古典概率与几何概率 学生
概 率
在任何涉及实际试验问题的概率问题,总可以用公式:
P =A 的元素个数, (全集)Ω的元素个数
这类问题,我们称之为古典概型。但是在计数的时候,我们往往将总方法数看成该试验的基本结果即基本事件数目。
事件之间有三种关系
关系一:互斥事件:——————————————————————————————————————
更进一步的对立事件:———————————————————————————
互斥事件的概率公式:—————————————————————————————————————— 对立事件的概率公式:———————————————————————————
古典概型问题,目前主要就是数数,而数数需要解决两个问题
(1) 对象之间是否相同。
(2) 对象间是否要区分顺序
例(1).某次运动会招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm) ,身高在175 cm 以上(包括175 cm) 定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有一人是“高个子”的概率;
(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人,求这2人身高相差5 cm以上的概率.
例2.有三个完全相同的白球,和完全相同的黑球,现从中任意取出两个球.
(1)求取得的两个球颜色相同的概率;
(2)若先取出一个后放回,再取出一个,求取得的两个球颜色不相同的概率.
几何概率 几何概率仍然满足P =A 的元素个数。 (全集)Ω的元素个数
解决几何概率的6个问
(1) 基本事件是什么?
(2) 用什么图形表示基本事件?
(3) 用什么来度量基本事件?
(4) 事件A 是什么?
(5) 用什么图形表示事件A ?
(6) 用什么来度量基本事件A ?
其难点在于将实际问题转化成几何概率问题
⎧题目中只有一个独立的变量则转化为————————————⎪常见的转化方向有⎨题目中有两个独立的变量则转化为————————————
⎪题目中有三个独立的变量则转化为————————————⎩
ππ1例3.在区间⎡-,上随机取一个数x ,cos x 的值介于0到( ) 2⎣221 3 2 π 1C. 2 23
例4: 如图,四边形ABCD 为矩形,AB =3,BC =1,以A 为圆心,1为半径作四分之一
个圆弧DE ,在∠DAB 内任作射线AP ,则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.
思考题 (1)如图,M 是半径为R 的圆周上的一个定点,在圆周上等可能地任取一点N ,连接MN ,则弦MN 的长度超过2R 的概率是
1111 B. C. 5432
思考2: 过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一
条射线,设射线与AB 相交于点D ,求AD
例5:.设AB =6,在线段AB 上任取两点(端点A ,B 除外) ,将线段AB 分成了三条线段,
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;
(2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.
⎛31⎫例6:.已知A (2, 1) ,B (1,-2) ,C , -⎪,动点P (a , b ) 满足0≤OP ⋅OA ≤2且⎝55⎭
10≤OP ⋅OB ≤2,则点P 到点C 的距离大于的概率为 . 4
例7:.甲、乙两艘轮船共用一个不能同时停泊两艘轮船的码头,按规定,一天之内(从0:00-24:00),甲必须连续在港休息4小时,乙必须连续在港休息为2小时,
(1)若甲在14:00到达,求甲不需等待的概率
(2)若乙在14:00到达,求甲不需等待的概率
(3)求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.
练习1:.:在区间[0,10]内随机取出两个数,则这两个数的平
方和也在区间[0,10]内的概率是________.
2.如图所示,图2中实线围成的部分是长方体(图1) 的平面
展开图,其中四边形ABCD 是边长为1的正方形.若向虚线围成
的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率
1是________. 4
3. 在半径为1的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是________.
4. 在长为12 cm的线段AB 上任取一点C . 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,
1124则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )A. B. C. D. 6335
5. 已知关于x 的一元二次函数f (x ) =ax 2-4bx +1.
(1)设集合P ={1,2,3}和Q ={-1,1,2,3,4},分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ,求函数y =f (x ) 在区间[1,+∞) 上是增函数的概率;
x +y -8≤0,⎧⎪(2)设点(a ,b ) 是区域⎨x >0,内的随机点,求函数y =f (x ) 在区间[1,+∞) 上是增函
⎪⎩y >0
数的概率.
6:.袋中有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,
1标号为2的小球n 个,现从袋中随机取1个小球,取到标号为2的小球的概率为2
(1)求n 的值;
(2)从袋中不放回随机抽取两个小球①记第一次抽出的小球标号为a ,第二次抽出的小球标号为b ,记事件A 表示“a +b =2”的概率,求A 发生的概率;
②在区间[0,2]内任取两个实数x ,y ,求事件“x 2+y 2>(a -b ) 2”恒成立的概率.