与圆有关的角
与圆有关的角
主讲:黄冈中学高级教师 汤长安 一周强化 一、一周知识概述 (一)圆周角 1、顶点在圆上,两条边都和圆相交的角叫做圆周角. 2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角等于 90° ;90° 的圆周角所对的弦是直径. 4、圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补. 推论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. (二)弦切角 1、弦切角:顶点在圆上,一条边和圆相交,另一条边和圆相切的角叫做弦切角. 2、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 二、重点难点疑点突破 1、对圆周角的理解定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
突破:①如图,∠AOB 与∠ACB 是 的度数等于 的度数一半.
对的圆心角与圆周角,故有:
,∠AOB=2∠ACB,∠ACB
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②定理的作用是勾通圆心角,圆周角之间的数量关系.③定理的证明. (1)为什么要分情况证明? 应不应分情况,主要看各种情况的证明方法是否相同,相同,不分情况;不同,则必须分情况,而且分情况要分得 正确,不能重复或遗漏.而圆周角定理的证明,分三种情况,它们的证法都不相同,故要分情况证明. (2)如何分类讨论? 以圆上任意一点为顶点的圆周角,虽然有无数多个,但它们与圆心的位置关系,归纳起来有三种情况: ①圆心在角的一边上;②圆心在角的内部;③圆心在角的外部. (3)如何证明定理? 先证明第一种情况,再用第一种情况证明第二、三种情况. 2、对圆周角定理的两个推论的理解 (1)推论 1:①是圆中证角相等最常用的方法之一.
②若将推论 1 中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种可能,一般情况不相等(如图中的∠1 与∠2).
③推论 1 中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”, 离开这个前提条件, 结论不成立(如图 中的 ).
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(2)推论 2 应用广泛,一般地,如果题目中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角;如果需要直角或证明垂直 时,也往往作出直径即可解决问题,推论也是证明弦是直径常用的办法. 3、对圆的内接四边形定理的理解 (1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词,是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角. (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为 180° ). (3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据. (4)使用定理时,要注意观察图形,不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置. 4、对弦切角的理解 ①弦切角所夹的弧是构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧. ②弦切角定理的证明可以仿照圆周角定理的证明,也分三种情况,第一种情况是特殊情况,其它两种是一般情况, 可通过作辅助线转化为第一种情况. ③弦切角可以是锐角、钝角、直角,一条切线和过切点的弦形成两个弦切角. ④弦切角=它所夹弧对的圆周角=所夹弧对的圆心角的一半=所夹弧的度数一半. 三、解题方法技巧点拨 1、圆心角、圆周角和弧之间的换算 例 1、已知:如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD 交 AB 于 P,且∠APD=60° ,∠COB=30° ,则∠ABD=________度.
分析:要求圆周角∠ABD,可求同弧
所对的圆心角∠AOD 的度数,而∠AOD=∠ODC+∠APD,故只须求∠ODC,
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而∠ODC=∠C=∠OPD-∠COB=30° ,故∠AOD 可求. 解:连结 OD.∵∠C=∠APD-∠COB,∠APD=60° ,∠COB=30° .∴∠C=60° -30° =30° . ∵OC=OD,∴∠ODC=∠C=30° ,∴∠AOD=∠APD+∠ODC=60° +30° =90° ,
例 2、如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=80° ,以 AB 为直径的半圆交 AC 于 D,交 BC 于 E.求
的度数.
分析:只需求出
所对圆周角的度数就可以了,为此可连结 AE,构造圆周角∠BAE、∠DAE.
点评:(1)辅助线 AE,构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形,因此在关于直径的问题中,常添辅助线使之构 成直角三角形. (2)本题还有副产品 BE=EC,你注意了吗?该副产品有时很有用. 2、圆内角、圆外角、圆周角、弧之间的运算题 圆内角:角的顶点在圆内的角叫做圆内角. 圆外角:角的顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角.
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例 3、如图,圆的弦 AB、CD 延长线交于 P 点,AD、BC 交于 Q 点,∠P=28° ,∠AQC=92° ,求 cos∠ABC 的值.
