专升本高数考试知识点归类及串讲

考试知识点归类及串讲

（一）单项选择题 一、函数部分

1. 定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）

2

⎧ln(x -1),1

如：设函数f (x ) =，则f (x ) 的定义域为（）

≤x ≤3

A 11或x ≤3

函数y =arcsin(2x -5) 定义域

已知f (2x -1) 的定义域为[0,1],则f (x ) 的定义域为（） A [1/2,1] B [-1,1] C[0,1] D [-1,2] 设f (1+x 2) 的定义域为[1, 5)，则f (x ) 的定义域为________

下列函数相等的是 A y =1, y =

B y =x

y = C y =x , y =cos(arccosx )

D y =y =|x |

函数y =(4x -3) 2（x ≤0）的反函数是________

⎧函数图像的对称轴（复合函数的奇偶性）

2. 函数的性质⎨

⎩函数的有界性

如：f (x ) =ln

1+x

（(-1,1) 内奇函数？） 1-x

已知f (x ) 不是常数函数，定义域为[-a , a ]，则g (x ) =f (x ) -f (-x ) 一定是____。 A 偶函数 B 奇函数 C 非奇非偶函数 D 既奇又偶函数

下列函数中为奇函数的是_________。

e x +e -x

sin 2x B f (x ) =x tan x -cos x A f (x ) =

2

C

f (x ) =ln(x D f (x ) =

x 1-x

3. 函数的表达式、函数值（填空）

如：设f (x ) 为(-∞, +∞) 上的奇函数，且满足f (1)=a , f (x +2) =f (x ) +f (2)，则f (2)=_________ 二、重要极限部分

1

lim(1+ ) =1, lim(1+) =1 →0 →∞ lim

sin 3x 21

=3；lim(1+) x =

e 2，lim (1-x →0x →∞x →+∞x x x

1

=lim (1x →+∞

+=e -1+1=1

三、无穷小量部分

1. 无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小 2. 无穷小量（大量）的选择

3. 无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶） 如 n →∞时与sin 如 设f (x ) =

3

1

等价无穷小量是（） n

⎰

sin x

t 2dt , g (x ) =x 3+x 4, 则当x →0时，f (x ) 是比g (x ) 的（）

x →0时，无穷小量2x +3x -2是x 的（） x →

0x 2的（）

4. 无穷小量的等价替代 四、间断点部分

1. 第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点） 2. 第Ⅱ类间断点（无穷间断点） 如 点x =0是函数y =e

x +1x

的（）

1⎧x ⎪-1

函数f (x ) =⎨e , x >0则x =0是（）

⎪⎩ln(1+x ), -1

1⎧cos x +x sin , x

若f (x ) =⎨则x =0是f (x ) 的（） x

⎪e x +1, x ≥0⎩

五、极限的局部性部分 1. 极限存在充要条件

2. 若lim f (x ) =A >0(0(

x →x 0

如 f (x ) 在点x =x 0处有定义，是当x →x 0时，f (x ) 有极限的（）条件 若f (1)=0，lim

f (x )

=2，则f (x ) 在x =1处（）（填 取得极小值）

x →1(x -1) 2

六、函数的连续性部分

1

⎧x ⎪

1. 连续的定义 如设f (x ) =⎨(1-x ) , x ≠0在点x =0处连续，则k =（）

⎪⎩k , x =0

⎧1

⎪sin x , x ≠0

设函数f (x ) =⎨x 在(-∞, +∞)内处处连续，则a =________.

⎪⎩a , x =0

2. 闭区间连续函数性质：

零点定理（方程f (x ) =0根存在及个数）

如 方程x -x -1=0，至少有一个根的区间是 ( )

4

(A)(0, ) (B) (, 1) (C) (2, 3) (D) (1, 2) 最大值及最小值定理

如设f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) =f (b ) ，但f (x ) 不恒为常数，则在(a , b ) 内（）

A 必有最大值或最小值 B 既有最大值又有最小值 C 既有极大值又有极小值 D 至少存在一点使得f '(ξ) =0 七、导数定义

1212

lim

→0

f (x ) -f (x 0) f (x + ) -f (x )

=f '(x ), lim =f '(x 0)

x →x 0 x -x 0

f (1+2x ) -f (1)

=

x →0x

f (x ) f (x )

= 设 f (1)=0，且极限lim 存在，则lim

x →1x -1x →12x -2x f (x +h ) -f (x ) 2

= 设函数f (x ) =⎰(3t +sin t ) dt , 则lim

1h →0h

f (a ) -f (a -h )

=________. 设f '(a ) =3，则lim

h →0h

f (3-h ) -f (3)

=________. 已知f '(3) =6, 则lim

h →02h

如 f (x ) 在点x =1可导，且取得极小值，则lim 求高阶导数（几个重要公式）

π1(n ) (-1) n n ! (n )

(sinx ) =sin(x +n ) ；() =

2x +c (x +c ) n +1

如 设y =

1+x (n )

，则 y = 1-x

(A) 2∙n !

