正余弦定理教学设计1
§4.5正﹑余弦定理(复习课)教学设计
高中数学组:刘胜军 2015.12.8
一.教学目标:
(1)知识目标:
①掌握正﹑余弦定理的推导过程和内容;
②能够运用正﹑余弦定理解三角形及综合应用.
(2)能力目标:提高学生用数形结合方法分析问题、解决问题的能力;
(3)情感目标:使学生学会用部分认识整体,分析变化中的不变性.
二:教学重点:正﹑余弦定理应用
三:教学难点:准确选择正﹑余弦定理实现边角的互化,变化中不变性的分析与应用。
四:教学过程:1.知识梳理
1.1正弦定理:____=__=___==2R,其中sin Asin Bsin CsinAsinBsinCabcabcR是三角形外接圆的半径.
变形为:(1)a∶b∶c=____ sin A∶sin B∶sin C _____;
(2)a=___2Rsin A _____,b=__2Rsin B _____,c=__2Rsin C ___;
(3)sin A=,sin B=___,sin C=2R2R2R
1.2 余弦定理:a=__ b+c-2bccos A ________,b=__ a+c-2accos B _____, 222222abc
c2=____ a2+b2-2abcos C ____.
b2+c2-a2a2+c2-b2
变形为:⑴cos A=___,cos B=___, 2bc2ac
a2+b2-c2
cos C=___2ab
⑵bccosAaccosBabcosCabc)
⑶射影定理:abcosCccosB, 12222
bccosAacosC,
cacosBbcosA
1.3.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
111abc11.4. S△ABC=absin C=bcsin A==+b+c)·r(r是三角形内切圆的半2224R2
径),并可由此计算R、r.
另外SABC1
p(abc)) 2
2.例题讲解:(特此说明,以下各题中的边a,b,c
均为角A,B,C所对的边) 题组一:(三角形边角的计算)在ABC中,在下列各条件下,完成以下各题:
⑴若B30,b4,则
⑵若(abc)(abc)ac,则B ;
⑶若bcosCccosB2b,则
0abc= ; sinAsinBsinCa ; b
A=45,⑷若b= a=12.则符合条件的ABC的个数为
若a=8,10,.则符合条件的ABC的个数又如何?
22⑸若ac2b,且sinAcosC3cosAsinC,则b。
设计目的:通过以上的练习,让学生进一步熟悉正﹑余弦定理及变形在处理三角形的
边角问题上的应用及解三角形的个数的判断方法。
题组二:(三角形形状的判定)在ABC中,在满足以下各条件下,判断其形状。
⑴若sin(AB)12cos(BC)sin(AC),则ABC为 ;
⑵若
⑶若bcosCccosBasinA,则ABC为 ;
⑷若sin2Asin2Bsin(AB),则ABC为。
设计目的:通过以上的练习,让学生进一步熟悉正﹑余弦定理如何实现在三角形中边角
的互化(即边角的统一)。尤其是第⑸题的 “观察-猜想-验证” 思想是中
学数学中优化学生的理性思维品质非常方法。
题组三:(三角形面积的计算)
1.在△ABC
siBnabc,则ABC为 cosAcosBcosC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(AtanCtanA)C.
(1)求证:a,b,c成等比数列.
(2)若a1,c2,求△ABC的面积S.
2.《直击高考P74.3》在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已
知ab,c
cos2Acos2BAcosABcosB.
①求角C; ②若sinA
设计目的:通过以上的练习,让学生进一步熟悉正﹑余弦定理和三角恒等变形在三角形
面积计算中的综合应用。 4,求SABC 5
五:课堂小结与反思:
(1) 由题设条件如何与正﹑余弦定理公式及三角恒等变形公式相联系;
(2) 立足公式及定理,先思考后求解;
(3) 结合图形分析,抓住不变量。
六:本课教学设计的特色:
(1) 关注数学中的数形的本质。通过三角恒等变形实现问题的化归,从而实现边角
的互化,实现三角和几何的联系。
(2) 题组的变式及递进式的难度符合学生的思维规律。
(3) 关注知识的核心和变式公式的来源。
(4) 进年来“观察-猜想-验证” 思想在高考中显现的训练。
备题:
1. 若一个三角形ABC的各边长均为整数,且周长之和为20,求SABC最大值。
2. 已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a2,
2b(siAnsiBn)(cb)siCn,求ABC面积的最大值.
且