经济数学答案

经济数学基础形成性考核册及参考答案

作业（一）

（一）填空题 1. lim

x -sin x

x

x →0

=___________________. 答案：0

⎛x 2+1,

2. 设f (x ) =

k , ⎝

x ≠0x =0

，在x =0处连续，则k =________. 答案：1

12

12

3. 曲线y =x 在(1, 1) 的切线方程是 . 答案：y =x +

4. 设函数f (x +1) =x 2+2x +5，则f '(x ) =____________. 答案：2x 5. 设f (x ) =x sin x ，则f ''() =__________

2π

. 答案：-

π2

（二）单项选择题 1. 答案：D

2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B A. lim

x x

=1 B. l i m

x →0

x

+

x →0

x

=1

C. lim x sin

x →0

1x

=1 D. l i m

si n x x

x →∞

=1

3. 设y =lg 2x ，则d y =（ ）．答案：B A ．

12x

d x B ．

1x ln 10

d x C ．

ln 10x

d x D ．

1x

d x

4. 若函数f (x ) 在点x 0处可导，则( ) 是错误的．答案：B

A ．函数f (x ) 在点x 0处有定义 B ．lim f (x ) =A ，但A ≠f (x 0)

x →x 0

C ．函数f (x)在点x0处连续 D ．函数f (x)在点x0处可微 5 答案B

(三) 解答题 1．计算极限 （1）lim

x -3x +2x -1

22

x →1

原式=lim

(x -1)(x -2) (x -1)(x +1)

x →1

=lim =-

x -2x +1

x →1

12

x -5x +6x -6x +8

22

（2）lim

x →2

=

12

原式=lim

(x-2)(x-3)

x →2

(x-2)(x-4)

=lim

x -3

x →2

x -41

=

2

（3）lim

-x -1 x →0

x

原式=lim

(-x -1)(-x +1)

x →0

x (-x +1) =lim

-1

x →0

-x +1

=-

12

x 2

（4）lim

2-3x +53x 2

+2x +4

x →∞

2-

3原式=

x +5

x

2

23+

3

x +

4= =3 x 2

（5）lim

sin 3x

sin 5x

x →0

sin 3x

原式=

33x 5

lim

x →sin 5x =35 0

5x

2

（6）lim

x -4

x →2

sin(x -2)

原式=lim

x +2

x →2

sin(x +2) x +2

lim (x +2)

=

x →2

lim

sin(x -2)

x →2

x -2

= 4

1⎧x sin +b , ⎪x ⎪

2．设函数f (x ) =⎨a ,

sin x ⎪⎪

x ⎩

x 0

问：（1）当a , b 为何值时，f (x ) 在x =0处有极限存在？ （2）当a , b 为何值时，f (x ) 在x =0处连续. 答：

(1)lim f (x ) =b ,

x →0

-

lim f (x ) =1

x →0

+

当 a =b =1时，(2). 当

有lim f (x ) =f (0) =1

x →0

a =b =1时，有lim f(x)=f(0)=1

x →0

函数f(x)在x=0处连续.

3．计算下列函数的导数或微分： （1）y =x 2+2x +log 答：y '=2x +2ln 2+（2）y =

ax +b cx +d

x

2

x -2，求y ' 1

2

x ln 2

，求y '

答：y '=

a (cx +d ) -c (ax +b )

(cx +d )

13x -5

-32(3x -5)

3

2

=

ad -bc (cx +d )

2

（3）y =，求y '

答：y '=

（4）y =答：y '=

x -x e ，求y '

x

12x 1

-(e +xe )

x x

=

2x

ax

-e -xe

x x

（5）y =e 答：

sin bx ，求d y

y '=(e ) '(sinbx +e (sinbx ) '

∵

ax ax

=ae

ax

ax

sin bx +be

ax

cos bx

=e (sinbx +b cos bx )

∴dy =e (a sin bx +b cos bx ) dx

1

ax

（6）y =e x +x x ，求d y 答：∵y '=-

1x

2

1

e x +32

32

x 1x

2

1

∴dy =(x -

-x

2

e x ) dx

（7）y =cos x -e ，求d y

答：∵y '=-sin x ⋅(x ) '-e x +2xe

-x

2

-x

2

⋅(-x ) '

