求数列极限的若干方法
摘要
极限论是数学分析的基础,它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类:一类是数列的极限,一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的,在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中,必然以相关的概念、定理及公式为依据,并借助一些重要的方法和技巧。
关键词:极限、数列、函数
Abstract
Limit is mathematical analysis, the method of it from the higher mathematics elementary mathematics and different. The study is the ultimate in the process of change in trend of variables. The mathematical analysis discussed the limit can be broadly divided into two kinds: one kind is the limit, is a function of the limit. Two kinds of limit in essence is the same, in the form of sequence limit is the special function limit. This paper mainly studies sequence limit. The process of sequence limit, with related concepts, theorem and basis and formula of some of the most important methods and techniques.
Keywords: limit, sequence and function
1、预备知识
在高等数学中,极限是一个重要的概念。极限思想是许多科学领域的重要思想之一,因为极限的重要性,从而怎样求极限也显得特别重要。对于一些复杂极限,直接按照极限定义来求就显得非常困难,不仅计算量大,而且不一定能求出结果。为了解决求极限的问题,有不少学者曾探讨了计算极限的方法。本文也介绍了计算极限的几种方法。
极限可分为数列极限和函数极限,本文主要研究数列极限,定义如下。 首先介绍刘徽的" 割圆术", 设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积。为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为
A 1,再作内接正十二边形,其面积记为A 2,内接二十四边形的面积记为A 3,
如此将边数加倍,当n 无限增大时,A n 无限接近于圆面积,他计算到3072=6*2的9次方边形,利用不等式A n +1
数列极限:
设是一数列,如果存在常数a ,当n 无限增大时,a n 无限接近(或趋近)于a ,则称数列收敛,a 称为数列的极限,或称数列收敛于a ,记为lim n →∞或:a n →a ,当n→∞。
a n =a 0
数列极限的ε-N 定义
设{a n }是一个数列,a 事一个确定的数,若∀ε>0,存在自然数N 使得当n >N 时,就有│a n -a │<ε,则称数列a n 收敛于a ,a 称为它的极限,记作
n →∞
lim x n = a 或x n →a (n→∞) 读作:“当n 趋于无穷大时,a n 的极限等
于a ”或“当n 趋于无穷大时,a n 趋于a ”。lim 为拉丁文limes 一词的前三个字母,也有说成是英文limit 一词的前三个字母的。若数列{a n }没有极限,则
称这个数列不收敛或称它为发散数列。
数列极限的性质:
1. 唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的;
2. 有界性:如果一个数列收敛(有极限),那么这个数列有界。但是,
如果一个数列有界,这个数列未必收敛。
3. 保号性:如果一个数列{x n }收敛于a ,且a>0(或a
整数N ,当n>N时,都有x n >0(或x n
4. 改变数列的有限项,不改变数列的极限。
2.数列极限的方法探求
2.1几个常用数列的极限:
求解策略:熟记常见极限的结论,如
a n k +a n k -1+ +a 0a lim =n →∞b n +b n + +b k
0k k -1
lim C =C
n →∞
lim q n =0(│q │
n →∞
⎛1⎫lim 1+⎪=e n →∞
