二次函数单元测试

苏科新版九年级下册《第5章 二次函数》年单元测试卷（江苏

省南通）

一、选择题

1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x 轴的交点个数是( )

A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不能确定

2．c 应满足的关系是( ) 若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x 轴下方，则a ，

A ． B ． C ． D ．

3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有(

)

A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＞0 D ．a ，b ，c 都小于0

4．若抛物线y=ax2﹣6x 经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A ． B． C． D．

5．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则△ABC 的面积为(

)

A ．6 B ．4 C ．3 D ．1

6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c﹣8=0的根的情况是(

)

A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号实数根

C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根

7．二次函数y=4x2﹣mx+5，当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大，那么当x=1时，函数y 的值为( )

A ．﹣7 B ．1 C ．17 D ．25

8．（1997•山东）若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c( ) A ．开口向上，对称轴是y 轴 B ．开口向下，对称轴是y 轴

C ．开口向下，对称轴平行于y 轴 D ．开口向上，对称轴平行于y 轴

9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x 2+4x+2，则水柱的最大高度是(

)

A ．2 B ．4 C ．6 D ．2+

10．用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成(

)

A ．1.5m ，1m B ．1m ，0.5m C ．2m ，1m D ．2m ，0.5m

二、填空题：

11．若抛物线y=x2﹣2x ﹣3与x 轴分别交于A ，B 两点，则AB 的长为__________．

12．二次函数y=﹣x 2+6x﹣9的图象与x 轴的交点坐标为．

13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x 轴的交点三点连线所围成的三角形面积是

14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2

15．B 两点，在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A 、若点A 的坐标是（2，4），则点B 的坐标是．

16．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为__________．

17．若二次函数y=（m+5）x 2+2（m+1）x+m的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是__________．

18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）图象的顶点为P （﹣2，3），且过A （﹣3，0），则抛物线的关系式为__________．

19．当，时，函数y=（m+n）x n +（m ﹣n ）x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口__________．

20．若抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，且开口向下，对称轴在y 轴左侧，则a 的取值范围是__________

三、解答题：

21．求二次函数y=x2﹣2x ﹣1的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．

22．已知抛物线

y=x 2+x﹣．

（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

（2）若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．

2（2）设y=x2+bx+c，则当x 取何值时，y ＞0；

（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？

24．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）

①求该函数的关系式；

②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A ′、B ′，求△O A′B ′的面积．

25．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位． （1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；

（2）求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？

26．有一条长7.2米的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，问窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？（不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积）

27．某公司生产的A 种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告费为x （万元）时，产品的年销售量是原来的y 倍，且y 是x 的二次函数，公司作了预测，知x 与y

（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式；

（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？

28．在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+n+1的顶点A 在x 轴负半轴上，与y 轴交于点B ，抛物线上一点C 的横坐标为1，且AC=3．

（1）求此抛物线的函数关系式；

（2）若抛物线上有一点D ，使得直线DB 经过第一、二、四象限，且原点O 到直线DB 的距离为

，求这时点D 的坐标．

苏科新版九年级下册《第5章 二次函数》2015年单元测

试卷（江苏省南通市）

一、选择题

1．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x 轴的交点个数是( )

A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不能确定

【考点】抛物线与x 轴的交点．

【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．

【解答】解：判断二次函数图象与x 轴的交点个数，就是当y=0时，方程x 2﹣x+1=0解的个数，

∵△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，此方程无解，

∴二次函数y=x2﹣x+1的图象与x 轴无交点．

故选A ．

【点评】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，这些性质和规律要求掌握．

2．c 应满足的关系是( ) 若二次函数y=ax2﹣x+c的图象上所有的点都在x 轴下方，则a ，

A ． B ． C ． D ．

【考点】抛物线与x 轴的交点．

【分析】根据函数图象上所有点都在x 轴下方可知，函数图象开口向下且顶点纵坐标小于0，列出不等式．

【解答】解：由题意得：，解得：，故选A ．

【点评】本题考查了二次函数的图象在x 轴下方的性质：开口向下，且与x 轴无交点．

3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有(

)