2

=-

sin 2x x

∴dy =(-

sin 2x

+2xe

-x

2

) dx

（8）y =sin

n

x +sin nx ，求y '

n -1

答：y '=n (sinx cos x +cos nx )

（9）y =ln(x ++x 2) ，求y '

答：y '=

1x +

+x 1x +

+x 1x +

+x

2

2

⋅(x ++x ) ' x +x

2

2

=

2

⋅(1+

2

)

=⋅

+x +x +x

2

=

1+x

2

（10）y =2

cot

1x

+

1x

1+

x

2

-x

2x

，求y '

-12

1

y '=2

答：

cos

⋅ln 2⋅(cos⋅2

cos

1x

1x

) '+(x 1x

+x 6-1

+

2) '16x

5

=-

1x

2

ln 2⋅sin -

2x

3

4. 下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或d y （1）x 2+y 2-xy +3x =1，求d y

答：方程两边对x 求导： 2x +2y ⋅y '-y -x y '+3=0 (2y -x ) y '=y -2x -3

所以 dy =

y -2x -32y -x

dx

（2）sin(x +y ) +e xy =4x ，求y '

答：方程两边对x 求导： cos(x +y )(1+y ') +e xy

⋅(y +x y ') =4

[cos(x +y ) +xe

xy

]y '=4-cos(x +y ) -ye

xy

xy

所以 y '=

4-cos(x +y ) -ye cos(x +y ) +xe

xy

5．求下列函数的二阶导数： （1）y =ln(1+x 2) ，求y ''

答案：y '=

2x 1+x

2

2

2x ⋅2x

-2x

2 y ''=

2(1+x ) -(1+x 2

)

2

=

2(1+x 2

)

2

（2）y =

1-x ，求y ''及y ''(1)

x

-11

3答：y '=(x 2

-x 2) '=-

12

2

x

-

-

12

x

-

12

53y ''=

3-

2

4

x

+

14x

-

2

y '(1) =

314

+4

=1

作业（二）

若⎰f (x ) d x =2x +2x +c ，则f (x ) =___________________

. 答案：2x

ln 2+2 （一）填空题1.

2.

⎰(sin x ) 'd x =

________. 答案：sin x +c

12

F (1-x ) +c

2

3. 若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰xf (1-x 2) d x =. 答案：-4.

⎰d x

d

e 1

ln(1+x ) d x =__________

0x

2

_. 答案：0

5. 若P (x ) =

⎰

1+t

2

t ，则P '(x ) =__________. 答案：-

1+x

2

（二）单项选择题

1. 下列函数中，（ ）是x sin x 的原函数． A ．

12

2

cos x 2 B ．2cos x 2 C ．-2cos x 2 D ．-

12

cos x 2

答案：D

2. 下列等式成立的是（ ）． A ．sin x d x =d(cosx ) B ．ln x d x =d(

C ．2d x =答案：C

3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）． A ．⎰c os(2x +1)d x ， B ．⎰x -x 2d x C ．⎰x sin 2x d x D ．⎰答案：C

4. 下列定积分计算正确的是（ ）． A ．⎰2x d x =2 B ．⎰

-11

16-1

x

1x

) x

1ln 2

d(2)

x

D ．

1x

d x =d

x 1+x

2

d x

d x =15

π

C ．⎰

π

-π

(x +x )d x =0 D ．⎰sin x d x =0

-π

23

答案：D

5. 下列无穷积分中收敛的是（ ）．

A ．⎰

+∞1

1x

d x B ．⎰

+∞1

1x

2

d x C ．⎰

+∞0

e d x D ．⎰

x

+∞1

sin x d x

答案：B (三) 解答题

1. 计算下列不定积分 （1）⎰

3e

x x

d x

3x

答案：原式=⎰() dx

e

3x () x

3+c =x +c =

3e (ln3-1) ln e

（2）⎰

(1+x )

x

2

d x

12

3

答案：原式=⎰(x

1

-

+2x +x 2) dx

=2x 2+

2

43

3

x 2+

25

5

x 2+c

（3）⎰

x -4x +2

d x

答案：原式=⎰(x -2) dx =（4）⎰

11-2x

d x

12

x -2x +c

2

答案：原式=-

1

⎰2

d (1-2x ) 1-2x

=-

12

ln 1-2x +c

（5）⎰x 2+x 2d x 答案：原式=

12

⎰

2+x d (2+x )