1

1-x n

(B) n !

1

1-x n +1

C) (-1)2∙n !

n

1

1-x n +1

(D) 2∙n !

1

1-x n +1

八、极值部分

极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）

如 函数y =f (x ) 在点x =x 0处取得极大值，则必有（）f '(x 0) =0或不存在

x

设函数y =f (x ) 满足f ''(x ) +xf '(x ) =1+e ，若f '(x 0) =0，则有（）

设y =f (x ) 是方程y ''-2y '+4y =0的一个解，若f (x 0) >0, 且f '(x 0) =0, 则函数在x 0有极（）值

x

设函数f (x ) 满足f '(x ) =3-e ，若f '(x 0) =0, 则有（）f (x 0) 是f (x ) 的极大值

九、单调、凹凸区间部分

f '(x ) ≥0，函数在相应区间内单调增加；f ''(x ) ≥0，则区间是上凹的

如 曲线y =xe

4

-x

+3x +1的上凹区间为（）(2,+∞)

2

曲线y =x -24x +6x 的下凹区间为（）

十、渐近线

水平渐近线lim f (x ) =A , y =A 为水平渐近线；lim f (x ) =∞，x =x 0为垂直渐近线

x →∞

x →x 0

ln x e x

如 函数y =的垂直渐近线的方程为____ 曲线y =3的水平渐近线为_______.

x -2x +1

e x

曲线y = 既有水平又有垂直渐近线？ 曲线y =

x

十一、单调性应用

1x -x

2

的铅锤渐近线是_________.

设f (a ) =g (a ) ，且当x >a 时，f '(x ) >g '(x ) ，则当x ≥a 必有（）

已知函数f (x )在区间(1-δ, 1+δ)内具有二阶导数，f '(x )严格单调减少，且f (1)=f '(1)=1，则 有 (A) 在(1-δ, 1)和(1, 1+δ)内均有f (x )x (C) 在(1-δ, 1)内f (x )

f (x )>x (D) 在(1-δ, 1)内f (x )>x ，在(1, 1+δ)内f (x )

十二、中值定理条件、结论、导数方程的根

如 函数f (x ) =x 3+2x 在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的ξ为（） 设f (x ) =(x -1)(x -2)(x -3)(x -4) ，则f '(x ) =0实根个数为（）

设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，且在(a , b ) 内f ''(x ) >0，则在(a , b ) 内等式f '(ξ) =存在 B 不存在 C 惟一D 不能断定存在 十三、切线、法线方程

f (b ) -f (a )

成立的ξ_________ A

b -a

⎧y =sin 2t

如 曲线⎨在t =π处的法线方程为（）

⎩x =cos t

设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且f (a ) =f (b ) ，则曲线y =f (x ) 在(a , b ) 内平行于x 轴的切线（）（至少存在一条） 十四、不定积分部分

1. 不定积分概念（原函数）如 F (x ), G (x ) 都是区间I 内的函数f (x ) 的原函数，则F (x ) -G (x ) =C 2. 被积函数抽象的换元、分部积分 如 设ln f (t ) =cos t ,

则t

⎰

f '(t )

=ln f (t ) t -⎰ln f (t ) dt =t cos t -⎰cos tdt =t cos t -sin t +c f (t )

x

若f (x ) =e ，则

⎰

f '(lnx )

=f (lnx ) +c =e ln x +c =x +c x

设f (x ) 连续且不等于零，若

⎰f (x ) dx =arctan x +c ，

dx x 32

则⎰=⎰(1+x ) dx =x ++c

f (x ) 3

若f '(e x ) =1+x , 则 f (x ) =

令t =e x , x =ln t ∴f '(t ) =1+ln t ，即f '(x ) =1+ln x ，故f (x ) =x ln x +c 十五、定积分部分

