山东大学网络高起专高等数学试题及答案
高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 lim
1
sin n =0（有界量乘无穷小量） n →∞n
⎧e x x
取什么值，连续 a f (x ) =⎨二
⎩a +x x ≥0
f (x ) =a =lim f (x ) ，而答：根据函数在一点处连续的定义，lim +-
x →0
x →0
x →0
x
=1x x →0x 2 求lim ={
x →0x -x
lim =-1x →0-x
lim +
3 求lim e ={
x →0
1
x
lim f (x ) =lim e x =1 --
x →0
所以 a=1
三 计算下列各题 1
y ’=2(sinx·lnx) ’=2[(sinx)’(lnx)+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2
已
知
x →0+
lim e =∞
x →0-
1x
y =2s ⋅x i n
x
求
y ,
答：
lim e =0
1
x
sinx
x
4
=
lim
x →0
x +sin x x +sin5x
2 已知y =f (e x ) ⋅e f (x ) ，求y ,
x sin x
x sin x 111lim +lim =lim +lim =+=f e x e x +f (x )
x →0x +sin x x →0x +sin 5x x →0 x →0663所以y ' =x f x ++1-f e e
x 5x x 5x
dy x x f (x )x f (x )dy =f e e ⋅e +f e e 答：由链式法则，
dx dx
()()
()（第一个重要极限）
3
求⎰xe x 2
dx
答：
e x 2
d x 2原式=⎰1x 221x 2
2=2⎰e dx =2e +c
四、若2x -tan(x -y ) =
⎰
x -y
sec 2tdt ，求
dy
dx
另x-y=m, y=x-m, 对两边求导数，得到dy/dx = 1 - dm/dx 将y = x-m 带回原式，再两边对x 求导。可得dm/dx 带回上式可得结果
五 求y =x ，y =2x 和y =x 2所围平面图形的面积
解
：
⎰1⎛0 ⎝y -y ⎫2⎪⎭dy +⎰4⎛1 ⎝y -y ⎫2⎪⎭dy =⎛ y 2y 2⎫1⎛ 3 y 2y 2⎫⎪⎪41
⎝2-4⎪⎪⎭0+ 3-4⎪1=3⎝2⎪
⎭
高等数学模拟卷 2 一 求下列极限
1 lim
1
n →∞n
cos n =0
⎧22 求lim 2-x x →22-x =lim 2-x lim -x ＝1
x →22-x ＝⎪⎪⎨x →2－2-x
⎪x -2⎪⎩
lim ＝-1
x →2＋2-x ⎧
1
113 求lim x →02x =lim ⎪⎪x lim →0
+2x =∞x →0
2x =⎨⎪1 ⎪⎩lim x →0-
2x =04求lim
x +2sin x x →0
x +3sin x
解
lim
x +2sin x x →0
x +3sin x ＝3
4
⎧sin x 二讨论
f (x ) =⎪⎨x
x ≠0在 x=0 处的连续性
⎪⎩
0x =0
答：因为f(x)在0点的左右极限都为1，不等于其在0点的函数值，所
以f(x)在0点不连续三 计算下列各题 1 y =ln[ln(lnx )]
求
y ,
y ,
=1[ln(lnx )].[ln(lnx )]'=111
[ln(lnx )]. ln x . x
2 x y
=y x
求y ,
,
解：ln x y =ln y x
y .ln x =x .ln y
y , .ln x +y 1
x =ln y +y
. y '. x
y '⎛
ln x -x ⎫⎝
y ⎪⎭=ln y -y x
ln y -
y ∴y '=
ln x -
y
2
x 2
四求lim
x -⎰0
cos t 2dt
x →0
sin 10x
由于分子分母极限都为0，所以可以对分子分母分别求导，得到
Lim( 2x-2xcosx^4)/10sin^9(x)cosx 再对两边求导
五 求y 2=2x -5和y =x -4所围平面图形的面积
解：
{
y 2=2x -5
y =x -4
得交点
(3，-1)(7，
3)
s =⎰3
y 2+5113
3-1y +4-2=2y 2-6y 3+2y
-1
=163
六 (x 2+1) dy
dx
+2xy =4x 2 解：两边同除以(x 2
+1) 得
dy 2xy 4x 2
dx +(x 2+1) =
(x 2+1)
y =ce -⎰
p (x ) dx
＝ce -
⎰2x x 2+1dx
＝ce -ln x 2+1=
c x 2+1
代入原方程得c '(x ) =4x 24x 3
+D
c (x ) =⎰4x 2dx =
43
x 3
+D ∴y =x 2
+1
高等数学模拟卷3
一 求下列极限 1 lim
1
n →∞n
tgn 解：不存在
⎧x -a 2 求lim x -a x -a ＝⎪⎪lim ＝1
x →a x -a =lim x →a x -a ⎨x →a ＋x -a
⎪⎪⎩
x lim a -x →a －x -a =-1
⎧1
1
13 求lim e 2x
=lim e
2x
=⎪⎪⎨x lim →0+
e 2x
=∞x →0
x →0
⎪1
⎪⎩lim x →0-
e 2x =04
lim sin mx x →0sin nx =lim mx x →0nx =m n
二已知
f (x ) =⎧⎨x x >0
⎩x
2
x ≤0
，讨论f （x ）在x =0处的导数解： ∆lim f (0+∆x )-f (0)∆x
x →0＋∆x
=∆lim x →0＋∆x =1
f (0+∆x )-f (0)x →0-∆x ∆lim ∆x 2
lim =x →0-∆x
=0 ∆∴f (x ) 在x =0不可导
三 计算下列各题
1、已知y =tan 3(lnx ) 求y ,
解：y '=3tan 2(lnx ).sec 2(ln x ). 1
x
2、已知y =f (x 2) ，求y ,
解： y '＝f '(x 2).2x
四 证明
⎰
a
3
(x 2
) dx =12⎰a 2
x f 0
xf (x ) dx ，(a >0) ，其中f (x ) 在
讨论的区间连续。
证明
1
⎰x f (x ) dx =⎰x 2f (x 2) d x 2
002
令x 2＝u 当x =0时u =0, x =a 时，u =a 2
22a
3
2
a
解：令(arctany -x ) =u 则u '=
2
1
. y '-12
1+y
y '=(u '+1). (1+y 2)
1+y 2
则原方程为(u '+1). (1+y )＝
∴⎰a 0x 3f (x 2) dx =⎰a 0x 2f (x 2
) d 12x 2=12⎰a 0u f (u ) du =1a 2⎰0
xf (x ) dx
五 计算反常积分⎰+∞
d x
-∞1+x 2
解：⎰+∞
dx -∞1+x 2=⎰0dx -∞1+x 2+⎰+∞dx 01+x 2
=arctan x 0+∞⎛π⎫π
-∞+arctan x 0=- ⎝-2⎪⎭+=π 2
六 求(1+y 2) dx =(arctany -x ) dy 的通解
u
(u '+1)=
1
u
du u -1dx =u 变量分离u u -1
du =dx 两边同时积分得：u +ln (u -1)=x +c
所以原方程的通解为：(arctany -x ) ＋ln (arctan y -x -1)=x +c