2017高三清华北大自主招生数学训练题2(含答案)

数学自主招生训练题（2）

22

1. 设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ，B 两点，与圆(x -5)+y =r (r >0)相切于点M ，

2

且M 为线段AB 的中点. 若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）(1，3) （B ）(1，4) （C ）(2，3) （D ）(2，4)2. 已知菱形ABCD 的边长为2，? BAD

BE =l BC ，点E , F 分别在边BC , DC 上，120 ，-

2

，则l +m =（ ） 3

1257（A ） （B ） （C ） （D ）

23612

3. 已知定义在R 上的函数f (x )=2

x -m

DF =m DC . 若AE ? AF 1，CE ? CF

-1 （m 为实数）为偶函数，记

a =f (log0.53), b =f (log 25), c =f (2m ) ，则a , b , c 的大小关系为

（A ）a ⎧⎪2-x , x ≤2,

4. 已知函数f (x )=⎨ 函数g (x )=b -f (2-x ) ，其中b ∈R ，若函数2

⎪⎩(x -2), x >2,

y =f (x )-g (x ) 恰有4个零点，则b 的取值范围是

（A ）

7⎫⎛7⎫⎛⎛7⎫⎛7⎫, +∞⎪ （B ） -∞, ⎪ （C ） 0, ⎪ （D ） , 2⎪

4⎭⎝4⎭⎝⎝4⎭⎝4⎭

2

5. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机抽取一件，

其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）

2

（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P

7. 设函数f （x ）=，则满足f （f （a ））=2

f （

a ）

的a 的取值范围是（ ）

8. 已知a >0, b >0, 椭圆C 1的方程为2+2=1，双曲线C 2的方程为2-2=1，C 1与

a b a b

C 2的离心率之积为

，则C 2的渐近线方程为 2

（A ） x ±2y =0（B ）2x ±y =0（C ）x ±2y =0（D ）2x ±y =0 9．若实数x ，y 满足x +y≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 ．

10. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位： C ）满足函数关系y =e kx +b （e =2. 718 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。若该食品在0 C 的保鲜时间设计192小时，在22 C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是 小时. 11. 如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 .

12. 已知函数f (x ) =2x ，g (x ) =x 2+ax （其中a ∈R ）。 对于不相等的实数x 1, x 2，设m =

2

2

f (x 1) -f (x 2)

，

x 1-x 2

n =

g (x 1) -g (x 2)

，

x 1-x 2

现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数x 1, x 2，都有m >0；

（2）对于任意的a 及任意不相等的实数x 1, x 2，都有n >0； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数x 1, x 2，使得m =n ； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数x 1, x 2，使得m =-n 。 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）。

13、一个正方体的平面展开图和直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M,GH 的中点为N

（I ）请将字母F 、G 、H 标记在正方体的直观

意图

相应的顶点处（不要求说明理由）

（II ）证明：直线MN ∥平面BDH

（III ）求二面角A-EG-M 的余弦值

14. 如图A 、B 、C 、D 为平面四边形A BCD 的四个内角

A 1-cos A

（I ）证明：tan =

2sin A

（II ）若A+C=1800,AB=6，BC=3，CD=4，AD=5 求：tan

A B C D

+tan +tan +tan 的值 2222

A

15. 如图，在四棱锥A -BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ,∠CDE =∠BED =90︒，

AB =CD =2, DE =BE =

1, AC =.

(Ⅰ) 证明：DE ⊥平面ACD ;

(Ⅱ) 求二面角B -AD -E 的大小.

x 2y 2

16. 如图，设椭圆C:2+2=1(a >b >0) 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P

a b

在第一象限.

(Ⅰ) 已知直线l 的斜率为k ，用a , b , k 表示点P 的坐标；

(Ⅱ) 若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a -b .

x 2y 217. 如图，椭圆E: 2+2=1(a >b >

0) 的离心率是，过点P(0，1) 的动

a b 2

直线l 与椭圆交于A 、B 两点当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截的线段

长为（I ）求椭圆E 的方程

（II ）在平面直角坐标系中是否存在与点P 不同的定点Q, 使得成立，若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，说明理由

QA QB

=

PA PB

恒

18. 已知函数f (x )=x +3x -a (a ∈R ).

3

(Ⅰ) 若f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a ), m (a ) ，求M (a ) -m (a ) ；

(Ⅱ) 设b ∈R , 若⎡2

⎣f (x )+b ⎤⎦≤4对x ∈[-1,1]恒成立，求3a +b 的取值范围.