A ．a ＞0，b ＞0 C ．b ＞0，c ＞0 D ．a ，b ，c 都小于0

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据函数图象可以得到以下信息：a ＜0，b ＞0，c ＞0，再结合函数图象判断各选项．

【解答】解：由函数图象可以得到以下信息：a ＜0，b ＞0，c ＞0，

A 、错误；B 、错误；C 、正确；D 、错误； B ．a ＞0，c ＞0

故选C ．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，应先观察图象得到信息，再进行判断．

4．若抛物线y=ax2﹣6x 经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A ． B． C． D．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】由抛物线y=ax2﹣6x 经过点（2，0），求得a 的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．

【解答】解：由于抛物线y=ax2﹣6x 经过点（2，0），则4a ﹣12=0，a=3，

抛物线y=3x2﹣6x ，变形，得：y=3（x ﹣1）2﹣3，则顶点坐标M （1，﹣3），

抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|==．

故选B ．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．

5．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则△ABC 的面积为(

)

A ．6 D ．1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】根据解析式求出A 、B 、C 三点的坐标，即△ABC 的底和高求出，然后根据公式求面积． B ．4 C ．3

【解答】解：在y=x2﹣4x+3中，当y=0时，x=1、3；当x=0时，y=3；

即A （1，0）、B （3，0）、C （0，3）

故△ABC 的面积为：×2×3=3；

故选C ．

【点评】本题考查根据解析式确定点的坐标．

6．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c﹣8=0的根的情况是(

)

A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号实数根

C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根

【考点】抛物线与x 轴的交点．

【专题】压轴题．

【分析】把抛物线y=ax2+bx+c向下平移8个单位即可得到y=ax2+bx+c﹣8的图象，由此即可解答．

∵y=ax2+bx+c的图象顶点纵坐标为8，【解答】解：向下平移8个单位即可得到y=ax2+bx+c

﹣8的图象，

此时，抛物线与x 轴有一个交点，

∴方程ax 2+bx+c﹣8=0有两个相等实数根．

【点评】考查方程ax 2+bx+c+2=0的根的情况与函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的个数之间的关系．

7．二次函数y=4x2﹣mx+5，当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大，那么当x=1时，函数y 的值为( )

A ．﹣7 B ．1 C ．17 D ．25

【考点】二次函数的性质．

【分析】因为当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而减小；当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大，那么可知对称轴就是x=﹣2，结合顶点公式法可求出m 的值，从而得出函数的解析式，再把x=1，可求出y 的值．

【解答】解：∵当x ＜﹣2时，y 随x 的增大而减小，

当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大，

∴对称轴x=﹣=﹣=﹣2，解得m=﹣16，

∴y=4x2+16x+5，那么当x=1时，函数y 的值为25．

故选D ．

【点评】主要考查了如何根据函数的单调性确定对称轴，并根据对称轴公式求字母系数从而求得函数值．

8．（1997•山东）若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c( ) A ．开口向上，对称轴是y 轴 B ．开口向下，对称轴是y 轴

C ．开口向下，对称轴平行于y 轴 D ．开口向上，对称轴平行于y 轴

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由直线y=ax+b不经过二、四象限，则a ＞0，b=0，再判断抛物线的开口方向和对称轴．

【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a ＞0，b=0，

则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x==0．

故选A ．

【点评】本题考查了一次函数和二次函数与其系数的关系，由一次函数判断出a 、b 的正负，在判断二次函数的性质．

9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x 2+4x+2，则水柱的最大高度是( )

A ．2 D ．2+

【考点】二次函数的应用．

【专题】应用题． B ．4 C ．6

【分析】求最大高度，就要把抛物线解析式的一般形式改写成顶点式后，求顶点的纵坐标．

【解答】解：y=﹣x 2+4x+2=﹣（x ﹣2）2+6，

∵﹣1＜0

∴当x=2时，最大高度是6．

故选C ．

【点评】注意抛物线的解析式的三种形式，在解决抛物线的问题中的作用．

10．用长为6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成(

)