分析:圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系,故圆内角∠AOC 与圆外角∠P 可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与 ∠A(∠C)建立起联系。
解:
∴∠A=∠C. ∵∠AQC=∠A+∠ABC,∠ABC=∠P+∠C, ∴∠AQC=∠A+∠P+∠C=∠A+∠P+∠A, 即 92° =2∠A+28° ,
∴∠A=32° .∴∠ABC=∠P+∠C=28° +32° =60° ,
.
答:cos∠ABC 的值为
.
点评:1)圆内角与圆外角都通过圆周角建立联系. 2)同弧对的圆内角、圆外角、圆周角之间的大小关系是:圆内角>圆周角>圆外角. 3)圆内角等于它所对弦对的圆周角与它对顶角所对的弧对的周角之和.(如图,∠AQC=∠ABC+∠A). 4)圆外角等于它所截两条弧所对的圆周角之差(如图,∠P=∠ABC-∠A). 3、与圆周角有关的证明 例 4、如图,△ABC 内接于⊙O,AE⊥BC 于 D,交⊙O 于 E,AF 为⊙O 的直径. 求证:∠BAF=∠CAE.
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分析:要证∠BAF=∠CAE,转证
,只须证 EF∥BC 即可.
证明: 连结 EF,则∠AEF=90° ,
又∵AE⊥BC,∴BC∥EF.
∴∠BAF=∠CAE
思考:此题还可以证明以下结论:
(1)
;
(2)AB· AC=AD· AF;
(3)若过 O 作 ON⊥AB 于 N,则 ON 与 CE 之间有何数量关系?
提示:(1)
的度数=2∠ACB,
的度数=2∠CAE,而∠ACB+∠CAE=90° 故可证.
(2)可证△ABF∽△ADC.
(3)连结 BF,可知
有 BF=CE,另由三角形中位线定理知
点评:圆中有垂直弦(或垂直条件)时,常作直径对的圆周角得平行弦,再用平行弦夹的弧相等来证题. 例 5、如图,AB 是△ABC 外接圆 O 的直径,D 为⊙O 上一点,且 DE⊥CD 交 BC 于 E,求证:EB· CD=DE· AC.
分析:
要证 EB· CD=DE· 可证 AC
.由三点定形知:可证△ACD∽△BED 即可.
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证明: 连结 AD、BD.
点评:在同圆(等圆)中常利用等弧(同弧)所对的圆周角相等证题. 例 6、 如图, △ABC 是⊙O 的内接三角形, 的直径 BD 交 AC 于 E, ⊙O AF⊥BD 于 F, 延长 AF 交 BC 于 G. 求证: 2=BG· AB BC.
分析:
将 AB2=BG· 写成比例式为 BC
,显然,欲证 AB2=BG· BC,只要证△BAG∽△BCA 即可.
点评:这里连结 AD 构造直径对的圆周角,进而运用了推论 2,这是证明本题的关键. 例 7、已知:⊙O1 的圆心 O1 在⊙O2 上,且两圆交于 A、B 两点,O1D 为⊙O2 的弦,交⊙O1 于 C,求证:O1C2=O1E· 1D. O
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分析: 要证的三条线段 O1C、O1E、O1D 在同一直线上,其中 O1C 是⊙O1 的半径,故可利用其它半径来代替,而 O1A=O1B, 故 证明: 连结 O1A,O1B,AD(如图) ,则可利用等弦所对的圆周角证题.
∵O1A=O1B,
,
∴∠O1AB=∠ADO1.
∵∠AO1D=∠AO1D,
∴△AO1D∽△EO1A.
.
∴AO12=O1D· 1E. O
又∵AO1=O1C.
∴O1C2=O1E· 1D. O
点评:在圆中有弧中点时,常用以下三种辅助线. ①过弧中点作半径;②连等弧对的圆心角和圆周角;③连等弧对的弦. 4、与圆的内接四边形的有关计算问题 例 8、如图,已知 AB 是半圆 O 的直径,∠BAC=40° ,D 是 AC 上任意一点,那么∠D 的度数是________.
分析: 解:
要求∠D 只须求它的补角∠B,而∠B 与∠CAB 互余,故可求. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90° , ∴∠B=90° -∠BAC=90° -40° =50.
∵ABCD 为圆内接四边形,∴∠D=180° -∠B=180° -50° =130° .