⎰0. 定积分的平均值：

b

a

f (x ) dx b -a

x

（填空）

1. 变上限积分 如设f (x ) =令u =t -x , f (x ) =

⎰

sin(t -x ) dt 求f '(x ) （知道即可）

⎰

-x

sin udu ∴f '(x ) =-sin x

π

2. 定积分等式变形等 若f (x ) 为连续函数，则

⎰

1

f (x ) dx =⎰2f (sinx ) cos xdx

设f (x ) 在[-2, 2]上连续，则令t =2x ,

⎰

1

-1

[f (2x ) +f (-2x )]dx

2

2

-2

⎰

1

-1

[f (2x ) +f (-2x )]dx =⎰[f (t ) +f (-t )]1/2dt =⎰[[f (t ) +f (-t )]]dt

设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则

⎰

b

a

f (x ) dx -⎰f (t ) dt =()

a

b

⎰|x (2x -1) |dx

1

十六 广义积分部分 1. 无穷限广义积分 如 广义积分

⎰

+∞

2

+∞1dx 111x -1+∞=[-]dx =ln |||2

x 2+x -2⎰23x -1x +23x +2

2. 暇积分（无界函数的积分，知道即可）

01111111

dx =dx +dx dx =ln x | 而0不存在，不收敛 ⎰-1x ⎰-1x ⎰0x ⎰0x 1

十七、空间解析几何部分 1. 方程所表示的曲面

注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别 如 方程：x +y -z =0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面 在空间直角坐标系下，方程x -4(y -1) =0表示（）

2

2

2

2

x =±2(y -1) 两条直线，所以两个平面

方程x +y -z =0在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面 2. 直线与直线、直线与平面等位置关系

2

2

2

直线⎨

⎧x +2y -z +5=0x -1y -0z +2

与直线的位置关系（）不平行也不垂直 ==

335⎩2x -y +z +6=0-444

3. 数量积、向量积概念

4

已知|a |=1,|b |=5, a ⋅b =3,|a ⨯b |=|a ||b |sin θ=5=4

5

4. 投影曲线方程

22

⎧⎪z =x +y

空间曲线C ：⎨在xoy 平面上的投影曲线方程_______________ 22

⎪⎩z =2-(x +y )

十八、全微分概念

1. 偏导数概念

设 f (x , y ) 在点（a, b）处有偏导数存在，

f (a +h , b ) -f (a -h , b ) f (a +h , b ) -f (a , b ) +f (a , b ) -f (a -h , b )

=lim

h →0h →0h h

f (a -h , b ) -f (a , b )

=2f x '(a , b ) =f x '(a , b ) -lim

h →0h

则有 lim

设函数z =x ln(x +y ), 则2. 全微分

设z =e +3ln(x +y ), 则dz |(1,2)

xy

2

2

2

∂z 2y

=x 22 ∂y x +y 2

dz =(ye xy +

33

) dx +(xe xy +) dy ∴dz |(1,2)=(2e 2+1) dx +(e 2+1) dy x +y x +y

十九、二元极值部分

0. 极限连续 1. 驻点 2. 极值点 要使函数f (x , y ) =

2-x 2+y 2+4

x 2+y 2

在点(0, 0)处连续，应补充定义f (0, 0) =____。

A 0 B 4 C

11 D - 44

二元函数f (x , y ) =4(x -y ) -x 2-y 2, 则(2,-2) 是（）极大值点 二十、二重积分部分

1. 交换积分次序

设I =

⎰dx ⎰

4x

f (x , y ) dy , 交换积分次序后，I =⎰dy y 2f (x , y ) dx ,

4

4y

注意，先画出草图

2. 化为极坐标形式 π

把积分

⎰

a

dy 0

f (x , y ) dx 化为极坐标形式为（）⎰20d θ⎰a

0f (r cos θ, r sin θ) rdr

也是应先画出草图 设f (x , y ) 在D 上连续，则

∂

∂x [⎰⎰f (x , y ) d σ]=________ D

A

⎰⎰∂f

d σ B ⎰⎰f (x , y ) d σ C 0 D f (x , y D ∂x ) D

二十一、曲线积分部分（一个选择题）

1. 对弧长曲线积分2. 对坐标的曲线积分 设

L

为抛物

线

x -1=y 2-2y

上从点

A (1, 到点B (1⎰y

y

=⎰2L (e

+x ) dx +(xe -2y ) dy 0

(e y -2y ) dy =e 2-5

注意1. 与路径无关的条件即

⎰

L

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 中有P y '=Q 'x

； 格林公式 2. 下限对应于起点参数

L 是圆弧：x =a cos t , y =a sin t , a >0,0≤t ≤

π

2

,

π

则

⎰

L

xyds =⎰20

a cos ta sin =a 31/2

注意：下限一定小于上限参数

二十二、级数部分

一段弧，则

, 的

1. 收敛性问题（绝对还是条件）：常数项级数；幂级数在某点收敛 2. 幂级数和函数问题

注意几个函数展开式公式（看教材：六个重要公式） 如 级数

∑a (x -1)

n n =1

∞

n

在x =-1处收敛，则此级数在x =2处（）绝对收敛

2n x n 2x

如 幂级数∑的和函数为（）e -1、

n =1n !