A ．1.5m ，1m B ．1m ，0.5m C ．2m ，1m D ．2m ，0.5m

【考点】二次函数的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．

【解答】解：设长为x ，则宽为

要使做成的窗框的透光面积最大，

则x=﹣=﹣，S=x ，即S=﹣x 2+2x， ==1.5m． 于是宽为==1m，

所以要使做成的窗框的透光面积最大，

则该窗的长，宽应分别做成1.5m ，1m ．

故选A ．

【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x 2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．

二、填空题：

11．若抛物线y=x2﹣2x ﹣3与x 轴分别交于A ，B 两点，则AB 的长为4．

【考点】抛物线与x 轴的交点．

【专题】压轴题．

【分析】先求出二次函数与x 轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．

B 的横坐标为一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0【解答】解：二次函数y=x2﹣2x ﹣3与x 轴交点A 、

的两个根，求得x 1=﹣1，x 2=3，

则AB=|x2﹣x 1|=4．

【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x 2|，并熟练运用．

12．二次函数y=﹣x 2+6x﹣9的图象与x ．

【考点】抛物线与x 轴的交点．

【分析】解方程﹣x 2+6x﹣9=0即可求得函数图象与x 轴的交点坐标的横坐标．

【解答】解：当y=0时，﹣x 2+6x﹣9=0，

解得：x=3．

∴交点坐标是（3，0）．

【点评】考查二次函数与一元二次方程的关系．

13．抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x 轴的交点三点连线所围成的三角形面积是1．

【考点】抛物线与x 轴的交点．

【分析】抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x 轴的交点三点连线所围成的三角形中：底边长为与x 轴的两交点之间的距离，高为抛物线的顶点的纵坐标的绝对值，再利用三角形的面积公式即可求出b 的值．

【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点的纵坐标为

∴底边上的高为1；

∵x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3，

∴抛物线与x 轴的交点为（1，0）、（3，0）；

由题意得：底边长=|x1﹣x 2|=2， =﹣1，

∴抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x 轴的交点三点连线所围成的三角形面积为：×2×1=1．

【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1﹣x 2|，并能与几何知识结合使用．

14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=3.3．

【考点】图象法求一元二次方程的近似根．

【专题】压轴题．

【分析】先根据图象找出函数的对称轴，得出x 1和x 2的关系，再把x 1=1.3代入即可得x 2．

【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x=﹣1；

所以=﹣1，又因为x 1=1.3，所以x 2=﹣2﹣x 1=﹣2﹣1.3=﹣3.3．

故答案为：﹣3.3

【点评】考查二次函数和一元二次方程的关系．

15．B 两点，在同一坐标系内，抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A 、若点A 的坐标是（2，4），则点B 00

【考点】二次函数的性质．

【分析】此题可以先将点A 的坐标代入抛物线和直线，求得a 、b 的值，再将两个函数联立成一元二次方程求得另一个交点坐标B ．

【解答】解：抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A 、B 两点，若点A 的坐标是（2，4）， 则点A 代入y=ax2，解得a=1；代入y=2x+b，解得：b=0；

将两方程联立得：x 2=2x，解方程得：x=0或2，

则另一交点坐标B 为（0，0）．

【点评】本题考查了待定系数法解函数及两函数图象的交点问题．

16．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），那么移动后的抛物线的关系式为y=﹣4（x ﹣2）2+3．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式．

【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为y=a（x ﹣h ）2+k，把（3，﹣1）代入得a=﹣4，∴y=﹣4（x ﹣2）2+3．

【点评】题中由抛物线的顶点求解析式一般采用顶点式；解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．

17．若二次函数y=（m+5）x 2+2（m+1）x+m的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是m ＞．