⎝n ⎭
n
2.2利用定积分求数列极限
通项中含有n! 的数列极限,由于n! 的特殊性,直接求非常困难,而转化为定积分来求救相对容易了。
例 求lim 解 将
1⎡1122n n ⎤
arctan +arctan +... +arctan x →∞n 2⎢n 2n n 2n n 2n ⎥⎣⎦
1
提出,则原和式可改写为 n
X n =
1⎡1122n n ⎤
arctan +arctan +... +arctan n ⎢n n n n n ⎥⎣n ⎦
它可以看作是函数x arctan x 在区间[0,1]上的积分和,
所采用的是n 等分[0,1]区间,并且在每个小区间上均取右端函数值。因此
x 211x 2π11
I =lim X n =⎰X arctan dx =arctan │-=-0⎰001+x 2x →∞2242
1
n ! )n (2n )! ⎤ (例 求lim ⎡⎣⎦
-n
n →∞
-1
1
n
解 原式
= n =
n 1n
⎡12⎛n ⎫⎤
= lim ⎢(1+)(1+) 1+⎪⎥
n →∞n n ⎝n ⎭⎦⎣
1i
= exp(lim∑ln(1+))
n →∞n i =1n
n
= exp(⎰ln(1+x ) dx )
1
= exp(2ln2-1)
注1 把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。
1i ⎤⎡
结论1 若lnf(x)在[0,1]上可积,则lim ⎢∏() ⎥=e ⎰ln f (x ) dx
0n →∞
⎣i =1n ⎦
n
1n
2.3利用四则运算法则求数列极限
若{a n }与{b n }为收敛数列,则{a n + b n },{ a n - b n },{ a n b n }也都是收敛数列,且有
lim (a n ±b n )=lim a n ±lim b n
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
lim (a n b n )=lim a n lim b n
n →∞
n →∞
例
求n
解
=
1
→∞, (n →∞)
n
n =
由1+
得
= x 1 22.4 利用重要极限求数列的极限
sin x ⎛1⎫
=1 (2)lim 1+⎪=e 两个重要极限分别为 (1)lim
x →0n →∞x ⎝n ⎭
n
⎛2⎫
例 求lim 1+⎪
n →∞
⎝n ⎭
n
⎡⎤22⎛⎫⎛2⎫
解 lim 1+⎪= lim ⎢ 1+⎪⎥=e 2
n →∞⎢n →∞⎝n ⎭⎥⎝n ⎭
⎣⎦
2
2
2
2.5 单调有界数列法
这一方法是利用极限理论基本定理:单调 数列必有极限,其方法为: (1)判定数列是单调有界的,从而可设奇极限为A ; (2)建立数列相邻两项之间的关系;
(3)在关系式两端取极限,得以关于A 的方程,若能解出A ,问题得解。 例
其中(a>0)
的极限
解:设x 0=x 1==x n +1=n=0,1,2 )
则{x n }是单调有界数列,它必有极限,设其极限为A
在x n +1=
即 A 2-A -a =0
所以A =
1, 2
因为A>0 所以
A =
即lim x n =
n →∞
2.6利用幂级数求数列极限
利用简单的初等函数(特别是基本初等函数)的迈克劳林展式,常能求得一些特殊形式的数列极限
⎡1⎤11
例 求I =lim ⎢+ + +2n ⎥x →∞23⨯2(2n -1)2⎣⎦
x 2n -1解 设S (x )=∑,易求得收敛半径R=1,在(-1,1)内逐项求导得 n =12n -1
∞
S '(x ) =∑x
n =1
∞
2(n -1)
1
=∑x =2
1-x n =0
2n
∞
则S (x ) =⎰
X
11⎛x ⎛11⎫⎫
dt =+ ⎪dt ⎪ 2⎰01-t 2⎝⎝1+t 1-t ⎭⎭
11+x
=ln
21-x
(-1,1)
1==⨯ln 所以I =211
)
x 例
求I =
n →0x x 2
解 因为e =1+++o (x 2),
1! 2!
x
1⎛1⎫
1 -1⎪122⎭
=(1-x ) 2=1-x +⎝-(-x 2) +o (x 2)
22! ,
=1+o (x 2)
x 21
+o (x 2) +o (x 2)
整理得 I =lim =lim =-3
x →0x →0121-x +o (x 2) -x 2+o (x 2) 66
2.7利用O-Stolz 公式计算数列极限
O-Stolz公式是数列极限的一种重要方法。下面先介绍一下O-Stolz 公式:
∞
(a )型Stolz 公式:设{x n }严格递增,且lim x n =+∞,若
n →∞∞
lim n →∞
y n -y n -1x n -x n -1
⎧a (有限数)
y n
=⎪+∞lim 则⎨n →∞x n ⎪-∞⎩⎧a (有限数)
