郑州大学2007级高等数学下课程试题A
郑州大学2007级高等数学下课程试题A
郑州大学2007级高等数学（下）课程试题（A 卷）
合分人： 复查人：
一、填空题：（每题3分，共 15分）
1
方程2 函数3 函数
的通解
， 求全微分在区间
. .
上的Fourier 级数为
, 则
.
4 5曲线
. 在点
处的切线方程为
二、计算题：（前4题各6分，后4题各8分，共56分）
1 计算2 设函数
, 其中由方程
.
确定, 求微分, 其中为抛物线
.
上从点
到点
3 计算第一型曲线积分的一段弧.
4 计算第二型曲线积分5 计算第一型曲面积分
, 为圆锥面
，为圆周
被平面
, 取正向. 截下的部分.
6 计算第二型曲面积分
, 取上侧.
,
是上半球面
7求幂级数的收敛区间与和函数. (要讨论收敛区间端点处的敛散性).
8 设有连续的二阶偏导数
, 三、（10分）
, 求.
设函数满足
上的最大值.
且, 求在区域
四、(10分)
设在连续可导, 且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线
, 都有五、(9分)
求曲面
在点
, 试证明: .
处的切平面与曲面围成立体的体积.
郑州大学2007级高等数学（下）课程试题答案（A 卷）
合分人： 复查人：
一、填空题：（每题3分，共 15分）
1 方程
2 函数
的通解 .
， 求全微分
.
3 函数在区间上的Fourier 级数为 , 则
2 .
4 0. .
5曲线在点处的切线方程为
二、计算题：（前4题各6分，后4题各8分，共56分）
1 计算解：视
, 其中
为
区域，则
.
2 设函数
由方程
确定, 求微分
.
解：方程两边取微分，得
即整理，得：
3 计算第一型曲线积分
, 其中为抛物线
上从点
到点
的一段弧.
解：
所以，
4 计算第二型曲线积分，为圆周, 取正向.
解：
（格林公式）
5 计算第一型曲面积分, 为圆锥面被平面截下的部分.
解：将投影在面上，其投影区域为：
，得
由圆锥面
故
6 计算第二型曲面积分上侧. 解：取
则由高斯公式：
（下侧），并记
, 是上半球面, 取
围成的空间区域为
（球坐标系下）
又
故
7求幂级数的收敛区间与和函数. (要讨论收敛区间端点处的敛散性).
解：（一）先求收敛区间
令
因为，故收敛半径为
又当级数即为发散；当级数即为收敛，
故收敛区间为（二）求和函数
令，
则
故
8 设有连续的二阶偏导数, , 求.
解：；
三、（10
分）
设函数满足且, 求在区域
上的最大值.
解：（一）先求
因为
又
因此，
，故 ，所以，
（二）求（一）内部
在上的最大值.
令得在内有唯一驻点
（二）边界令
上
由
得或
比较为3。
注意：其中（二）边界
知在上的最大值
上，也可这样求
故由上式显见在上，再与 比较，即知
在上的最大值为3。
四、(10分)
设在连续可导, 且对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有
, 试证明: .
证明：令
因为对于平面上不包围原点的任一条简单闭曲线, 都有，故一定满足
对于有
即有
化简，得有
（1）
特别地，（1）中令得
此为可分离变量方程，
即又将
（2） 代入（1）式，得
对
所以，
。
成立，故
五、(9分)
求曲面在点处的切平面与曲面围成立体的体积.
解：由曲面，令得
在点故
在点
处的切平面的法向量为处的切平面方程为
围成立体的体积为
则
即
设该切平面与曲面
其中
故
注意：其中投影区域的求法：联立消去得投影曲线为
故