32

22

=(2+x ) 2+c 3（6）⎰

sin

x x d x

1

答案：原式=2⎰sin （7）⎰x sin

x 2d x

x d x =-2cos x +c

答案：∵(+) x sin

x 2

-2cos

x 2x 2

-4sin

∴原式=-2x cos

x 2

+4sin

x 2

+c

（8）⎰ln(x +1)d x

答案：∵ (+) ln(x +1) 1

(-) -

1

x +1

x ∴ 原式=x ln(x +1) -

⎰x

x +1dx

=x ln(x +1) -⎰(1-

1x +1

) dx

=x ln(x +1) -x +ln(x +1) +c 2. 计算下列定积分 （1）⎰2

-x x

-1答案：原式=⎰1

-1

(1-x ) dx +

⎰

2

1

(x -1) dx =2+(

122

=2+

592

x -x ) 12=2

1

x （2）⎰

2e x 1

x

2

1

答案：原式=⎰

2

e x 2

1

x

2

(-x ) d

1x

1

1

=-e

x

21

=e -e 2

3

（3）⎰

e 11

x +ln x

x

答案：原式=⎰

e

3

x 1

x +ln x

d (1+ln x )

3

=2+ln x

e

1

=2

π

（4）⎰

2x cos 2x d x

答案：∵ (+)x cos 2x 12

sin 2x

-

14

cos 2x

π

∴ 原式=(

12-

x sin 2x +14

12

14

cos 2x ) 02

=-

e

14

=-

（5）⎰x ln x d x

1

答案：∵ (+) ln x x (-)

1x

x

2

2

∴ 原式=

12

x ln x

2e 1

-

1

⎰2

2

e

1

xdx

=

4

e

2

2

-

14

x

2e 1

=

14

(e +1)

（6）⎰(1+x e -x ) d x

答案：∵原式=4+

⎰

4

xe dx

-x

-x

又∵ (+)x e

-x

e e ∴⎰xe dx =(-xe

04

-x

-x

-x

-x

-e

) 0

4

=-5e

-4

+1

故：原式=5-5e

-4

作业三

（一）填空题 ⎡1

⎢

1. 设矩阵A =3

⎢⎢⎣2

0-21

436

-5⎤

⎥

2，则A 的元素a 23=__________⎥-1⎥⎦

________. 答案：3

2. 设A , B 均为3阶矩阵，且A =B =-3，则-2AB T =________. 答案：-72

3. 设A , B 均为n 阶矩阵，则等式(A -B ) =A -2AB +B 成立的充分必要条件是答案：

2

2

2

AB =BA

4. 设A , B 均为n 阶矩阵，(I -B ) 可逆，则矩阵A +BX =X 的解X =______________. 答案：(I -B ) -1A

⎡⎢1⎢

. 答案：A =⎢0

⎢⎢0⎢⎣

⎤

0⎥⎥0⎥ ⎥1⎥-3⎥⎦

⎡1

⎢

5. 设矩阵A =0

⎢⎢⎣0

020

0⎤

⎥

0，则A -1=__________⎥-3⎥⎦

120

（二）单项选择题

1. 以下结论或等式正确的是（ ）．

A ．若A , B 均为零矩阵，则有A =B

B ．若AB =AC ，且A ≠O ，则B =C

C ．对角矩阵是对称矩阵

D ．若A ≠O , B ≠O ，则AB ≠O 答案C

2. 设A 为3⨯4矩阵，B 为5⨯2矩阵，且乘积矩阵ACB T

有意义，则C T 为（ A ．2⨯4 B ．4⨯2

C ．3⨯5 D ．5⨯3 答案A

3. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．(A +B ) -1=A -1+B -1， B ．(A ⋅B ) -1=A -1⋅B -1