∞

ln(n !)sin(n 3) ln(n !)

= 必要条件 已知级数∑收敛，则lim 33n →∞n n n =1

∞

若

1

发散，则a 的取值范围是_______？ ∑n

n =11+a

∞

二十三、微分方程部分

1. 通解问题（一阶可分离、齐次、线性等） 2. 特解问题（二阶常系数非齐次方程）

函数y =C cos （是微分方程y ''+y =0的（） x C 为任意常数）把y 代入y ''+y =0成立，但只有一个独立常数，只能说明是解

设函数y =f (x ) 是微分方程y ''-2y '+4y =0的一个解，且f (x 0) >0, f '(x 0) =0，则f (x ) 在点x 0处（）有极大值 把y =f (x ) 代入得f ''(x ) -2f '(x ) +4f (x ) =0，再令x =x 0即可

函数y =y (x ) 图形上点（0,-2）的切线为2x -3y =6，且y (x ) 满足微分方程y ''=6x , 则此函数为（） 注意

y '|x =0=2/3, y |x =0=-2 y =x 3+2/3x -2

设y 1, y 2是微分方程y ''+p (x ) y '+q (x ) y =0的两个解，则y =c 1y 1+c 2y 2(c 1, c 2为任意常数) 是（） A 该方程的通解B 该方程的解C 该方程的特解D 不一定是方程的解 （二）填空题

一、计算函数值、表达式

2⎧⎪x f (x ) =⎨2

⎪⎩x +x

x ≤0x >0

，则f (-x ) =

⎧2-x g (x ) =设⎨

⎩x +2

⎧x 2x ≤0

；f (x ) =⎨x >0⎩-x

x

，则g (f (x )) = （知道即可） x ≥0

2

已知f (lnx ) =x +3x -5，则f (x -1) =

二、计算极限（等价无穷小替换、重要极限等）

x x ，lim =_________ lim =x →+∞(1+x ) x x →1sin 2(x -1) x →

已知当x →0时，f (x ) 与1-cos x 等价，则lim

x →0

f (x )

=

x sin x

三、连续区间、切线方程、渐近线

曲线f (x ) =x ln x 的平行于直线y =x +2的切线方程为（）切点为（1,0）

x 2-1

函数f (x ) =2的连续区间为（）

x -3x +2

设y =f (x ) 在点x =c 处可导，且在此点处取得极值，则曲线y =f (x ) 在点x =c 处的切线方程为________ 四、微分、单调区间

设函数y =f (-x 2), 且f (x ) 是可微函数，则dy = 设函数y =f (x ) 由方程e 2x +y =y 所确定，则dy = 函数f (x ) =x +x ln x 的单调递减区间为（）（0, e -2） 五、极值问题 函数f (x ) =

⎰

x

1

t -1

的极小值为（） t

1+e

2

六、不定积分 若

⎰f (x ) dx =F (x ) +c 则⎰xf (1+x

) dx =

七、定积分 设f (x ) 连续，则

e

⎰

a

-a

x [f (x ) +f (-x ) -x ]dx =

⎰

1

(1+ln x ) 4

dx = x

八、投影方程、位置关系

⎧x 2+y 2=4

曲面z =x +y 与平面z =4的交线在xoy 面上的投影方程为（）⎨

⎩z =0

2

2

九、偏导数、全微分 十、二重积分

十一、展开成幂级数 函数f (x ) =

∞

1

展开为x -1的幂级数为（） x

(x -1) n

幂级数∑收敛区间（域）为（-1,3） 实际上 n

2n =1

十二、特解形式

∑(

n =1

∞

x -1n

) 等比级数 2

利用待定系数求微分方程y ''-2y '-3y =3x +1的特解应设为（） （三）计算题 一、求极限 二、求导数

三、求不定积分 四、定积分

五、隐函数求全微分 六、二重积分

七、展开成幂级数，并求收敛区间 八、求微分方程的通解 （四）应用题

一、求面积及旋转体的体积（几何问题）

二、多元函数求最值（几何问题、简单经济问题）

（五）证明题：不等式、积分等式、变上限函数的奇偶性、方程根的讨论