基于多小波的图像分解和重构

基于多小波的图像分解和重构

摘要与单小波相比较，多小波同时具备诸如紧支性，正交性，对称性等诸多在

信号处理中非常重要的良好性质。这决定了多小波是一种优于单小波的信号处理技术。在应用中，对于单小波可以直接利用分解与重构公式对信号进行滤波。但是多小波是用矢量滤波器组对信号进行分解、重构．滤波对象必须是满足一定要求的矢量信号。因此，在进行多小波分解前必须通过前置滤波器对原始离散信号进行预处理得到初始矢量，然后才能进行多小波变换。同样，对重构后的数据也要进行后处理才能得到需要的结果。本文以ＧＨＭ多小波为例，实现了对图像的预处理、分解和变换后的重构、后处理过程，并将解压缩后的结果与单小波相比较，获得较好的结果。

关键词

多小波； 多尺度函数； 多小波变换

一、 概述

多小波是标量小波向矢量空间的一种很自然的拓展。是传统小波理论中正在兴起的一个分支，它具备一些比标量小波更好的性质，如同时具有正交性和对称性、紧支性等诸多在信号处理中非常重要的良好性质。这决定了多小波是一种优于单小波的信号处理技术。这决定了多小波是一种优于单小波的信号处理技术。这就意味着多小波不但可以对信号提供一种更新的分析手段，而且对信号的逼近性质更好，重构信号在边界位置的性能也将更完善。多小波的研究最早开始于1993年，随后其理论与应用方面的研究得到了迅猛的发展。在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量；而对称性（线性相位）既适合于人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以，分析工具同时拥有这两种性质是十分重要的。可是，实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的。多小波开创性的将单小波中由单个尺度函数生成的多尺度分析空间，扩展为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度。它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的

局部化特性，又克服了单小波的缺陷，将实际应用中十分重要的光滑型、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。从而在图像分解、压缩方面具有比单小波更优良的性能，这决定了其在这方面将越来越广泛的研究和应用。

二、 多小波变换理论

多小波的基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展为由多个尺度函数生成的空间，以此来获得更大的自由度。因此，与单小波不同的是多小波基由多个小波母函数经过伸缩平移生成，对应有多个尺度函数，而在单小波中仅有一个。

【2】具体地讲，多小波由如下多分辨分析(MRA)生成。设函数 T

Φ(x)=[φ1,φ2, ,φr],φl∈L2(R),l=1,2, ,r对j∈Z,定义

Vj=clos2j/2φl2jx-k:1≤i≤r,k∈Z（1） 若由定义的空间序列满足下列条件：

当r = 1 时，即是传统的(标量）MRA并称Φ为r重多尺度函数。若

{()}

{φ(2x-k):1≤i≤r,k∈Z}是V的一个正交基，则称{V}是一个正交MAR。对一个

ji

j

正交MRA，定义Wj=Vj+1⊕Vj是Vj在Vj+1中的正交补。若存在ψ1,ψ2, ,ψr使得其整数平移构成W0的一个正交基，则ψ=[ψ1,ψ2, ,ψr]T是一个r重正交多小波。在正交的MRA分析中，若Φ=[φ1,φ2, ,φr]T是一个紧支撑的r重多尺度函数，

ψ=[ψ1,ψ2, ,ψr]T是与其对应的r重正交多小波，则Φ(x)和ψ(x)满足下列两尺

度方程

Φ(x)=∑PkΦ(2x-k)

k

ψ(x)=∑QkΦ(2x-k)

k

（2）

其中有限支撑r⨯r实系数矩阵序列Pk,Qk分别为低通，高通滤波器序列。定义矢量的变换为对每个分量作变换，则两矩阵尺度方程(2)的频域表示分别为：

ˆ(2ω)=P(ω)Φˆ(ω)Φ

（3）

ˆˆψ(2ω)=Q(ω)Φ(ω)