=⎪+∞ ⎨⎪-∞⎩
(b )型Stolz 公式:设n →∞时,y n →0,x n 严格单调下降趋于零。若
lim
n →∞
y n -y n-1y
=a ,则lim n =a (a 为有限数, +∞, 或-∞)。
n →∞x x n -x n-1n
111
++ +
(a >0) 例 求I=lim n →∞11
1++ +2n 111++ +解 可以设x n = 1+a 2+a n +a 111
y n =1+++ +
23n
有{y n }单调递增,lim y n =+∞,
n →∞
则应用Stolz 公式得
I =lim
n →∞
x n -x n -1y n -y n -1
1
=lim =1n →∞n
2.8 几类特殊数列极限的球法
(1)公式型
若{a n }是等比数列,其前n 项和为S n ,公比q 满足│q │
n →∞
S n =
a 1
1-q
例 若数列{a n }的通项是a n =
lim (a 1+a 2+ +a n )
n →∞
3-n +2-n +(-1)(3-n -2-n )
n
2
(n ≥1),则求
⎫⎧2-n ⎛n 为奇数 ⎪ ⎪, ⎪⎝⎭
解 a n =⎨⎛ ⎫-n 3 n 为偶数⎪⎪, ⎪⎝⎭⎩
11
,公比为; 2411
a 2n 是等比数列,且其首项为,公比为。
9911
19
所以 lim (a 1+a 2+ +a n )=+=
n →∞24
1-1-49
则a 2n -1是等比数列,且其首项为
{}
{}
(2)分式型
分子、分母同除以某代数式,使之符合极限的运算法则。若分子、分母事多
1
项式,则分子、分母同除以n 的最高次幂,然后利用lim k =0(k>0)来求极限;
n →∞n
若分子、分母含指数式,则分子、分母同初除以底数的绝对值大的项,然后利用
lim q n =0(│q │
n →∞
222C 2+C 32+C 4+ +C n
例 求lim
n →∞n C 1+C 1+ +C 1
23n 解 C +C +C + +C =C
2
223242n 3n +1
n +1)n (n -1)(=,
6
n (n +2)(n -1)
2
111
n (C 2+C 3+ +C n )=n (2+3+ +n )=
1
n +1=1 则原式= lim =lim x →∞3n +2x →∞⎛2⎫3
3 1+⎪⎝n ⎭
1+
(3)无理式型
一般是先有理化,然后利用极限的运算法则
例 已知a 、b
为常数,且lim bn =1,求a 、b 的值
n →∞
()
⎛
解
lim n →∞⎝
bn ⎫⎪
⎭
=
lim
2a 2-b 2n 2+a 2n +a 22
2
2
n
a 2
(
2a -b )n +a + =
n ⎧⎪⎪2a 2-b 2=0, 则⎨ 解得 a= 21,
(4)和型或积型
对和型或积型,应先求和或求积,再求极限
232n -12n ⎫⎛1
例 求lim -+- +-⎪的值 n →∞n +1n +1n +1n +1n +1⎭⎝
⎡⎛12⎫⎛34⎫⎛2n -12n ⎫⎤解 原式= lim ⎢ -+-+ +-⎪ ⎪ ⎪⎥ n →∞
⎝n +1n +1⎭⎦⎣⎝n +1n +1⎭⎝n +1n +1⎭
⎛-1⎫
= lim ⨯n ⎪=-1
n →∞n +1⎝⎭
(5) 递推型
已知数列的递推式求数列的极限,一般对递推式两边取极限,利用
lim a n =lim a n +1=lim a n -1构造方程求解;也可求出递推数列的通项公式后,再求
n →∞
n →∞
n →∞
极限。
例 已知a>0,数列{a n }满足a 1=0, a n +1=a +
1
(n ≥1)。若{a n }的极限存在a n
且大于0,求A= lim a n (将A 用a 表示)。
n →∞
解 lim a n 存在,且A= lim a n ,A>0,
n →∞
n →∞
对a n +1=a +得A =a +
1
两边取极限, a n
1, A
解得
A =
a +又 A>0
,则A =2
参考文献
[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社,1993.
[2]刘玉琏. 数学分析讲义. 北京:高等教育出版社,1997.
[3]同济大学数学教研室,高等数学(第四版),北京:高等教育出版社,1996.
[4]费定晖,周学圣. 数学分析习题集题解,山东:山东科学技术出版社,2002.
[5]黄丹妹. 试论极限的计算方法数列篇. 福建:福建省侨兴轻工学校.
[6]魏立明. 一类数列极限求法的研究. 广西贺洲. 梧州师范高等专科学校.
求数列极限的若干方法
系别 & 专业: 数学系-数学与应用数学专业 姓名 & 学号: 杨飞飞 0634213 年级 & 班别: 2006级2班 教师 & 职称: 王宏仁
2010年 3 月 14日