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答:∠D 的度数为 130° . 另外计算题还有以下几个题型:①与圆心角组合的题,主要利用同弧对的圆心角与圆周角关系解题; ②已知三个角的份数比求第四个角; 主要利用对角的份数和相等解题,先由已知份数的这组对角求出一份的度数,再根据未知角的份数求出这个角的度 数. 例 9、已知:四边形 ABCD 内接于⊙O,且∠BOD=100° .求∠A 的度数. 分析: 如图,(1)(2)点 A 的位置有两种可能:一是点 A 在∠BOD 的内部时[如(1)图];二是点 A 在∠BOD 的外部时[如 图(2)]故∠A 有两个值.
略解:
(1)如图(1),
(1)如图(2),
答:∠A 的度数是 130° 50° 或 .
5、与圆的内接四边形有关的证明问题
例 10、如图,已知:AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于 E,G 是
上任意一点,AG、DC 的延长线交于 F.
求证:∠FGC=∠AGD. 分析: 要证∠FGC=∠AGD,∠FGC 是圆内接四边形 AGCD 的外角,∠AGD 是圆周角,可以利用圆内接四边形的性
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质,把∠FGC 转移到圆内来,需在圆内构造与∠FGC 相等的角,可连结 AD,则∠FGC=∠ADC,于是问题转化为证 ∠AGD=∠ADC,∠AGD 所对的弧是 故∠FGC=∠AGD. ,∠ADC 所对的弧是 ,由垂径定理可知 ,因此∠AGD=∠ADC,
证明:
连结 AD.∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB, 又四边形 ADCG 是圆内接四边形,
,
∴∠AGD=∠ADC. ∴∠FGC=∠AGD.
∴∠FGC=∠ADC,
注意:本题还可以有另外的考虑:如连结 BC,用上述证明类似的步骤可以证明得结论;又如连结 BG,证明 ∠BGD=∠BGC,通过等角的余角相等也可以证得结论. 点评:圆内接四边形的性质是沟通圆外角和圆内角的桥梁,此题的关键是添加辅助线,构造圆内接四边形. 变换:①此题条件不变,问 DG· 是否与 AG· 相等. (提示:相等,只须证△ADG∽△CFG) CG FG ②是否有 AC2=AG· 成立. (提示:成立,只须证△ADG∽△AFD,有 AD2=AG· AF AF=AC2) 6、与弦切角有关的计算 例 11、如图,CE 切⊙O 于 B,直径 DA 的延长线交 CE 于 E,且 ∠E=________. 的度数为 40° ,则
分析: 由
的度数为 40° 得∠D=20° ,而由∠ABD=90° 有∠DAB=70° ,
又∠ABE=∠D=20° .所以∠E=∠DAB-∠ABE=70° -20° =50° . 解:∵AD 为⊙O 的直径, ∴∠DBA=90° ∴∠DAB=90° -∠D. ∵ 的度数为 40° ,
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∴∠D=20° . ∴∠DAB=90° -20° =70° . ∴∠ABE=∠D=20° .
∵BE 为⊙O 的切线,B 为切点,
∴∠E=∠DAB-∠ABE=70° -20° =50° .答:∠E 为 50° .
例 12、如图,BC 切⊙O 于 B,且∠ABC=30° ,AB=4,则⊙O 的半径为________.
分析:由弦切角定理有∠D=∠ABC=30° ,故∠AOB=2∠D=60° ,则△AOB 为等边三角形,故 OA=AB=4. 解:连结 OA、OB,则∠AOB=2∠D. ∴∠AOB=60° . ∵OA=OB, ∵BC 切⊙O 于 B, ∴∠D=∠ABC=30° . ∴△AOB 为等边三角形. ∴OA=AB=4. 答:⊙O 的半径为 4.
点评:弦切角的有关计算,主要是考查弦切角与它所夹的弧,及此弧对的圆心角与圆周角之间的数量关系. 7、与弦切角有关的证明 例 13、如图,AB 为⊙O 的直径,DE 切⊙O 于 C,AD⊥DE 于 D,求证:AC2=AD· AB.
分析: 要证 AC2=AD· AB,只须证△ADC∽△ACB. 证明:∵AB 为⊙O 的直径, ∵DE 切⊙O 于 C, ∴∠BCA=90° , ∵AD⊥DE 于 D, ∴∠ADC=∠BCA=90° .