C ．AB =BA D ．AB =BA 答案C 4. 下列矩阵可逆的是（ ）． ⎡1

23⎤⎡-1

0-1⎤

A ．⎢

⎢0

23⎥⎥ B ．⎢⎢

101⎥⎥ ⎢⎣0

3⎥⎦⎢⎣1

2

3⎥⎦

C ．⎡11⎤⎢ D ．⎡1

1⎤

⎣0

0⎥⎦⎢⎣2

2⎥ 答案A ⎦

5. 答案C

三、解答题 1．计算

（1）⎡-21⎤⎡01⎤⎡1-2⎤

⎢

⎣5

3⎥⎦⎢⎣10⎥=⎦⎢⎣35⎥ ⎦（2）⎡02⎤⎡11⎤⎡0⎤⎢

⎣0

-3⎥⎦⎢⎣0

0⎥=0

⎦⎢⎣0

0⎥ ⎦

）矩阵．`

（3）[-1

25

⎡3⎤⎢⎥0

4]⎢⎥=[0] ⎢-1⎥⎢⎥⎣2⎦

⎡1⎢

2．计算-1

⎢⎢⎣1⎡1⎢解 -1

⎢⎢⎣1

22-3

22-3

3⎤⎡-1

⎥⎢21⎥⎢2⎥⎦⎢⎣2

243

243

4⎤⎡2

⎥⎢3-6⎥⎢-1⎥⎦⎢⎣3

41-2

41-2

5⎤

⎥0 ⎥7⎥⎦

1912-4

7⎤⎡2

⎥⎢0-6⎥⎢-7⎥⎦⎢⎣3

41-2

5⎤

⎥0 ⎥7⎥⎦

3⎤⎡-1

⎥⎢21⎥⎢2⎥⎦⎢⎣24⎤⎡2

⎥⎢3-6⎥⎢-1⎥⎦⎢⎣35⎤⎡7

⎥⎢0=7⎥⎢7⎥⎦⎢⎣0

⎡5

⎢

=1

⎢⎢⎣-3⎡2

⎢

3．设矩阵A =1

⎢⎢⎣0

31-1

-1⎤⎡1

⎥⎢1，B =1⎥⎢

⎢1⎥⎦⎣0

211

1511-2

2⎤

⎥0 ⎥-14⎥⎦

3⎤

⎥

2，求AB 。 ⎥1⎥⎦

解 因为AB

2A =1

31-1

-1

=A B

2

31-1

22=(-1) 0

2+3

1=11

(-1)

21

22

=2

1B =1

211

312-11

3-1=01

2=01

所以

AB =A B =2⨯0=0

2

⎡1

⎢

4．设矩阵A =2

⎢⎢⎣1⎡1⎢

答案：解：A =2

⎢⎢⎣1

λ12

4⎤

⎥

1，确定λ的值，使r (A ) 最小。 ⎥0⎥⎦

4⎤②+①⨯(-2) ⎡1⎥③+①⨯(-1) ⎢1−−−−→0⎥⎢

⎢0⎥⎦⎣0

2

4⎤⎡1

⎥（②，③）⎢-7−−−−→0

⎥⎢

⎢-4⎥⎦⎣0

11

2-1

λ1

λ-4-1

λ-4

4⎤

⎥-4 ⎥-7⎥⎦

⎡1⎢③+②⨯(λ-4)

−−−−−→0

⎢⎢⎣0

2-10

⎤

⎥ -4⎥

9-4λ⎥⎦

4

所以当λ=

94

时，秩r (A ) 最小为2。 -5-8-7-1-5-8-7-12-6-2-62-200

[**************]2

1⎤

⎥3

⎥的秩。 0⎥⎥3⎦

1⎤⎡1⎥⎢35(①，③) ⎥−−−⎢−→

⎢20⎥

⎥⎢3⎦⎣4

-792727

4-5-15-15

-7-8-5-12-2-6-6

4531

2422

0⎤②+①⨯(-5)

