乘法公式及其应用整式的求值问题

初一“整式乘法”讲义：

整式的求值问题

（乘法公式的应用）

初一（ ）班 学号： 姓名：

一、二元对称式的求值问题

（1）已知x +y =10, xy =24，求5x 2+5y 2的值。

（2）已知a 2+b 2=10, ab =3，求a +b 和a -b 的值。

（3）已知x +y =10, x 3+y 3=100，求x 2+y 2的值。

（4）已知x +y =p , xy =q ，求x +y 的值。

二、与一元二次方程的根有关的求值问题

（1）已知3x -x -1=0，求6x +7x -5x +2006的值。

（2）已知x +

1

[1**********]3=2，求下列各式的值：（1）x +2；（2）x +3；（3）x +4。 x x x x

x 1x 2

=，求分式4（3）己知2的值。 2x +x +14x +x +1

2a 5+3a 4+3a 3+9a 2-5a +1（4）已知2a +3a -1=0，求的值。 3a -12

三、以不定方程为条件的定值问题：

33（1） 已知a +b =1，求a +b +3ab 的值。

（2）已知x +y =-1，求x 4+5x 3y +x 2y +8x 2y 2+xy 2+5xy 3+y 4的值。

（3）已知x +y +

22（4）已知x,y 为整数x +y +1≤2x +2y ，求x +y 的值。

225xy =2x +y ，求的值。 4x +y

（5）当a ，b 为何值时，多项式a ＋b －4a ＋6b ＋18有最小值？并求出这个最小值。

2

22

（6）已知a +2b +2c -2ab -2bc -6c +9=0，求abc 的值。

222（7）已知a +b +2c =1，a +b -8c +6c =5，求ab -bc -ca 的值。

222

（8）已知a +b -c =1，a +b +2a -4b +2c +7=0，求a +b +c 的值。

四、三元对称式的求值问题

（1）已知a +b +c =1, a 2+b 2+c 2=2, a 3+b 3+c 3=3，求abc 和a +b +c 的值。

222（2）已知a +b +2c =1，a +b -8c +6c =5，求ab -bc -ca 的值。同7

44422

（3）已知a +b +c =0, a +b +c =0，求abc 和a

3

33319+b 19+c 19的值。

五、求参数值

1、已知x 2-xy -2y 2-x -7y -6=(x -2y +A )(x +y +B )，求A 、B 的值。

2、若x +6x +7x -6x +A 是完全平方式，求A 的值。

六、证明题

1、求证：四个连续整数的积加上1是一个整数的平方。

2、一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称a 为完全平方数，如36=62，36就是一个完全平方数. 若a =20132+20132⋅20142+20142，求证：a 是一个完全平方数。 432

证明：令2992=m，则2993=m+1，

于是a=m2+m2•（m+1）2+（m+1）2，

=m4+2m3+3m2+2m+1，

=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，

=（m 2）2+2•m2•（m+1）+（m+1）2，

=（m 2+m+1）2，

所以是a 一个完全平方数．

3、设a 、b 、c 、d 为四边形的四边长且a +b +c +d =4abcd ，判别四边形的形状。 4444

解： a 4+b 4+c 4+d 4-4abcd =0

配方得：a 4-2a 2b 2+b 4+c 4-2c 2d 2+d 4+2a 2b 2+2c 2d 2-4abcd =0

2222222即(a -b ) +(c -d ) +2(ab -cd ) =0 2222∴a -b =0，c -d =0，ab -cd =0

∴a =b =c =d

∴以a 、b 、c 、d 为四边的四边形为菱形4

4、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：（1）2a 、2b 、c 都是整数；

（2）a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x 的整数值，x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值都是平方数？

证明：（1）∵对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax 2+bx+c的值都是平方数， ∴令x=0，a •02+b•0+c=c，

c 是整数且是平方数，

令x=1，-1时a •12+b•1+c，a •（-1）2+b（•-1）+c是平方数，

∴可设a •12+b•1+c=m12①a （•-1）2+b（•-1）+c=n12

②c=k12（m 1n 1k 1均为整数），

①-②得：2b=m12-n 12，

∴2b 为整数（整数相减为依然为整数），

由①得：2a=2m12-2b-2c ，

∴2a 为整数，

∴2a ，2b ，c 都是整数；

（2）（1）中已证c 是整数且是平方数，

令x=2，-2时，可设a •22+b•2+c=m22③a （•-2）2+b（•-2）+c=n22④c=k12（m 2n 2k 1均为整数），

③-④得：4b=m22-n 22=（m 2+n2）（m 2-n 2）=2（2b ），

∵2b 为整数，

∴2（2b ）为偶数，则m 22-n 22为偶数，

∴（m 2+n2），（m 2-n 2）同奇同偶，

则可设（m 2+n2）=2m，（m 2-n 2）=2n（m ，n 均为整数），

∴4b=2m•2n=4mn，

∴b=mn，

∴b 为整数；

（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax 2+bx+c=3，而3不是平方数． ∴不一定成立．

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