【考点】抛物线与x 轴的交点．

x 2+2x+m的图象全部在x 轴的上方，【分析】由题意二次函数y=（m+5）（m+1）可知（m+5）

x 2+2（m+1）x+m=0，方程二次项系数（m+5）＞0，方程根的判别式△＜0，根据以上条件从而求出m 的取值范围．

【解答】解：∵二次函数y=（m+5）x 2+2（m+1）x+m的图象全部在x 轴的上方， ∴（m+5）＞0，△＜0，

∴m ＞﹣5，4（m+1）2﹣4（m+5）×m ＜0，

解得m ＞．

故m ＞

【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．

18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）图象的顶点为P （﹣2，3），且过A （﹣3，0），则抛物线的关系式为y=﹣3x 2﹣12x ﹣9．

【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】由题知抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）图象的顶点为P （﹣2，3），且过A （﹣3，0），将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式． 【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）图象的顶点为P （﹣2，3）， ∴对称轴x=﹣

=﹣2…①，

又∵抛物线过点P （﹣2，3），且过A （﹣3，0）代入抛物线解析式得，

由①②③解得，a=﹣3，b ﹣12，c=﹣9， ∴抛物线的关系式为：y=﹣3x 2﹣12x ﹣9． 【点评】此题考查二次函数的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．

19．当y=（m+n）x n +（m ﹣n ）x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口向上．

【考点】二次函数的性质；二次函数的定义．

【分析】对y=（m+n）x n +（m ﹣n ）x 的图象是抛物线的判定，需满足n=2，又其顶点在原点，需满足m ﹣n=0，则m 、n 的值即可求出，根据解得的函数解析式判断抛物线的开口方向．

【解答】解：若函数y=（m+n）x n +（m ﹣n ）x 的图象满足是抛物线，且其顶点在原点，

则，解得，，

故函数y=4x2，又由于a=4＞0，则抛物线的开口向上．

【点评】本题考查了二次函数的性质，需掌握抛物线函数需满足的条件及开口方向的判定．

20．若抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，且开口向下，对称轴在y 轴左侧，则a 的取值范围是﹣1＜a ＜0． 【考点】二次函数的性质．

【分析】抛物线经过（0，1）可得c 的值，又经过（2，﹣3）可得a 和b 的关系，又开口向

下，对称轴在y 轴左侧，则需满足a ＜0，x=＜0，解得a 的取值范围．

【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c经过（0，1）和（2，﹣3）两点，则c=1， 4a+2b+c=﹣3，即4a+2b=﹣4，化简得：2a+b=﹣2， 又抛物线开口向下，对称轴在y 轴左侧，则需满足：

，解得：﹣1＜a ＜0．

【点评】本题综合考查了二次函数的各种性质，并与不等式结合体现出来．

三、解答题：

21．求二次函数y=x2﹣2x ﹣1的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．

【考点】二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．

【分析】本题已知二次函数的一般式，求顶点，可以通过配方法把解析式写成顶点式，求它与x 轴的交点坐标，可以设y=0，求方程x 2﹣2x ﹣1=0的解． 【解答】解：∵y=x2﹣2x ﹣1 =x2﹣2x+1﹣2 =（x ﹣1）2﹣2

∴二次函数的顶点坐标是（1，﹣2） 设y=0，则x 2﹣2x ﹣1=0 ∴（x ﹣1）2﹣2=0

（x ﹣1）2=2，x ﹣1=± ∴x 1=1+，x 2=1﹣．

二次函数与x 轴的交点坐标为（1+，0）（1﹣，0）．

【点评】本题考查求二次函数的顶点坐标及x 轴交点坐标的求法．

22．已知抛物线

y=x 2+x﹣．

（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；

（2）若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长． 【考点】二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．