∴∠1=∠B,
∴△ADC∽△ACB.
∴AC2=AD· AB.
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例 14、如图,⊙O1 与⊙O2 外切于 A,BC 是两圆的外公切线,切点分别为 B、C,延长 BA、CA 分别交⊙O1、⊙O2 于 D、 E,求证:BC2=BE· CD.
分析: 要证 BC2=BE· CD,只须证△EBC 与△BCD 相似即可. 证明:过 A 作两圆的公切线 AF 交 BC 于 F,则 FA=FB=FC,∴∠BAC=90° , ∴∠BAE=180° -∠BAC=90° ,∴BE 为⊙O1 的直径.∵BC 为⊙O1 的切线,∴BE⊥BC,∠1=∠E. 同理可证:DC⊥BC,∴∠EBC=∠DCB=90° , ∴△EBC∽△BCD. ∴BC2=BE· CD.
点评:当两圆内、外切时常作公切线,制造弦切角. 例 15、 已知: 如图, 两圆内切于 C, 大圆的弦 AB 切小圆于 G, 延长线 CG 交大圆于 E, 连结 CB、 求证: BC=CG· AC, AC· CE.
证明: 过 C 点作两圆的公切线 PQ,连结 AE.∴∠PCE=∠EAC,∵AB 切小圆于 G,∴∠PCE=∠BGC, ∴∠EAC=∠BGC, 又∠B=∠E,
∴△CBG∽△CEA,则
∴AC· BC=CG· CE.
点评:(1)此例关键是作两圆的公切线,作出公切线 PQ 后,∠PCE 既是大圆的弦切角,也是小圆的弦切角,会同时 等于两个不等圆的圆周角,公共的“弦切角∠PCE 是转化(代换)的桥梁”相切两圆的公切线是常见辅助线,当两圆相切时 可先作公切线试一试. (2)此例的结论是证线段成比例,结论中的四线段恰好在两个三角形中,转化为证角相等证△相似去解决.
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中考解析 例 1、(黄冈市中考题)已知,如图,AD 为△ABC 的角平分线,⊙O 过点 A,且和 BC 切 于点 D,与 AB、AC 分别交于点 E、F,若 BD=AE,BE=3,CF=2,则 AF 的长为()
解析: 连结 DE,因为 BC 是⊙O 的切线,所以∠BDE=∠BAD,∠B=∠B,所以 △BDE∽△BAD, 所以
, 所以 BD2=BE· AB=BE· (BE+AE), BD=AE, 又 BC=3,
所以 AE2=3(3+AE),解得
.又 AD 为△ABC 的角平分线,所以
∠DAE=∠EDB=∠DAC=∠DEF,即 EF∥BC.所以
,故选 C.
例 2、如图,锐角△ABC 中,以 BC 为直径的半圆 O 分别交 AB、AC 于 D、E 两点,且 S△ADE︰S 四边形 DBCE=1︰2,则 cosA 的值是( )
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分析: 要求 cosA,只须将∠A 放到直角三角形中去,而 BC 为直径,只须连结 BE 即
可,故转求
,而由△ADE∽△ACB 易得结论.
解:连结 BE,则 BE⊥AC.∵BCED 为圆内接四边形,∴∠1=∠C.又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB.
点评:涉及特殊角或三角函数时,常把特殊角和三角函数涉及的角放到直角三角形 中去,再利用解直角三角形有关的知识解题. 例 3、如图,△ABC 内接于⊙O,AB 的延长线与过 C 点的切线 GC 相交于点 D,BE 与 AC 相交于点 F,且 CB=CE,求证:BE∥DG.
分析: 要证 BE∥DG,只须证∠1=∠2,而由 CB=CE,有∠1=∠E,又由 DG 为⊙O 的切线有∠2=∠E,故∠1=∠2.证明:∵GC 切⊙O 于 C,∴∠2=∠E. 又∵CB=CE, ∴∠1=∠E. ∴∠2=∠1.∴BE∥DG. 变换:求证:BC2︰AC2=BD︰AD.
(提示:只须证△CDB∽△ADC 即可)
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