⎥③+①⨯(-2) 3+①⨯(-4) ⎥−④−−−→ 1⎥⎥3⎦

⎡2⎢5

5．求矩阵A =⎢

⎢1⎢⎣4⎡2⎢5

答案：解：A =⎢

⎢1⎢⎣4⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0⎡1⎢0⎢⎢0⎢⎣0

-727927-7900

4-15-5-154-500

0⎤⎡1⎥⎢30（②，③）⎥−⎢−−−→

⎢01⎥

⎥⎢3⎦⎣00⎤⎥1⎥ 0⎥⎥0⎦

0⎤

③②⨯(-3) ⎥1+②⨯(-3) ⎥−④−−−→ 3⎥⎥3⎦

所以秩r (A ) =2

6．求下列矩阵的逆矩阵： ⎡1⎢

（1）A =-3

⎢⎢⎣1

-301

2⎤

⎥1 ⎥-1⎥⎦-301

21-1

100

010

0⎤⎡1②+①⨯3

⎥③+①⨯(-1) ⎢0−−−−→0⎥⎢

⎢1⎥⎦⎣0⎡⎢1

①+②⨯3

⎢

③+②⨯(-4)

−−−−→⎢0

⎢⎢0⎢⎣

010

001

12

⎡1

⎢

答案：[A I ]=-3

⎢⎢⎣1

-3-94010

--

27-313

7

13-10-1

010--131

0⎤⎥0 ⎥1⎥⎦⎤0⎥⎥0⎥ ⎥⎥1⎥⎦

⎡1

②⨯(-) ⎢9−−−−→⎢0

⎢⎣0

1

-31427-9-311-3-101-90

0⎤⎥0⎥⎥1⎦

919

313

94

9

⎡1⎢

②+③⨯7−−−−→⎢0

⎢⎢0⎣

①+③⨯3

010

0019

1213

1349

⎤

⎡1⎥

⎢③⨯9

7⎥−−−→0

⎢⎥

⎢1⎥⎣0

⎦3

123

134

3⎤⎥7 ⎥9⎥⎦

所以A

-1

⎡1⎢=2⎢⎢⎣3

134

3⎤

⎥

7。 ⎥9⎥⎦1-1-2

3⎤

⎥-1

5，求（I +A ）． ⎥-1⎥⎦

⎡-1

⎢

（2）设A =1

⎢⎢⎣1

⎡0⎢

答案：I +A =1

⎢⎢⎣1⎡0

[I +A I ]=⎢1

⎢⎢⎣1

10-2

10-2350

3⎤

⎥5 ⎥0⎥⎦100

010

0⎤⎡1

⎥⎢0−−→0⎥⎢

⎢1⎥⎦⎣1

01-2

530

010

100

0⎤⎡1

⎥⎢0−−→0⎥⎢

⎢1⎥⎦⎣0⎡⎢1⎢−−→⎢0

⎢⎢0⎢⎣

010

01-2001

535-1011

511211

010

101611-311111

0⎤⎥0 ⎥1⎥⎦-5⎤11⎥-3⎥⎥ 11⎥1⎥11⎥⎦

⎡1

⎢−−→0

⎢⎢⎣0

010

5311

012

101

⎡

0⎤1

⎢

⎥0−−→⎢0⎥⎢1⎥⎦⎢0

⎣

010

531

01211

10111

⎤⎥0⎥1⎥⎥11⎦0

⎡⎢⎢-1

（I +A ）=⎢

⎢⎢⎢⎣

-1011

511211

611-311111

-5⎤11⎥-3⎥⎥ 11⎥1⎥11⎥⎦

7．设矩阵A =⎢

⎣3

⎡1

2⎤⎡1, B =⎥⎢5⎦⎣22⎤

⎥，求解矩阵方程XA =B ． 3⎦

答案：解：X =BA -1

⎡1

[A I ]=⎢

⎣3

①+②⨯(-2)

25

10012⎤⎥ -1⎦

0⎤②+①⨯(-3) ⎡1⎥−−−−→⎢1⎦⎣0-53

2⎤

⎥ -1⎦

2-1

1-3

0⎤②⨯(-1) ⎡1⎥−−−→⎢1⎦⎣0

21

13

0⎤

⎥ -1⎦

⎡1

−−−−→⎢

⎣0∴A

-1

⎡-5=⎢⎣3

-1

X =BA 四、证明题

⎡1=⎢⎣22⎤⎡-5⎥⎢3⎦⎣32⎤⎡1⎥=⎢-1⎦⎣-10⎤⎥ 1⎦

1．试证：若

B 1, B 2

都与

A

可交换，则

B 1+B 2

，

B 1B 2

13

也与A 可交换。

证明：∵ AB 1=B 1A ，AB 2=B 2A

∴ A (B 1+B 2) =AB 1+AB 2=B 1A +B 2A =(B 1+B 2) A A (B 1B 2) =AB 1B 2=B 1AB 2=B 1B 2A =(B 1B 2) A 即 B 1+B 2，B 1B 2也与A 可交换。