其中P(ω)=

11-ikw

()Pe,Qω=Qke-ikω分别为矩阵频率响应，是矩阵低通滤波∑∑k

22

器和矩阵高通滤波器。

图１ 离散多小波变换的运算流程图

三、 图像数据的多小波分解

矩阵多小波分解：

图像的多小波变换单小波变换类似，不同的是在多小波变换前必须先进行前滤波，之后还要进行相应的后滤波，而且，多小波采用的是矩阵运算，非数量运算。我们对图像先进行行的前处理及小波分解，再对其列进行前处理和小波分解．方法如下：

设用ＮｘＮ矩阵表示图像数据，则分解过程如下：

图2 多小波图像象分解（L=3，R=2）

（1）对I0中的每一行作预处理得I1，I1中的每一行的前一半数据为与第一个尺度函数对应的系数，后一半数据为与第二个尺度函数对应的系数。

（2）对I1中的每一列进行预处理得I2，I2每一列的前一半数据为与第一个尺度函数对应的系数，后一半数据为与第二个尺度函数对应的系数。

（3）对I2中的每一行进行一维的多小波变换得到I3。 （4）对I3中的每一列进行一维多小波变换得到I4。 以上４步完成了一级二维多小波分解．具体过程如图所示：

图3 图像的离散多小波分解

对于一幅图像进行一次多小波分解得到16幅子图。若前处理较适当，则大部分能量集中于某一幅子图，而子图的大小仅为原图的十六分之一，这相当与单小波分解两次得到的。同时由分解一次，两次后完全重构的PSNR可知多小波优于单小波，这不只由于多小波的对称性，而且还和多小波变换中边界误差的迭加次数有关。这在图像压缩方面是非常有利的。当然，多小波变换的缺点也是明显的，即较高的运算代价，这一缺点可以通过对滤波器长度及对称性的限制加以解决。

从上面的分析可以看出，多小波变换只适用于向量信号，对于图像信号而言，要对图像信号进行多小波变换，必须先对图像的行和列进行前置预滤波，然后将经过前置预滤波的图像的行和列，按照一定的规则组成向量信号，再进行多小波变换。设

⎡a1,1⎢a2,1

A=⎢

⎢ ⎢⎣aN,1

a1,2a2,2 aN,2

a1,N⎤ a2,N⎥⎥ ⎥

⎥

aN,N⎦

（1）

ai,j

是一幅N⨯N的图像，其中，行多小波变换的步骤如下:

（1）行前置预滤波

表示象素值，1≤i,j≤N，那么对图像A进

首先A的每一行按照下面的方式组成行向量信号

⎡ai,2n-1⎤N

Airow(n)=⎢,n=1,2, ,,i=1,2, ,N⎥a2⎣i,2n⎦（2）

()然后对Airown进行前置预滤波

Birow

⎡bi,n⎤N

⎥,n=1,2, ,,i=1,2, ,N=∑Pre(k)Airow(n-k)=⎢b

2⎢i,N+n⎥k

⎣2⎦（3）

()其中，Pren是2 x 2的矩阵，表示前置预滤波器的冲激响应。前置预滤波器

由所使用的多小波确定不同的多小波，需要不同的前置预滤波器。

经过前置滤波有：

⎡a1,1

⎢a2,1

A=⎢

⎢ ⎢⎣aN,1

a1,2a2,2 aN,2

a1,N⎤⎡b1,1b1,2

⎢b a2,N⎥⎥⇒B=⎢2,1b2,2⎢ ⎥

⎥⎢

aN,N⎦⎣bN,1bN,2

b1,N⎤

b2,N⎥⎥ ⎥

⎥

bN,N⎦

（4）

（2）列前置预滤波

首先将B的每一列按照下面的方式组成列向量信号

⎡b2n-1,i⎤N

Bicol(n)=⎢,n=1,2, ,,i=1,2, ,N⎥b2⎣2n,i⎦然后对

（5）

Bicol(n)进行前置预滤波

⎡cn,i⎤N

Cicol(n)=∑Pre(k)Bicol(n-k)=⎢c⎥,n=1,2, ,,i=1,2, ,N

2⎢N+i⎥k

⎣2⎦（6）

()其中，Pren是2⨯2的矩阵，表示前置预滤波器的冲激响应。前置预滤波器

由所使用的多小波确定。不同的多小波，需要不同的前置预滤波器。

于是，经过列前置滤波有：

⎡b1,1b1,2⎢bb2,22,1B=⎢

⎢ ⎢

⎣bN,1bN,2

b1,N⎤⎡c1,1c1,2

⎢c b2,N⎥⎥⇒C=⎢2,1c2,2⎢ ⎥

⎥⎢

bN,N⎦⎣cN,1cN,2

c1,N⎤

c2,N⎥⎥ ⎥

⎥

cN,N⎦

（7）

经过上面两个步骤之后，图像的预处理就算完成了，接下来可以对图像进行多小波变换。

（3）行方向的多小波变换

将C的每一行，按照下面的方式组成向量信号

⎡ci,n⎤N

⎥,n=1,2, ,,i=1,2, ,NCirow(n)=⎢c

2⎢i,N+n⎥

⎣2⎦（8）

()然后对Cirown进行多小波变换

⎡ciL⎤,mNL

Cirow(m)=∑L(n-2m)Cirow(n)=⎢cL⎥,m=1,2, ,,i=1,2, ,N

⎢i,m+N⎥4k

4⎦⎣（9） ⎡ciH⎤,mNH

Cirow(m)=∑H(n-2m)Cirow(n)=⎢cH⎥,m=1,2, ,,i=1,2, ,N

⎢i,m+N⎥4n

4⎦⎣（10）

L

C其中，(m)表示的是向量信号经过多小波变换后的低频部分，它仍是向量H

C信号，(m)表示的是向量信号经过多小波变换的高频部分，它也还是向量信号。

于是，经过行方向的多小波变换，有：

LH

⎡⎤ccHNNLc1,1,⎢c1,1 21,1 2⎥

HLH⎥c1,N⎤⎢Lcc2,1 cNN c~2,2,⎥C=⎢2,122c2,N⎥ ⎢ ⎥⇒ ⎥

⎢L ⎥cHN H⎥L c⎢N,1cNN,2cN⎥⎥N,N,⎥cN,N⎦⎢22⎦⎣（11）

⎡c1,1c1,2

⎢cc2,22,1⎢C=⎢ ⎢

⎣cN,1cN,2

（4）列方向的多小波变换

与行变换类似，将C的每一列按照下面的方式组成向量信号

LH⎡cn⎤⎡cn⎤,i,i

LH

Cicol(n)=⎢cL⎥,Cicol(n)=⎢cH⎥

⎢N+n,i⎥⎢N+n,i⎥⎣2⎦⎣2⎦（12）

n=1,2, ,

N

,i=1,2, ,N2

LHCCicolicol分别对也进行多小波变换，结果为 LL

⎡cm⎤,i

LLL

cicol(m)=∑L(n-2m)Cicol(n)=⎢cLL⎥

⎢N+m,i⎥n

⎣4⎦（13） LH⎡cm⎤,i

LHL

(m)=∑H(n-2m)Cicol(n)=⎢cLH⎥Cicol

⎢N+m,i⎥n

⎣4⎦（14） HL⎡cm⎤,i

HLL

Cicol(m)=∑L(n-2m)Cicol(n)=⎢cHL⎥

⎢N+m,i⎥n

⎣4⎦（15） HH⎡cm⎤,i

HHL

Cicol(m)=∑H(n-2m)Cicol(n)=⎢cHH⎥