【分析】（1）此题首先要将函数右边的式子化为完全平方式，才能知道顶点坐标和对称轴；

（2）令y=0，求得抛物线在x 轴上的交点坐标，那么长度就很快就能求出．

【解答】解：（1）∵

y=x 2+x﹣

=（x+1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3）， 对称轴是直线x=﹣1；

（2）当y=0时，x 2+x﹣=0，

解得：x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣， AB=|x1﹣x 2|=．

【点评】考查求抛物线的顶点坐标的方法及与x 轴交点坐标特点．

2（）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y=x2+bx+c，则当x 取何值时，y ＞0；

（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？

【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．

【专题】图表型．

【分析】根据与x 轴的交点坐标得到什么时候y ＞0．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 【解答】解：（1）这个代数式属于二次函数．当x=0，y=3；x=4时，y=3．

说明此函数的对称轴为x=（0+4）÷2=2．那么﹣=﹣=2，b=﹣4，经过（0，3），

∴c=3，二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，

当x=1时，y=0； 当x=3时，y=0．（每空2分）

（2）由（1）可得二次函数与x 轴的交点坐标，由于本函数开口向上， 可根据与x 轴的交点来判断什么时候y ＞0． 当x ＜1或x ＞3时，y ＞0．

（3）由（1）得y=x2﹣4x+3，即y=（x ﹣2）2﹣1．

将抛物线y=x2﹣4x+3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y=x2． 【点评】常由一些特殊点入与y 轴的交点，对称轴等得到二次函数的解析式．

24．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5） ①求该函数的关系式；

②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A ′、B ′，求△O A′B ′的面积．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点．

【专题】压轴题；分类讨论． 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．

（2）根据的函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标．

（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A ′、B ′的坐标．由于△OA ′B ′不规则，可用面积割补法求出△OA ′B ′的面积．

【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4 将B （2，﹣5）代入得：a=﹣1

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x 2﹣2x+3

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y 轴的交点为：（0，3）

令y=0，﹣x 2﹣2x+3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1，即抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）

（3）设抛物线与x 轴的交点为M 、N （M 在N 的左侧），由（2）知：M （﹣3，0），N （1，0）

当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位 故A' （2，4），B' （5，﹣5）

∴S △OA ′B ′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．

25．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位． （1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；

（2）求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x 轴的交点． 【专题】压轴题；开放型． 【分析】（1）由平移规律求出新抛物线的解析式；

（2）令y=0，求出x 的值，即可得交点坐标．抛物线开口向上，当x 的值在两交点之外y 的值大于0． 【解答】解：（1）画图如图所示： 依题意得：y=（x ﹣1）2﹣2 =x2﹣2x+1﹣2 =x2﹣2x ﹣1

∴平移后图象的解析式为：x 2﹣2x ﹣1

（2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣1=0，即（x ﹣1）2=2，

∴，即

，0）和（

，0）

∴平移后的图象与x 轴交于两点，坐标分别为（由图可知，当x ＜或x ＞时， 二次函数y=（x ﹣1）2﹣2的函数值大于0．

【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．

26．有一条长7.2米的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，问窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？（不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积）

【考点】二次函数的应用． 【专题】几何图形问题．

【分析】设窗框的宽为x 米，窗框的高为得面积的最大值即可．

【解答】解：设窗框的宽为x 米，则窗框的高为则窗的面积S=x•S=

．

，则窗框的面积为S=x•，再求

米．

当x==1.2（米）时，S 有最大值．

此时，窗框的高为=1.8（米）

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用． 27．某公司生产的A 种产品，每件成本是2元，每件售价是3元，一年的销售量是10万件．为了获得更多的利润，公司准备拿出一定资金来做广告．根据经验，每年投入的广告费为x （万元）时，产品的年销售量是原来的y 倍，且y 是x 的二次函数，公司作了预测，知x 与y

（2）如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费，请你写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式；

（3）从上面的函数关系式中，你能得出什么结论？ 【考点】二次函数的应用． 【专题】应用题；图表型． 【分析】（1）设所求函数关系式为y=ax2+bx+c，代入三点求出a 、b 、c ， （2）由利润看成是销售总额减去成本和广告费列出关系式， （3）把二次函数化成顶点坐标式，观察S 随x 的变化．