2．试证：对于任意方阵A ，A +A T ，AA T , A T A 是对称矩阵。 证明：∵ (A +A T ) T =A T +(A T ) T =A T +A =A +A T (AA T ) T =(A T ) T (A ) T =AA T

(A A )

T

T

=(A ) (A )

T T T

=A A

T

∴ A +A T ，AA T , A T A 是对称矩阵。

3．设A , B 均为n 阶对称矩阵，则AB 对称的充分必要条件是：AB =BA 。 证明：充分性

∵ A T =A ，B T =B ，(AB ) T =AB ∴ AB =(AB ) T =B T A T =BA

必要性

∵ A T =A ，B T =B ，AB =BA ∴ (AB ) T =(BA ) T =A T B T =AB 即AB 为对称矩阵。

4．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，且B -1=B T ，证明B -1AB 是对称矩阵。 证明：∵ A T =A ，B -1=B T ∴ (B

-1

AB )

T

=B A (B

T T -1

)

T

=B

-1

A (B )

T -1

=B

-1

A (B

-1

)

-1

=B

-1

AB

即 B -1AB 是对称矩阵。

作业（四）

（一）填空题 1. 答案：(1, 4)

2. 函数y =3(x -1) 的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点. 答案：x =1, x =1，小 3. 设某商品的需求函数为q (p ) =10e

-p 2

2

，则需求弹性E p = . 答案：-2p

14

4.. 答案：-1

⎡1⎢

5. 设线性方程组AX =b ，且A →0

⎢⎢⎣0

1-10

13t +1

6⎤

⎥

2，则t __________⎥0⎥⎦

时，方程组有唯一解. 答案：≠-1

（二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间(-∞, +∞) 上单调增加的是（

x

2

）．

A ．sin x B ．e C ．x D ．3 – x

答案：B 2. 答案：C

3. 下列积分计算正确的是（ ）．

A ．⎰

1

e -e

2

x -x

-1

d x =0 B ．⎰

1

e +e

2

x -x

-1

d x =0

C ．⎰x sin x d x =0 D ．⎰(x 2+x 3)d x =0

-1

-1

11

答案：A

4. 设线性方程组A m ⨯n X =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）．

A ．r (A ) =r (A )

x 1+x 2=a 1⎧

⎪

5. 设线性方程组⎨x 2+x 3=a 2，则方程组有解的充分必要条件是（ ）．

⎪x +2x +x =a

233⎩1

A ．a 1+a 2+a 3=0 B ．a 1-a 2+a 3=0 C ．a 1+a 2-a 3=0 D ．-a 1+a 2+a 3=0 答案：C

三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y '=e

x +y

dy dx

=e

x +y

解：原方程变形为： 分离变量得：e

-y

dy =e dx

x

两边积分得：-⎰e -y d (-y ) = 原方程的通解为：-e

d y d x

x e 3y

x 2

-y

x

⎰e

x

dx

=e +C

（2）=

解：分离变量得：3y dy =xe dx

15

2x

两边积分得：⎰3y 2dy =

⎰

x

xe dx

原方程的通解为：y 3=xe x -e x +C 2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y '-

2x +1

y =(x +1)

3

解：原方程的通解为：

y =e

--

⎰

2x +1

dx

(⎰e

⎰-x +1dx

-2

2

(x +1) dx +C ) =e

3

⎰x +1d (x +1)

2

(⎰e

-

⎰x +1d (x +1)

2

(x +1) dx +C )

3

=e l n x (+1) (⎰e l n x (+1) (x +1) 3dx +C ) =(x +1) 2(⎰(x +1) -2(x +1) 3dx +C ) =(x +1) 2(⎰(x +1) dx +C ) =(x +1) 2(（2）y '-

y x

=2x sin 2x

12

x +x +C ) y =(x +1) (

2

2

2

12

x +x +c )

