上海大学线性代数2001_3
02-09
上海大学线性代数2001
一、计算行列式 （12%）
x
a 1
a 1a 2 a n x a n a 2 a n
a 1a 2 x
二、设A 为3阶非零方阵，且A =0 2
⎛a 1⎫ ⎪1) 求证存在a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3A = a 2⎪(b 1b 2 a ⎪⎝3⎭
2) 求方程组AX =0的基础解系 （12%）
b 3)
三、用正交线性替换化二次形f (x 1, x 2, x 3)=x 1+3x 2+2x 3-4x 1x 3-4x 2x 3为标准形 （15%） 222
四、设A 为n ⨯m 阶实矩阵，且r (A ) =m (n ≥m ) ，若(AA ' ) 2=aAA ' . 求证 A ' A =aE m （E m 为m 阶单位矩阵，A 为A 的
转置阵，r (A ) 表示A 的秩） （10%）
五、设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上的线性变换，若A n -12≠0，A n =0。求证：存在α∈V ，使 α+A α，A α+A α，…，'
A n -2α+A n -1α，A n -1α+α为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵。 （15%）
六、设A 是欧式空间V 上对称变换。（即A 是V 上线性变换，且（A α，β）=（α，A β），∀α，β∈V ）。求证：对任意α≠0，
都有（A α，α）
⎛-A α⎫' -1 七、设B = α' β⎪⎪，其中A 为n 阶负定矩阵，α为n 维列实向量，β为实数。求证B 正定充分必要条件是β+αA α>0 ⎝⎭
（12%）.
八、若A 是正交阵，且-A 特征值为1的重数是S 。
求证： A =(-1) （A 表示A 对应的行列式） （10%）
S