【解答】解：（1）设所求函数关系式为y=ax2+bx+c， 把（0，1），（1，1.5），（2，1.8）分别代入上式， 得

解得

∴y=﹣

x 2+x+1

（2）S=（3﹣2）×10y ﹣x =（﹣

x 2+x+1）×10﹣x

=﹣x 2+5x+10．

（3）∵S=﹣x 2+5x+10=﹣

．

∴当0≤x ≤2.5时，S 随x 的增大而增大．

因此当广告费在0﹣2.5万元之间时，公司的年利润随广告费的增大而增大 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．

28．在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+n+1的顶点A 在x 轴负半轴上，与y 轴交于点B ，抛物线上一点C 的横坐标为1，且AC=3． （1）求此抛物线的函数关系式；

（2）若抛物线上有一点D ，使得直线DB 经过第一、二、四象限，且原点O 到直线DB 的距离为

，求这时点D 的坐标．

【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题． 【分析】（1）欲求抛物线的解析式，需求出m 、n 的值，根据抛物线的解析式，易得顶点A 的坐标，然后将x=1代入抛物线的解析式中，可得点C 的坐标，即可根据AC 的长得到第

n 的等量关系式；一个关于m 、由于抛物线的顶点在x 轴上，即抛物线与x 轴只有一个交点，

即根的判别式△=0，联立两个关于m 、n 的式子即可求出m 、n 的值，从而得到该抛物线的解析式．

（2）根据（1）的抛物线解析式可求得点B 的坐标，即可得到OB 的长；过O 作OM ⊥BD 于M ，根据题意可知OM=

OM ⊥EF ，，进而可利用勾股定理求得BM 的长；在△EOF 中，

易证得△OBM ∽△FOM ，根据相似三角形所得比例线段即可求得OF 的长，也就得到了F 点的坐标，进而可利用待定系数法求得直线BD 的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点D 的坐标． 【解答】解：（1）根据题意，画出示意图如答图所示，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ；

∵抛物线上一点C 的横坐标为1，且AC=3， ∴C （1，n ﹣2m+2），

其中n ﹣2m+2＞0，OE=1，CE=n﹣2m+2； ∵抛物线的顶点A 在x 轴负半轴上， ∴A （m ，0），

其中m ＜0，OA=﹣m ，AE=OE+OA=1﹣m ； 由已知得

由（1）得n=m2﹣1；（3） 把（3）代入（2），得（m 2﹣2m+1）2+（m 2﹣2m+1）﹣90=0， ∴（m 2﹣2m+11）（m 2﹣2m ﹣8）=0，

∴m 2﹣2m+11=0（4）或m 2﹣2m ﹣8=0（5）； 对方程（4），

∵△=（﹣2）2﹣4×11=﹣40＜0， ∴方程m 2﹣2m+11=0没有实数根； 由解方程（5）， 得m 1=4，m 2=﹣2， ∵m ＜0， ∴m=﹣2．

把m=﹣2代入（3），得n=3， ∴抛物线的关系式为y=x2+4x+4

（2）∵直线DB 经过第一、二、四象限；

设直线DB 交x 轴正半轴于点F ，过点O 作OM ⊥DB 于点M ，

，

∵点O 到直线DB 的距离为∴OM=

，

，

∵抛物线y=x2+4x+4与y 轴交于点B ， ∴B （0，4）， ∴OB=4， ∴BM=

∵OB ⊥OF ，OM ⊥BF ， ∴△OBM ∽△FOM ， ∴

，

；

∴，

∴OF=2BO=8，F （8，0）； ∴直线BF 的关系式为y=﹣x+4； ∵点D 既在抛物线上，又在直线BF 上，

∴，

解得，

∵BD 为直线，

∴点D 与点B 不重合， ∴点D 的坐标为

．

【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到勾股定理、根的判别式、二次函数解析式的确定、

相似三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法等重要知识，综合性强，难度较大．