2

解：y =x (-cos 2x +c ) 3. 求解下列微分方程的初值问题： (1) y '=e 2x -y , y (0) =0 解：原方程变形为：

dy dx

=e

2x -y

分离变量得：e y dy =e 2x dx 两边积分得：⎰e y dy =原方程的通解为：e

y

⎰e

12

2x

dx +C

1212

=e

2x

将x =0，y =0代入上式得：C =则原方程的特解为：e

x

y

=

12

e

2x

+

(2)x y '+y -e =0, y (1) =0

1x

e

x

解：原方程变形为：y '+

原方程的通解为：

y =e

-

y =

x

⎰x dx

1

(⎰e

⎰x dx e

1

x

x

dx +C ) =e

ln x

-1

(⎰e

ln x

e

x

x

dx +C ) =

1x

(⎰e dx +C )

x

=

1x

(e +C )

x

将x =1，y =0代入上式得：C =-e 则原方程的特解为：y =

1x

(e -e )

16

x

4. 求解下列线性方程组的一般解： +2x 3-x 4=0⎧x 1

⎪

（1）⎨-x 1+x 2-3x 3+2x 4=0

⎪2x -x +5x -3x =0

234⎩1

解：原方程的系数矩阵变形过程为： ⎡1

⎢A =-1

012-3-1⎤⎡1②+①

⎥③+①⨯(-2) ⎢2−−−−→0012-1-1⎤⎡1

⎥③+②⎢1−−−→0012-1-1⎤

⎥1 ⎢⎥⎢

⎥⎢⎣2

-1

5

-3⎥⎦⎢⎣0

-1

1

-1⎥⎦由于秩(A )=2

1=-2x 3+x 4

x （其中x ⎩x 3，x 4为自由未知量）。 2=x 3-4

⎧2x 1-x 2+x 3+x 4=1（2）⎪

⎨x 1+2x 2-x 3+4x 4=2

⎪⎩x 1

+7x 2-4x 3+11x 4=5

解：原方程的增广矩阵变形过程为： ⎡2

-1111⎤⎡1

2-142⎤A =⎢⎢1

2-142⎥(①, ②) ⎥−−−→⎢⎢

2-1111⎥⎥ ⎢⎣1

7

-4

11

5⎥⎦⎢⎣17

-4

115⎥⎦②+①⨯(-2) ⎡12-142⎤⎡1

2-1−③−+①−(⨯−-1)

→⎢⎢0

-53-7-3⎥③+②⎢⎥−−−→⎢

0-53⎢⎣0

5-3

7

3⎥⎦⎢⎣000⎡16⎢11

⎡1

2-142⎤05

5②−−⨯(−-−5) →⎢⎢0

1-373⎥555⎥−①−+②−⨯(-⎢

−2)

→⎢0

1-37⎢⎢55⎣0

00

0⎥⎦

⎢00

⎢⎣

由于秩(A )=2

=4-16⎨

55x 3-5x 4

（其中x 3，⎪⎩

x 337

x 4为自由未知量）。 2=5+5x 3-5x 4

5. 当λ为何值时，线性方程组 ⎧x 1-x 2-5x 3+4x 4=2

⎪

⎪2x 1-x 2+3x 3-x 4=1

⎨

⎪

3x 1-2x 2-2x 3+3x 4=3⎪⎩

7x 1-5x 2-9x 3+10x 4=λ有解，并求一般解。

17

⎢

⎥⎢⎣0

0⎥⎦

42⎤

-7-3⎥⎥ 00⎥⎦

4⎤

5⎥3⎥5⎥ 0⎥⎥⎥⎦

解：原方程的增广矩阵变形过程为： ⎡1-1-542⎤②+①⨯(-2) ⎡1-1-542

⎤⎢A =⎢

2-13-11⎥③+①⨯(-3) ⎢⎥113-9-3

⎥⎥⎢3-2-233⎥

−④−+①−⨯(-−7) →⎢

0⎢0113-9-3⎥

⎢⎣7

-5

-910λ⎥⎦⎢⎣02

26

-18

λ-14⎥⎦

①+②

⎡1

08-5-1⎤

③+②⨯(-1) ⎢

−④−+②−⨯(-−2)