答案

1. D 2.C3.C4.D5.B6.D7.C8.A 9.3 10.24 11.

2

12.(1) (4) 5

13. （I ）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图

（II ）

连接BD ，取BD 的中点Q ，连接MQ

因为M 、Q 为线段BC 、BD 中点，所以MQ //CD //GH 且MQ =又因N 为GH 中点，所以NH =得到NH =MQ 且NH //MQ 所以四边形QMNH 为Y 得到QH //MN 又因为QH ⊂平面BDH

所以MN //平面BDH （得证）

（III ）连接AC ，EG ，过点M 作MK ⊥AC ，垂足在AC 上，过点K 作平面ABCD 垂线，交EG 于点L ，连接ML ，则二面角A -EG -M =∠MLK 因为MK ⊂平面ABCD ，且AE ⊥ABCD , 所以MK ⊥AE 又AE ，AC ⊂平面AEG , 所以MK ⊥平面AEG

且KL ⊂AEG ，所以MK ⊥KL ，所以三角形MKL 为RT ∆ 设正方体棱长为a ，则AB =BC =KL =a ， 所以MC =

11

CD =GH 22

1

GH 2

a ， 2

因为∠MCK =45︒，三角形MCK 为RT ∆

，所以MK =MC cos ∠45︒=

4

MK ==

所以tan ∠MLK =，所以cos ∠MLK =

KL a 43

所以cos =cos ∠MLK =

A A

2sin 2

1-cos A =14. 解：（1）证明： tan A =. =

sin A cos 2sin ⋅cos 222

sin

（2）解：

方法（一）

A B C D +tan +tan +tan 2222A C B D =(tan+tan ) +(tan+tan )

22221-cos A 1-cos C 1-cos B 1-cos D =(+) +(+)

sin A sin C sin B sin D (1-cos A ) ⋅sin C +(1-cos C ) ⋅sin A (1-cos B ) ⋅sin D +(1-cos D ) ⋅sin B =[]+[]

sin A ⋅sin C sin B ⋅sin D

sin A +sin C -(sinC ⋅cos A +cos C sin A ) sin B +sin D -(sinD ⋅cos B +cos D ⋅sin B ) =[]+[]

sin A ⋅sin C sin B ⋅sin D

sin A +sin C -sin(A +C ) sin B +sin D -sin(B +D ) =[]+[

sin A ⋅sin C sin B ⋅sin C tan

o o

由A +C =180可知B +D =180，所以有s i n A =

s C i n , s A +i n C (=，同理

s i n B =

tan

s D i n ，sin(B +D ) =0，进一步上式化简可得：

A B C D sin A +sin C sin B +sin D 2sin A 2sin B

+tan +tan +tan =() +() =(2) +(2) 2222sin A ⋅sin C sin B ⋅sin D sin A sin B

112(sinA +sin B )

+) （*） = =2(

sin A sin B sin A ⋅sin B

连接BD ，设BD =x ，在 ABD 和 CBD 中分别利用余弦定理及A +C =180可得

o

62+52-x 232+42-x 224732

cos A =-cos C ，即=-解得x =，从而得cos A =

，

772⋅6⋅52⋅3⋅4sin A =

1s =

. 同理可得，c o B ，sin B =. 代入（*）式可得

19

A B C D +tan +tan +tan 222211=2(+)

sin A sin B

=+=

3tan

⎧ ⎧⎪m AD =0⎪-2y 1-1=0

由⎨

即⎨

，可取m =(0,1, ⎪⎪⎩m AE =0⎩x 1-2y 1-1=0

⎧⎪n AD =0⎧⎪-2y 2-2=0

由⎨ 即⎨可取n =(0,-1

⎪⎩

x 2+y 2=0⎩n

BD =0⎪

17解：（1）由题知椭圆过点

。得

)

⎧c ⎪e ==

a 2⎪

⎪21

⎨2+2=1解得：a =2, b =c =。 ⎪a b ⎪a 2=b 2+c 2⎪⎩

x 2y 2

+=1。 所以，椭圆方程为：42

(2)假设存在满足题意的定点Q 。 当直线l 平行于x 轴时，设Q (0, a )

当直线l 为y 轴时，

QA QB

=

PA PB

=1，A , B 两点关于y 轴对称，得Q 在y 轴上。不妨

QA QB

=

PA =a ≠1。解得a =2

PB

下证对一般的直线l :y =kx +1，Q (0,2)也满足题意。 由QA

QB =PA

PB 得y 轴为∠AQB 的角平分线。所以k QA =-k QB 。

不妨设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)

y 1=kx 1+1, y 2=kx 2+1

y 1-2y -2，化简得2kx 1x 2=x 1+x 2① =-2

x 1x 2

又椭圆方程与直线方程联立得：

⎧y =kx +122，(1+2k )x +4kx -2=0 ⎨22⎩x +2y =4

x 1+x 2=-4k -2, x x = 12221+2k 1+2k

带入①得成立。故假设成立。综上存在点满足题意。

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南京清江花苑严老师

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