试析一道课本练习题中所蕴含的数学思想
试析一道课本练习题中所蕴含的数学思想
王新民（内江师范学院数学与信息科学学院）
摘要：“圆面分割问题”蕴含着丰富的数学思想方法，通过从归纳、类比与演绎三个维度的分析，揭示了该问题中的基本量性结构，提出了两种能够体现数学特点的归纳思维模式：要素归纳模式与递推归纳模式。利用所提出的思维模式与所获得的结论对其它分割问题给出较为简捷的、具有一致性的解答思路。
关键词：圆面分割问题；归纳思想；归纳模式；类比思想
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教B 版）“推理与证明”一章中的练习题：圆周上两个点所连的弦将圆的内部分成两部分，3个点所连的弦最多把圆的内部分成4部分，4个点所连的弦最多把圆的内部分成8部分，5个点所连的弦最多把圆的内部分成16部分，由此归纳出n 个点所连的弦最多把圆的内部分成2n 1部分．这个结论正确吗？
这道题的本意是要学生感知归纳推理所得结论的不可靠性，体会归纳推理的或然性．题中的答案当然是错误的，但如果要问正确的答案是多少？这是一个较难回答的问题，然而也是一个非常有趣的问题．本文将从归纳、类比与演绎三个维度分析此问题中所蕴含的数学思想方法．为了方便起见，以下把这道练习题称为“圆面分割问题”．
1归纳思想
数学归纳推理的目的在于寻找隐藏在特殊事例之中的量性模式，其中量性模式是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式”[1]．对于“圆面分割问题”，要从所提供的具体数值（2，4，8，16，„）中归纳出一般性的结论，就需要考察这些数值的量性结构．下面介绍两种探讨这种量性结构的归纳思维模式．
1.1要素归纳模式
要素归纳模式是指通过探讨所考虑对象的构成要素及其构成方式而发现规律的思维方式，其核心是探寻具有一致性的量性结构．通过简单的分析，在“圆面分割问题”中，影响分割部分数的要素有：圆面数、弦数以及弦的交点数．由此我们可以从圆面数、弦数和交点数来收集和加工具体数值，如表1所示：
1
作者简介：王新民（1962—），男，汉族，甘肃敦煌人，副教授，主要从事数学课程与教学论研究．
从表中前七行的数值可以归纳出如下结论：
圆内被分成的部分数＝圆面数＋弦数＋交点数
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由此可以推测：圆周上的n 个点所连的弦最多把圆的内部分成的部分数为：S n =C n ． +C n +C n
类似地，运用要素归纳思维模式能够以较快的速度归纳出其它“分割问题”的量性结构：
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（1）直线分割问题：直线上n 个点将该直线分成的最多部分数为：C n （直线数+点数）； +C n
012（2）平面分割问题：平面上的n 条直线将该平面分成的最多部分数为：C n （平面数+直线数+C n +C n
+点数）；
0123（3）空间分割问题：空间中的n 个平面将该空间分成的最多部分数为：C n （空间数++C n +C n +C n
平面数+直线数+点数）．
1.2递推归纳模式
递推归纳模式是指，在数列中，通过探讨由已知项“生出”未知项的结构方式，从而发现一般规律的一种思维方式，其核心是归纳出相邻项间的递推关系．在具体运用中，最为有效的策略是考察相邻两项的差的特点，因为“差”在减小数值的同时往往也降低了所考察对象的“维度”．在“圆面分割问题”中，对于圆面分割数所组成的数列，重复地用后一项减去它前一项，可产生以下数列：
1，2，4，8，15，26，„ 1，2，4，7，11，„ 1，2，3，4，„
不难发现，这三个数列分别是“空间分割”、“平面分割”、“直线分割”中相应的分割部分数所组成的数列．这表明，“圆面分割”中的数列是由上述三个数列从低维到高维依次生成的．若记“空间分割”中的数列为{a n }（其中a 0=1），则可得“圆面分割”中的数列{S n }所满足的递推关系：S n =S n -1+a n -． （1n ≥2)
因为
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， a n -1=C n （-2+C n -2+C n -2+C n -2n ≥2)
采用简单的叠加（错位相消法）便可以得到：
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． S n =C n -1+C n -1+C n -1+C n -1+C n -1=C n +C n +C n
2类比思想
