b ) ∴ b =3t -1a -2t
()
()
()()
()
()
()
32
即 2t -3t a +a +b =0 g (t )=2t -3t a +a +b
3
2
g '(t )=6t -6ta 令 g '(t )=6t -6ta =0
2
2
解得 t =0,t =
a g (t )有三个零点
⎧a +b >0
⎨3
⎩a +b -a
⎧⎪g (0)>0
即 ∴ ⎨
⎪⎩g (a )
又f (a )=a -a
3
∴-a
小结:通过本节课学习,我们掌握:1、知识方面:1)三次函数的四种基本图象; 2)三次函数的零点问题;2、思想方面: 1)数形结合; 2)分类讨论思想.