→⎢

0113-9-3

⎥⎥⎢00000⎥

⎢⎣0

λ-8⎥⎦

所以当λ=8时，秩(A )=2

4

x ⎩2=-3-13x 3+9x 4

6．a , b 为何值时，方程组

⎧x 1-x 2-x 3=1⎪

⎨x 1+x 2-2x 3=2有唯一解、无穷多解或无解 ⎪⎩x 1

+3x 2+ax 3=b

解：原方程的增广矩阵变形过程为： ⎡1-1-11⎤②+①⨯(-1) ⎡1

-1-11⎤⎡1

-1-1A =⎢⎢1

1-22⎥⎥−③−+①−⨯(−-1) →⎢⎢

02-11⎥③+②⨯(-2⎥−−−−) →⎢⎢

02-1⎢⎣1

3

a

b ⎥⎦⎢⎣0

4

a +1

b -1⎥⎦⎢⎣0

a +3

a ≠-3，b 为实数时，秩(A )=3=n=3，方程组有唯一解；

（2）当a =-3，b =3时，秩(A )=2

（3）当a =-3，b ≠3时，秩(A )=3≠秩(A )=2，方程组无解； 7．求解下列经济应用问题：

（1）设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：C (q ) =100+0. 25q 2

+6q （万元）, 求：①当q =10时的总成本、平均成本和边际成本；

②当产量q 为多少时，平均成本最小？

解：①∵ 平均成本函数为：C (q ) =

C (q ) 100q

=q

+0. 25q +6（万元/单位）

边际成本为：C '(q ) =0. 5q +6

∴ 当q =10时的总成本、平均成本和边际成本分别为：

18

1⎤

1⎥⎥讨论：（1）当b -3⎥⎦

C (10) =100+0. 25⨯102+6⨯10=185(元) C (10) =

10010

+0. 25⨯10+6=18. 5（万元/单位）

C '(10) =0. 5⨯10+6=11（万元/单位）

'100

②由平均成本函数求导得：C (q ) =-2+0. 25

q

令C (q ) =0得唯一驻点q 1=20（个），q 1=-20（舍去） 由实际问题可知，当产量q 为20个时，平均成本最小。 ②当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。

（2）. 某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) =20+4q +0. 01q 2（元），单位销售价格为p =14-0. 01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．

解：由p =14-0. 01q

得收入函数 R (q ) =pq =14q -0. 01q

得利润函数： L (q ) =R (q ) -C (q ) =10q -0. 02q -20 令 L '(q ) =10-0. 04q =0 解得：q =250 唯一驻点 所以，当产量为250件时，利润最大， 最大利润：L (250) =10⨯250-0. 02⨯250

（3）投产某产品的固定成本为36(万元) ，且边际成本为C '(q ) =2q +40(万元/百台) ．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：①产量由4百台增至6百台时总成本的增量为 ∆C =

2

2

2

'

-20=1230(元)

⎰

6

4

C '(x ) dx =

⎰

6

4

(2x +40) dx =(x +40x )

2

64

=100(万元)

②成本函数为：

C (x ) =

⎰C '(x ) dx =

2

⎰(2x +40) dx =x +40x +C 0

2

又固定成本为36万元，所以

C (x ) =x +40x +36(万元)

平均成本函数为：

C (x ) =

C (x ) x

=x +40+

36x

(万元/百台)

19

求平均成本函数的导数得：C (x ) =1-

'

'36x

2

令C (x ) =0得驻点x 1=6，x 2=-6（舍去）

由实际问题可知，当产量为6百台时，可使平均成本达到最低.

（4）已知某产品的边际成本C '(x ) =2（元/件），固定成本为0，边际收益

R '(x ) =12-0. 02x ，求：

①产量为多少时利润最大？

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解：①求边际利润：L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) =10-0. 02x 令L '(x ) =0得：x =500（件）

由实际问题可知，当产量为500件时利润最大；

②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润的增量为：

∆L =

⎰

550

L '(x ) dx =

(10-0. 02x ) dx =(10x -0. 01x 2

)

550500

⎰

550

500

500

=-25即利润将减少25元。

20

（元）