⎢N+m,i⎥n

⎣4⎦（16）

NN,i=1,2, ,42

于是，经过列方向的多小波变换，最后得到图像A的多小波变换为： n=1,2, ,

⎡c1LL

,1⎢⎢

aa a⎡1,1⎢LL1,21,N⎤

cN⎢a⎥⎢a a~⎢2,12,12,22,N⎥⎢A==A=HL

⎢ ⎥⎢c1,1⎢⎥⎢aa aN,2N,N⎦⎣N,1⎢

⎢HL⎢cN,1⎣2

⎡L1L1L1L2L1H1⎢

⎡LLLH⎤⎢L2L1L2L2L2H1=⎢⎥=⎢HLHLHHHLHH⎣⎦111211

⎢

⎣H2L1H2L2H2H1

cLLN

1,1

c1LH,1 cLHNc

,1

2HH1,1

cLLNN

c

,

22HLN1,2

cHHN

2,1

cHLNN

22,

L1H2⎤

L2H2⎥⎥H1H2⎥

⎥H2H2⎦

（17）

⎤cLHN1,

2⎥ ⎥⎥cLHNN⎥,22⎥cHHN⎥1,

2⎥ ⎥⎥cHHNN⎥,22⎦

其中

⎡c1LL⎤⎡c1LH⎤ cLL cLH,1N,1N

1,1,⎢⎥⎢⎥22

LL=⎢ ⎥,LH=⎢ ⎥

⎢LL⎥⎢LH⎥LLLH⎢cN cNN⎥⎢cN cNN⎥,1,,⎢⎢22⎥22⎥⎣2⎦⎣2,1⎦

HL⎤HHHH⎤⎡c1HL⎡ cc NN

1,1,⎢,1⎥⎢1,1⎥22

HL=⎢ ⎥,HH=⎢ ⎥

⎢HL⎥⎢HH⎥HLHH⎢cN cNN⎥⎢cN cNN⎥,1,,⎢⎢22⎥22⎥⎣2⎦⎣2,1⎦

若要对图像进行多次的多小波变换，这时只需要对前次多小波变换后的LL子图像再次进行多小波变换即可。

四、 以ＧＨＭ多小波为例对标准图像的分解和重构

著名的ＧＨＭ多小波是由Geronimo，Hardin及Massopust等人采用复杂的分形插值（Fractral Interpolation）方法得到的，是比较典型的正交多小波，它同时还具有正交性，对称性，紧支撑性和２阶的逼近阶。

图像的ＧＨＭ分解过程同图2．我们采用ＧＨＭ平衡多重小波对图像进行分解，若进行多级多小波分解，只需将

⎡L0L0L0L1⎤

⎢L1L0L1L1⎥ ⎣⎦

按上述方式继续进行分解即可。

压缩以后，图像的重构，我们采用ＧＨＭ平衡多重小波进行，过程与单小波很类似，其具体过程相当于图像多小波分解的逆过程，具体如下：

~

A⇒列重构⇒行重构⇒列后置滤波⇒行后置滤波⇒A'

~~

'AAA上图中表示的是原图A的分解图，表示的是由经过重构后的图像，它与

原来的图像A是有一定差别的。

五、 多小波图像分解重构实验结果

本文以ＧＨＭ多小波为例，实现了对图像的预处理、分解和变换后的重构、后处理过程，并将解压缩后的结果与单小波相比较，获得较好的结果。

50

100

150

200

250

50

100

150

200

250

图4 原始图像

分解

50

100

150

200

250

50

100

150

200

250

图5 多小波分解后的图像

50

100

150

200

250

50

100

150

200

250

图6 分解并重构后的图像

参考文献：

[1]Shapiro J M. Emedded image coding using zero trees if wavelet coefficients. IEEE TransSP, 1993,41(12):3445-3462.

[2]秦前清，杨宗凯．实用小波分析［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，1994. [3]冯阿芳，张新，邓彩霞， 紧支撑对称正交多小波的构造，哈尔滨理工大学 学报，2009-06.

[4]杨玉花，多小波的理论研究，陕西师范大学，2006-04.

[5]Jiang Q T. Orthogonal multiwavelets with optimum time-frequency resolution. IEEE Trans SP,1998,46(4):830-844.

[6]Lebrun J, Vetterli M. Balanced multiwavelets theory and design.IEEE Trans SP,1998,46(4):1119-1125.