在归纳推理中，最困难的问题是寻找归纳的线索，对具体数值的组合选择一个合适的加工方式．然而，如果借助类比，则常常像黑夜里突然亮起了一盏灯一样，可指明前进的方向，正如波利亚所说：“类比是一个了不起的向导．”[2]．在“圆面分割问题”中，最容易归纳的结果是2n -1，虽然它不是要找的答案，但却提供了一个信息：答案应该与2n -1有关．如果能由此联想到二项式系数的和
012n
C n +C n +C n + +C n =2n ，
便可以类比上述和的结构，对“圆面分割”数列{S n }中的各项进行如下加工改造：
； S 1=1=20=C 0
1
； S 2=2=21=C 10+C 1
012
； S 3=4=22=C 2+C 2+C 2
0123
； S 4=8=23=C 3+C 3+C 3+C 3
01234
； S 5=16=24=C 4+C 4+C 4+C 4+C 4
501234
； S 6=31=25-C 5=C 5+C 5+C 5+C 5+C 5
6501234
． S 7=57=26-(C 6+C 6) =C 6+C 6+C 6+C 6+C 6
r
由上面最后三个式子不难推测出如下结论（约定：当n
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． S n =C n -1+C n -1+C n -1+C n -1+C n -1=C n +C n +C n
运用上述类比的思想方法，同样很容易发现“直线分割问题”、“平面分割问题”与“空间分割问题”中相关结论。
3演绎思想
上述“圆面分割问题”的结论均是合情推理下的产物，只是一种可能性的结果，其正确性需要通过演
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绎证明来确认．下面用数学归纳法来证明由归纳与类比所得到的结论：S n =C n ． +C n +C n
（1）当n =1时，已验证，结论成立．
（2）假设n =k 时，结论成立，即有S k =C k +C k 2+C k 4，那么，当n =k +1时，可以看作，在圆周上有
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条，增加的圆内交点有C k ，这些交点将所增加的弦共分k 个点的基础上再增加一个点，由此增加的弦有C k
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为C k 部分，而弦的每一部分均把所它经过的区域一分为二，因此，圆内增加的部分数是C k ．故+C k +C k
有
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S k +1=S k +C k +C k =C k 0+(C k +C k 2) +(C k +C k 4) =C k 0+1+C k 2+1+C k 4+1．
由（1）、（2）两步可知，对于任意的正整数n ，结论均成立．
此外，利用“圆面分割问题”的解答思路及其结论，能够比较好的处理下面的分割问题： 平面上的n 个点所确定的直线最多可以将该平面分成多少部分？
简析：不失一般性，可以将n 个点放在一个圆周上，则这n 个点所确定的直线将平面所分成的部分数可
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分为圆内与圆外两部分进行计算．其中，圆内的（最多）部分数为：C n ；而圆外的（最多）部分+C n +C n
12414数：(n -2) C n ．因此，总的（最多）部分数为：2C n ． +2C n -1+3C n -1+3C n (n ≥2)
在各种版本的新高中数学教材中，关于归纳、类比和演绎三种推理内容，一般是分别设置例题进行介绍的，即“一题一法”．这样做不便于学生比较三种推理的特点，也难以体会三种推理之间的关系．而“圆面分割问题”，不但可将三种推理集于一身，而且还具有一定的拓展性．按照著名数学家陈省身先生所提出的“好”数学的标准：“只有思想方法深刻，能进一步引申、推广、发展的数学才是‘好’的数学”[3]，“圆面分割问题”应该属于‘好’数学． 参考文献：
[1] 徐利治．徐利治论数学方法学[M]．济南：山东教育出版社，2000：124．
[2] [美]G·波利亚．怎样解题——数学教学法的新面貌[M]．涂泓，冯承天译．上海：上海科技教育出版社，2002：182．
[3] 涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学论[M]．华东师范大学出版社，2006：145．
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